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06届数学(第 二 轮)专题训练第一讲 集合与简易逻辑

中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉
06 届数学(第
学校 学号 班级 二 轮)专题训练

第一讲: 集合与简易逻辑
姓名

知能目标
1. 理解集合、子集、补集、交集、并集的概念. 了解空集和全集的意义. 了解属于、 包含、 相等关系的意义. 掌握有关的术语和符号, 并会用它们正确表示一些简单的集合. 2. 理解逻辑连结词“或” “且” “非”的含义. 理解四种命题及其相互关系.掌握充要条件的 意义.

综合脉络
1. 以集合、简易逻辑为中心的综合网络

2. 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 空集 ? 是一个特殊的集合, 它不含有元素, 是任一集合的子集, 任一个非空集合的真 子集.注意空集 ? 与集合 {0} 的区别, 掌握有空集参与的集合运算的性质. 为了使集合的子、交、并、补 等关系得到直观、形象的表示而利于运算, 要十分重视数形结合、以形助数的 解题方法的运用. 这种方法通常借助数轴、坐标系或韦恩图来进行. 3. 逻辑连接词中的“或”相当于集合中的“并集”“且”相当于集合中的“交集”“非”相 ; ; 当于集合在全集中的“补集”. 四种命题中研究的是“若 p 则 q”形式的命题. 把一个命题改写成若“p 则 q”的形式的关键是找 出条件和结论. 一个命题的原命题与其逆否命题同为真假; 原命题的逆命题与否命题互为逆否关系, 也同为真假.有时一个命题的真假不易被判断时. 可以通过判断它的逆否命题的真假, 从而得知原命题 的真假. 4. 充分条件、必要条件、充要条件与集合的关系(见下表) (一) 型 例 讲解: 例 1. 合 集 合 若N M, 那么 a 的值为 A. 1 ( ) B. -1 典 题 已知集 M = N =

{ x | x 2 ? 1} ,
{ x | a x ? 1},
C. 1 或-1 D. 0, 1 或-1

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例 2. 已知集合 A= {1, 3, ? x 3 } , B= { x ? 2, 1} ,是否存在实数 x, 使得 B∪CSB=A (其中全 集 S=R), 若存在, 求出集合 A、B; 若不存在, 请说明理由.

例 3. 已知 p: f ?1 ( x) 是 f (x) ? 1 ? 3x 的反函数, 且 | f ?1 (a) |? 2 ; q : 集合 A ? {x | x 2 ? (a ? 2)x ? 1 ? 0, x ? R}, B ? {x | x ? 0} 且 A ? B ? ? . 求实数 a 的取值范围, 使 p, q 中有且只有一个真命题.

(二) 专题测试与练习: 一. 选择题 1. 设全集是实数集 R, M={ x | x ? 1 ? 2 , x ? R} ,N= {1, 2, 3, 4 }, 则 CRM∩N 等于( )

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A. { 4 } B. { 3, 4 } C. { 2, 3, 4 } D. {1, 2, 3, 4 } ( ) 2. 已知有下列命题. 其中, 是简单命题的只有 ① 12 是 4 和 3 的公倍数; ② 相似三角形的对应边不一定相等; ③ 三角形中位线平行且等于底边的一半; ④ 等腰三角形的底角相等. A. ①②④ B. ①④ C. ②④ 3. 设 A= {( x, y) | y ? 是 A.| a |≤3 2

D. ④

9 ? x 2 }, B= {(x, y) | y ? x ? a} . 若 A∩B
B. | a |≤3 C. -3≤a≤3 2

? , 则实数 a 满足条件
( D. 3≤a≤3 2 ( ) )

4. 命题“若 a ? b , 则 a ? 8 ? b ? 8 ”的逆否命题是 A. 若 a ? b , 则 a ? 8 ? b ? 8 C. 若 a ? b , 则 a ? 8 ? b ? 8

B. 若 a ? 8 ? b ? 8 , 则 a ? b D. 若 a ? 8 ? b ? 8 , 则 a ? b )

5. 定义 A-B={ x | x ? A且x ? B } ,若 M={1, 2, 3, 4, 5 } , N={ 2, 3, 6 } ,则 N-M 等于 ( A. M B. N C. { 1, 4, 5 }

D. { 6 }

6. 设集合 M ? { x | x 2 ? mx ? 2 ? 0, x, m ? R} , 则满足 M∩ { 1, 2 } =M 的集合的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设集合 M ? {x | x ? 2}, P ? {x | x ? 3} , 那么“ x ? M或x ? P ”是“ x ? M ? P ”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 8. 若集合 S= { y | y ? 3x , x ? R}, T= { y | y ? x 2 ? 1 , x ? R}, 则 S∩T 是 A. S B. T C. ? ( )

D. 有限集

9. 已知真命题“ a ? b ? c ? d ”和“ a ? b ? e ? f ”, 那么“ c ? d ”是“ e ? f ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知集合 S= { a , b, c}, 若 a, b, c 分别是△ABC 的三边长, 那么△ABC 一定不是 ( ) A. 锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 二. 填空题 11. 若 { 2, a } ∩ { 2a ? 4,1, 2, 3 } ? { 6a ? a ? 6 } , 则 a 的值是
2 2

. 命题. .

