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1.2.1 任意角的三角函数(一)


1.2.1
知识梳理 1.任意角三角函数

任意角的三角函数(一)

回顾归纳 利用三角函数的定义,求一个角的三角函数,需要确定三个量:角的终边上任 意一个异于原点的点 P 的横坐标 x、纵坐标 y、点 P 到原点的距离 r.特别注意,当点的坐标含 有参数时,应分类讨论. 知识点二 判断三角函数值的符号 例 2 判断下列各式的符号: (1)sin α· cos α(其中 α 是第二象限角); (2)sin 285° cos(-105° ); 23 π? (3)sin 3· cos 4· tan? ?- 4 ?.

(1)在平面直角坐标系中,设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么: ①y 叫做 α 的______,记作______,即 sin α=y; ②x 叫做 α 的________,记作______,即 cos α=x; y y ③ 叫做 α 的______,记作______,即 tan α= (x≠0). x x 对于确定的角 α,上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量, 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三角函数. (2)设角 α 终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为 r,则 sin α=______,cos α =______,tan α=______. 2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

回顾归纳 准确确定三角函数值中角所在象限是基础, 准确记忆三角函数在各象限的符号 是解决这类问题的关键.可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆. 变式训练 2 (1)若 sin αcos α<0,则 α 是第______象限角. (2)代数式:sin 2· cos 3· tan 4 的符号是________.

3.诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值________,即: sin(α+k·2π)=________,cos(α+k·2π)=________, tan(α+k·2π)=________,其中 k∈Z. 自主探究 利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值. π π π π 2 3 5 角α 0 π π π 6 4 3 2 3 4 6 sin α cos α tan α

知识点三 例3

诱导公式一的应用

求下列各式的值. 15π? 25π (1)cos +tan? ?- 4 ?; 3 (2)sin(-1 320° )cos 1 110° +cos(-1 020° )sin 750° +tan 495° . π 3 π 2

知识点一 例1

利用定义求角的三角函数值

已知角 α 的终边经过点 P(-4,3)(a≠0),求 sin α、cos α、tan α 的值.

回顾归纳 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为 0 到 2π 间的三角函数,也可把大于 2π 的角的三角函数化为 0 到 2π 间的三角函数,即实现了“负化正,大化小”.同时要熟记特 殊角的三角函数值.

变式训练 1 已知角 θ 的终边上一点 P(x,3) (x≠0),且 cos θ=

10 x,求 sin θ,tan θ. 10

变式训练 3 求下列各式的值. 23π? 17π (1)cos? ?- 3 ?+tan 4 ;

三、解答题 11.已知角 α 的终边经过点(3m-9,m+2),且 sin α>0,cos α≤0,求 m 的取值范围? (2)sin 630° +tan 1 125° +tan 765° +cos 540° .

小结 1.三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点 P(x,y)在终边上的位置无关, 只由角 α 的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关. 2.符号 sin α、cos α、tan α 是一个整体,离开“α”,“sin”、“cos”、“tan”不表示 任何意义,更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积. 3.诱导公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等. 作用是把求任意角的三角函数值转化为求 0~2π(或 0° ~360° )角的三角函数值. 课时作业 一、选择题 1.sin 390° 等于( ) 3 3 1 1 A. B.- C.- D. 2 2 2 2 2.若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 |sin α| cos α 3.当 α 为第二象限角时, - 的值是( ) sin α |cos α| A.1 B.0 C.2 D.-2 3 4.角 α 的终边经过点 P(-b,4)且 cos α=- ,则 b 的值为( 5 A.3 B.-3 C.± 3 D.5 5.若 θ 为第一象限角,则能确定为正值的是( ) θ θ θ A.sin B.cos C.tan D.cos 2θ 2 2 2 二、填空题 6.若角 α 的终边过点 P(5,-12),则 sin α+cos α=________. 7.若 α 是第二象限角,则点 P(sin α,cos α)在第______象限. 8.5sin 90° +10 cos 180° -3 sin 270° +4 cos 420° =________.

12.已知角 α 终边上一点 P(- 3,y),且 sin α=

3 y,求 cos α 和 tan α 的值. 4

)

9? ? 4 11? )= 10. tan( ? 6
9. cos


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