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江苏省2013届高三下学期最新精

江苏省 2013 届高三下学期最新精选试题(27 套)分类汇编 9:圆锥曲线 姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、填空题

x2 y 2 1 . (南京九中 2013 届高三第二学期二模模拟)若椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F 1 、F2 , a b
3 两段,则此椭圆的离心率为 线段 F1F2 被抛物线 y 2 ? 2bx 的焦点分成 5:


2 . (江苏省南京学大教育专修学校 2013 届高三 3 月月考数学试题)如图,已知 F1 , F2 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF2 与圆 x2 ? y 2 ? b2 相切于点 Q ,且点 Q 为线段

PF2 的中点,则椭圆 C 的离心率为
y P Q F1 O F2 x

.

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程 3 . (江苏省南京学大教育专修学校 2013 届高三 3 月月考数学试题) 双曲线 4 16
为 .
zxxk

4 . (江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市 2013 届高三第二次调研(3 月)测试数学试题)在平面直角坐

标系 xOy 中,设椭圆与双曲线 y 2 ? 3x 2 ? 3 共焦点,且经过点

?

2,2 ,则该椭圆的离心率为

?

▲ .

5 . ( 南 京 市 四 星 级 高 级 中 学 2013 届 高 三 联 考 调 研 考 试 ( 详 细 解 答 ) 2013 年 3 月 ) 已 知 双 曲 线

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F , 若以 F 为圆心的圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 与此双曲线的渐近线

相切,则该双曲线的离心率为_____.
6 . (南京市四星级高级中学 2013 届高三联考调研考试(详细解答)2013 年 3 月 )已知双曲线的中心在坐标

原点,一个焦点为 F (10, 0) ,两条渐近线的方程为 y ? ?

4 x ,则该双曲线的标准方程为__________. 3

7 . (江苏省郑梁梅中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)过椭

x2 y2 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的 5 4

直线与椭圆交于 A、B 两点,O 为坐标原点,求弦 AB 的长_______

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8 . (江苏省郑梁梅中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)若 mx 2

? y 2 ? 1 ,的长轴是短轴的 2 倍,则

m=__________;

9 . (江苏省扬州中学 2013 届高三下学期开学质量检测数学试卷)椭圆

C:

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) a 2 b2 的左右焦点

分别为 F1 , F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P ,使得 ?F1 F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取 值范围是______.
10. (江苏省扬州中学 2013 届高三 3 月月考数学试题)如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右准线 a2 b2

分别为 l1 , l 2 ,且分别交 x 轴于 C , D 两点,从 l1 上一点 A 发出一条光线经过椭圆的左焦点 F 被 x 轴反射 后与 l 2 交于点 B ,若 AF ? BF ,且 ?ABD ? 75? ,则椭圆的离心率等于_________.

11. (江苏省盐城市 2013 届高三第二次模拟(3 月)考试数学试题)椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 a2 b2

为 F,直线 x ? m 与椭圆相交于 A,B 两点,若 ?FAB 的周长最大时, ?FAB 的面积为 ab ,则椭圆的离心 率为________. 12. (江苏省盱眙中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且 两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为______________________________

13. (江苏省泰兴市第三高级中学 2013 届高三下学期期初调研考试数学试题 )已知 F 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

1 (a ? b ? 0) 的右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF 与圆 x 2 ? y 2 ? b 2 4
相切于点 Q ,且 PQ ? QF ,则椭圆 C 的离心率为___________.
14. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三月测试卷(一) (数学) )已知椭圆
? ?

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 2 6 ,则实数 t 2 5t
? 2 px( p ? 0) 焦点 F 恰好是

t ? ___________.
15. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三月测试卷(三) (数学) )已知抛物线 y
2

双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,且两条曲线交点的连线过点 F ,则该双曲线的离心率为___________. a 2 b2
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16 . ( 江 苏 省 青 阳 高 级 中 学

2013
2

届 高 三 月 测 试 卷 ( 三 )( 数 学 )) 设

m ? {2,5,8,9}, n ? {1,3,4,7},方程
共有__________个.

x

m

y ?

2

n

? 1表示焦点在x 轴上的 椭圆,则满足以上条件的椭圆

17. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三 3 月份检测数学试题 )过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 a 2 b2

F (?c, 0)(c ? 0) ,作圆: x 2 ? y 2 ?

a2 的 4

切线,切点为 E ,直线 FE 交双曲线右支于点 P ,若 OE ? 离心率为______________.