12. 如果命题“p 或 q”与命题“非 p”都是真命题, 那么 q 为 13. 设集合 A n= { x | 2 ? x ? 2
n n ?1

, 且x ? 7m ? 1, m, n ? N} 则 A 6 中各元素之和为 14. 设 A、B 是非空集合, 定义: A ? B ? {x | x ? A ? B, 且x ? A ? B} , 已知 x A ? {x | y ? 2x ? x 2 }, B ? {y | y ? 2 , ( x ? 0)} , 则 A ? B ? 2x ?1
三. 解答题 15. 已知命题 p: 方程 ax ? ax ? 2 ? 0 在 [ ?1, 1] 上有解; 命题 q: 只有一个实数 x 满足:
2

.

x 2 ? 2ax ? 2a ? 0 . 若命题“p 或 q”为假命题, 求实数 a 的取值范围.

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16. 设集合 A={ x | | x ? a | ? 2 } , B= { x |

2x ? 1 ? 1 } 若 A ? B,求实数 a 的取值范围. x?2

17. 已知 R 为全集, A={ x | log1 (3 ? x) ? ?2 } ,B={ x |
2

5 ? 1} , 求 CR A∩B. x?2

18. 记函数 f ( x ) ?

2?

x ?3 的定义域为 A, g(x) ? lg[(x ? a ? 1)(2a ? x)](a ? 1) 的定义域 x ?1

为 B. (1) 求集合 A; (2) 若 B ? A , 求实数 a 的取值范围.

集合与简易逻辑解答
(一) 典型例题 例 1: D 例 2: ? B ? CSB ? A , ? B

A , ? x ? 2 ? 3 或 x ? 2 ? ? x 3 ? x ? 1, x ? ?1 (舍去)

? A ? { ? 1, 1, 3 } , B ? { 1, 3 }
1? a 1? x ?1 |? 2 . ,所以 | f (a ) | ? | 3 3 若命题 p 为真,则有 ? 5 ? a ? 7 ;
例 3: 对 p: f
?1

(x) ?

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对 q:∵ B ? {x | x ? 0}且 A ? B ? ? ∴若命题 q 为真,则方程 g(x) ? x 2 ? (a ? 2)x ? 1 ? 0 无解或只有非正根.

? ? ??0 ? ∴ ? ? (a ? 2) 2 ? 4 ? 0 或 ?g (0) ? 0 ? 0 , ∴ a ? ?4 . ? a?2 ?? 2 ?
∵p, q 中有且只有一个为真命题 ∴ (1) p 真,q 假:则有 ? (2) p 假,q 真:则有 ?

?? 5 ? a ? 7 ,即有 ? 5 ? a ? ?4 ; ? a ? ?4

?a ? 7或a ? ?5 ,即有 a ? 7 ; a ? ?4 ? ∴ ? 5 ? a ? ?4 或 a ? 7 .
(二) 专题测试与练习 一. 选择题 题号 答案 二. 填空题 11. 2 或 4 ; 12. 真命题 ; 13. 891 ; 14. A ? B ? {x | x ? 2或0 ? x ? 1 . } 1 B 2 A 3 C 4 D 5 D 6 D 7 B 8 A 9 A 10 D

三. 解答题
2 15. 解:若命题 q 为真, 则 ? ? 4a ? 8a ? 0 即有 a ? 0 或 a ? 2 ; 若命题 p 为真, 则 f (?1)f (1) ? 0 . 又 ? f (?1) ? 0 ∴ f (1) ? 0 .即 a ? 1 .

若命题“p 且 q”为真, 则 ?

?a ? 1 , 即a ? 2; ?a ? 0 或 a ? 2

故命题“p 或 q”为假,则有 a ? 2 .

16. 解: A ? {x | a ? 2 ? x ? a ? 2}. B ? {x | ?2 ? x ? 3}

?a ? 2 ? 3 ? A ? B, ? ? ? 0 ? a ? 1, 即 a ? [0, 1] ?a ? 2 ? ?2
17. 解: A ? {x | ?1 ? x ? 3}, B ? {x | ?2 ? x ? 3}

? CR A ? B ? {x | x ? 3或 ? 2 ? x ? ?1}

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18. 解:(1 ) 2 ?

x?3 2x ? 2 ? ( x ? 3) x ?1 ?0? ?0? ?0 x ?1 x ?1 x ?1

? (x ? 1)(x ? 1) ? 0且x ? ?1 ? x ? 1或x ? ?1 .
∴集合 A ? {x | x ? 1或x ? ?1} . (2) (x ? a ? 1)(2a ? x) ? 0 (a<1) ? ( x ? a ? 1)(x ? 2a ) ? 0 . ∵ a ? 1 , ∴ 2a ? a ? 1. ? 2a ? x ? a ? 1. ∴不等式的解为 2a ? x ? a ? 1 . ∴集合B ? {x | 2a ? x ? a ? 1} . ∵ B ? A , ∴ 2a ? 1或a ? 1 ? ?1 , ∴ a ?

1 或a ? ?2 . 2

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