??? ?

? ??? ? 1 ??? (OF ? OP ) ,则双曲线的 2

x2 y2 18. (江苏省南师附中等五校 2013 届高三下学期期初教学质量调研数学试卷) 已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0) 的 a b
焦点到渐近线的距离是 a,则双曲线的离心率的值是_____.
19 . (江苏省南菁高级中学 2013 届高三第二学期开学质量检测数学试卷) 若 A、 B 与 F1 、 F2 分别为椭圆

C:

x2 π ? y 2 ? 1的两长轴端点与两焦点,椭圆 C 上的点 P 使得∠F1PF2= ,则 tan∠APB=____. 2 5

20. (江苏省姜堰市蒋垛中学 2012-2013 学年度第二学期期初测试高三数学试题)双曲线 x

2

?

y2 ? 1 的离心 2

率为______________
21. (江苏省江都市大桥高中 2013 届高三下学期开学考试数学试题) F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、 16 9

右焦点,P 为双曲线右支上一点,I 是 ?PF1 F2 的内心,且 S?IPF2 ? S?IPF1 ? ? S?IF1F2 ,则 ? = _________.
22 . ( 江 苏 省 江 都 市 大 桥 高 中 2013 届 高 三 下 学 期 开 学 考 试 数 学 试 题 ) 已 知 抛 物 线

y 2 ? 4 x, 焦 点 为

F , A(2,2) , P 为抛物线上的点,则 PA ? PF 的最小值为____
23. (江苏省淮阴中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题) 双曲线 8kx
2

? ky 2 ? 8 的一个焦点为 (0,3) ,则 k

的值为___________,双曲线的渐近线方程为___________.
24. (江苏省淮阴中学 2013 届高三 3 月综合测试数学试题) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , F1 , F2 是左右焦点, a 2 b2

是右准线 , 若椭圆上存在点 P , 使 | PF1 | 是 P 到直线的距离的 2 倍 , 则椭圆离心率的取值范围是 _______.
25. (2012 学年第二学期徐汇区高三学业水平考试数学学科试卷 )已知抛物线 C :

y 2 ? 8 x 的焦点为 F ,准线

与 x 轴的交点为 K ,点 A 在抛物线 C 上且 AK ?

2 AF ,则 ?AFK 的面积为__________.

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二、解答题 26. (苏北老四所县中 2013 届高三新学期调研考试)如图,过抛物线 C : y
2

? 4x 上一点 P(1,-2)作倾斜

角互补的两条直线, 分别与抛物线交于点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) (1) 求 y1 ? y2 的值; (2) 若 y1 ? 0, y2 ? 0 , 求 ?PAB 面积的最大值。

y

B

A O P x

27. (苏北老四所县中 2013 届高三新学期调研考试)已知椭圆的中心为坐标原点 O,椭圆短半轴长为 1,

a2 (a为长半轴,c为半焦距) 动点 M (2, t ) (t ? 0) 在直线 x ? 上。 c
(1)求椭圆的标准方程 (2)求以 OM 为直径且被直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (3)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N,求证:线段 ON 的 长为定值,并求出这个定值。

28. (南京九中 2013 届高三第二学期二模模拟)已知椭圆 C :

2 x2 y 2 ,一条准线 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

l : x ? 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点, M 是 l 上的点, F 为椭圆 C 的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的 圆 D 交于 P, Q 两点.

①若 PQ ? 6 ,求圆 D 的方程; ②若 M 是 l 上的动点,求证点 P 在定圆上,并求该定圆的方程.

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29. (南京市四星级高级中学 2013 届高三联考调研考试 (详细解答) 2013 年 3 月 ) 如图,在平面直角坐标系 xOy

中,椭圆 E :

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,且过点 ( 2 ,

6 ). 2

(1) 求椭圆 E 的方程; (2) 若点 A , B 分别是椭圆 E 的左、 右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭圆上异于 A , B 的 任意一点,直线 AP 交 l 于点 M . (ⅰ)设直线 OM 的斜率为 k 1 , 直线 BP 的斜率为 k 2 ,求证: k 1 k 2 为定值; (ⅱ)设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m . 求证:直线 m 过定点,并求出定点的坐标.

y P A
O

M

B
x
l

m

x2 y 2 30. (江苏省扬州中学 2013 届高三下学期开学质量检测数学试卷)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离 a b
心率 e ?

6 3 6 ,一条准线方程为 x ? 3 2

⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设 G , H 为椭圆 C 上的两个动点, O 为坐标原点,且 OG ? OH . ①当直线 OG 的倾斜角为 60 时,求 ?GOH 的面积;
?

②是否存在以原点 O 为圆心的定圆,使得该定圆始终与直线 GH 相切?若存在,请求出该定圆方程;若 不存在,请说明理由.

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31. (江苏省扬州中学 2013 届高三 3 月月考数学试题)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的顶点在原点,焦

点 F 的坐标为(1,0). (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)设 M、 N 是抛物线 C 的准线上的两个动点,且它们的纵坐标之积为 ? 4 ,直线 MO、 NO 与抛物线的交点 分别为点 A、B,求证:动直线 AB 恒过一个定点.

32. (江苏省扬州中学 2013 届高三 3 月月考数学试题)给定椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O、 a 2 b2

半径是 a2 ? b2 的圆为椭圆 C 的“准圆”.已知椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2,0) ,其短轴的一个端点到点

F 的距离为 3 .
(1)求椭圆 C 和其“准圆”的方程; (2)若点 A 是椭圆 C 的“准圆”与 x 轴正半轴的交点, B, D 是椭圆 C 上的两相异点,且 BD ? x 轴,求 ??? ? ???? AB ? AD 的取值范围; (3)在椭圆 C 的“准圆”上任取一点 P ,过点 P 作直线 l1 , l2 ,使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只有一个交点,试判断

l1 , l2 是否垂直?并说明理由.

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33 . (江苏省盐城市 2013 届高三第二次模拟( 3 月)考试数学试题) 如图 , 圆 O 与离心率为

3 的椭圆 2

T:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )相切于点 M (0,1) . a2 b2

⑴求椭圆 T 与圆 O 的方程; ⑵过点 M 引两条互相垂直的两直线 l1 、 l 2 与两曲线分别交于点 A、C 与点 B、D(均不重合). ①若 P 为椭圆上任一点,记点 P 到两直线的距离分别为 d1 、 d 2 ,求 d1 ? d 2 的最大值;
2 2

②若 3MA ? MC ? 4 MB ? MD ,求 l1 与 l 2 的方程.

x2 y2 2 + b 2 =1( a ? b ? 0 ) 34. (江苏省盱眙中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)已知 A(1,1)是椭圆 a
上一点,

F1 , F2

是椭圆的两焦点,且满足

AF1 ? AF2 ? 4

.

(1)求椭圆的标准方程; (2)设点 C , D 是椭圆上两点,直线 AC , AD 的倾斜角互补,求直线 CD 的斜率.

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35. (江苏省泰兴市第三高级中学 2013 届高三下学期期初调研考试数学试题 )已知双曲线 E :

x2 y 2 ? ?1的 24 12

左焦点为 F ,左准线 l 与 x 轴的交点是圆 C 的圆心, 圆 C 恰好经过坐标原点 O ,设 G 是圆 C 上任意一点. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 FG 与直线 l 交于点 T ,且 G 为线段 FT 的中点,求直线 FG 被圆 C 所截得的弦长; GF 1 (Ⅲ)在平面上是否存在定点 P ,使得对圆 C 上任意的点 G 有 ? ?若存在,求出点 P 的坐标;若不 GP 2 存在,请说明理由.

36. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三月测试卷(一) (数学) )已知曲线 C 上动点 P( x, y ) 到定点 F1 ( 3,0) 与

定直线 l1 : x ?

4 3 3 的距离之比为常数 . 3 2 (1)求曲线 C 的轨迹方程;

(2)以曲线 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T : ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,设圆 T 与曲线 C 交于点 M 与点 N ,求
???? ??? ? TM ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程.

37. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三月测试卷(三) (数学) )已知 A、B 两点在抛物线 C : x

2

???? ???? ? M (0, 4) 满足 MA ? ? BM ??? ? ??? ? (I)求证: OA ? OB ; (Ⅱ)设抛物线 C 过 A、B 两点的切线交于点 N

? 4 y 上,点

(1)求证:点 N 在一定直线上; (2)设 4 ? ? ? 9 ,求直线 MN 在 x 轴上截距的取值范围.

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38( .江苏省青阳高级中学 2013 届高三月测试卷 (二) (数学) ) 已知椭圆 C: 2 +

y 2 x2 =1? a>b>0 ? 的离心率为 6 , 3 a b2

过右顶点 A 的直线与椭圆 C 相交于 A、B 两点,且 B(?1,? 3) . (1)求椭圆 C 和直线的方程; (2)记曲线 C 在直线下方的部分与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D.若 曲线 x 2 ? 2mx ? y 2 ? 4 y ? m 2 ? 4 ? 0 与 D 有公共点,试求实数 m 的最小值.

39. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三 3 月份检测数学试题 )已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为 2,一条

准线方程为 l: x ? 2 . ⑴ 求椭圆的标准方程;⑵ 设 O 为坐标原点,F 是椭圆的右焦点,点 M 是直线 l 上的动点,过点 F 作 OM 的 垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N,求证:线段 ON 的长为定值.

40 . ( 江 苏 省 南 菁 高 级 中 学 2013 届 高 三 第 二 学 期 开 学 质 量 检 测 数 学 试 卷 ) 如 图 , 椭 圆 C:

x2 y 2 4 2 3 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 M (1, ), N ( ,1) ,梯形 ABCD(AB∥CD∥ y 轴,且 AB ? CD )内接于 2 a b 3 2
椭圆,E 是对角线 AC 与 BD 的交点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 AB ? m, CD ? n, OE ? d 试求

m?n 的最大值. d

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41. (江苏省金湖中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题) 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 2,焦点到渐 a2 b2

近线的距离等于 3 ,过右焦点 F 2 的直线 l 交双曲线于 A 、 B 两点, F 1 为左焦点. (Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)若 ?F 1 AB 的面积等于 6 2 ,求直线 l 的方程.

42. (江苏省姜堰市蒋垛中学 2012-2013 学年度第二学期期初测试高三数学试题)如图,在平面直角坐标系 xoy

x2 y 2 中,已知 F1 , F2 分别是椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,A,B 分别是椭圆 E 的左、右顶点, a b
且 AF2 ? 5 BF2 ? 0 . (1)求椭圆 E 的离心率; (2)已知点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点,M 为椭圆 E 上的动点(异于点 A 、 B ),连接 MF1 并延长交椭圆

???? ?

???? ?

?

E 于点 N ,连接 MD 、 ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P 、 Q ,连接 PQ ,设直线 MN 、 PQ 的斜率存
在且分别为 k1 、k2 ,试问是否存在常数 ? ,使得 k1 ? ? k2 ? 0 恒成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说 明理由.

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43. (江苏省江都市大桥高中 2013 届高三下学期开学考试数学试题)设 m ? R ,在平面直角坐标系中,已知向

? ? ? ? a ? ( mx , y ? 1) b ? ( x , y ? 1) a 量 ,向量 , ? b ,动点 M ( x, y ) 的轨迹为 E.
(1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

(2)点 P 为当

m?

1 4 时轨迹 E 上的任意一点,定点 Q 的坐标为(3,0),

??? ? ???? PN ? 2 NQ ,试求点 N 的轨迹方程. N 点 满足

44. (江苏省江都市大桥高中 2013 届高三下学期开学考试数学试题)已知抛物线 x

2

? 4 y 的焦点为 F ,过焦点

F 且不平行于 x 轴的动直线交抛物线于 A , B 两点,抛物线在 A 、 B 两点处的切线交于点 M .

(Ⅰ)求证: A , M , B 三点的横坐标成等差数列; (Ⅱ)设直线 MF 交该抛物线于 C , D 两点,求四边形 ACBD 面积的最小值.

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45. (江苏省淮阴中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)已知椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率

e?

2 ,点 F1 , F2 分别为椭圆的左、右焦点,过右焦点 F2 且垂直于长轴的弦长为 2 2

⑴ 求椭圆的标准方程; ⑵ 过椭圆的左焦点 F1 作直线 l ,交椭圆于 P, Q 两点,若 F2 P ? F2 Q ? 2 ,求直线 l 的倾斜角.[来源:

46. (江苏省淮阴中学 2013 届高三 3 月综合测试数学试题)已知椭圆

3 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 5 a b

12 ) , A 为上顶点, F 为右焦点.点 Q(0, t ) 是线 段 OA (除端点外)上的一个动点,过 Q 作 5 平行于 x 轴的直线交直线 AP 于点 M ,以 QM 为直径的圆的圆心为 N . (1)求椭圆方程;(2)若圆 N 与 x 轴相切,求圆 N 的方程; (3)设点 R 为圆 N 上的动点,点 R 到直线 PF 的最大距离为 d ,求 d 的取值范围.
且过点 P (4,

47. (2012 学年第二学期徐汇区高三学业水平考试数学学科试卷 )已知直线 l 经过点 (1, 0) 且一个方向向量

? ? x2 y2 ? 1? m ? 1? 的 左焦 点为 F1 . 若 直线 l 与 椭圆 C 交 于 A, B 两 点 , 满 足 d ? (1,1) . 椭 圆 C : ? m m ?1

???? ???? F1 A ? F1 B ? 0 ,求实数 m 的值.

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江苏省 2013 届高三下学期最新精选试题(27 套)分类汇编 9:圆锥曲线参考答案 一、填空题

b ? b c 2 5 ?3( ? c) ? 5(c ? ) 1. 解析:根据题意,可得 ? 2 . 2 ,解得 e ? ? a 5 2 2 2 ?a ? b ? c ?
2.

5 3
y ? ?2 x
【答案】 2 2

3. 4.

5.

3 5 5

6.

x2 y 2 ? ?1 36 64
5 5 3
1 或4 4 1 1 1 ( , ) ? ( ,1) 3 2 2

7.

8. 9.

10.

6? 2 2
2 2

11.

x2 y2 ? ?1 12. 81 72
13.

5 3

14. 2,3,6; 15. 16. 17.

1? 2
12

10 2
2
第 13 页,共 28 页

18.

19. 20.

- 5

3
4 5

21.

22. 3 23. -1; 24. 25.

[
8

?3 ? 17 ,1) 2

二、解答题 26.解: .⑴因为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 在抛物线 C : y 2 ? 4 x 上,

y12 y2 y ? 2 4( y1 ? 2) 4 , y1 ), B ( 2 , y2 ) , k PA ? 12 ? ? , 2 4 4 y1 y1 ? 4 y1 ? 2 ?1 4 4 4 4 ?? 同理 k PB ? ,依题有 kPA ? ?kPB ,因为 ,所以 y1 ? y2 ? 4 . y2 ? 2 y1 ? 2 y2 ? 2

所以 A(

⑵由⑴知 k AB ?

y12 y12 y2 ? y1 y ? y ? x ? , 即 x ? y ? y ? ?0, ? 1 ,设 的方程为 AB 1 1 4 4 y2 2 y12 ? 4 4 y2 3 ? y1 ? 1 4 y2 y 2 , AB ? 2 1 ? 2 ? 2 y1 ? y2 ? 2 2 2 ? y1 , P 到 AB 的距离为 d ? 4 4 2

所以 S?PAB ? 1 ? 2
?

3 ? y1 ? 2

y12 4

? 2 2 2 ? y1 =

1 2 y1 ? 4 y1 ? 12 y1 ? 2 4

1 ( y1 ? 2)2 ? 16 y1 ? 2 , 4 1 3 t ? 16t , 4 1 ? t 3 ? 16t 为 偶 函 数 , 只 考 虑 0 ≤ t ≤ 2 的 情 况 , 记 f (t ) ? t 3 ? 16t ? 16t ? t 3 , 4

令 y1 ? 2 ? t ,由 y1 ? y2 ? 4 , y1 ≥ 0, y2 ≥ 0 ,可知 ?2 ≤ t ≤ 2 . S?PAB ? 因 为 S?PAB

2? 是单调增函数,故 f (t ) 的最大值为 f (2) ? 24 ,故 S?PAB 的最大值为 f ?(t ) ? 16 ? 3t 2 ? 0 ,故 f (t ) 在 ?0,
6.
27.解: (1)又由点 M 在准线上,得

a2 1 ? c2 ? 2故 ?2, c c
x2 ? y2 ? 1 2

? c ? 1 从而 a ? 2 所以椭圆方程为

(2)以 OM 为直径的圆的方程为 x( x ? 2) ? y( y ? t ) ? 0

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即 ( x ? 1) ? ( y ? ) ?
2 2

t 2

t2 t t2 ? 1 其圆心为 (1, ) ,半径 r ? ?1 2 4 4

因为以 OM 为直径的圆被直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 所以圆心到直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离 d ? r 2 ?1 ?

t 2

所以

3 ? 2t ? 5 t ? ,解得 t ? 4 5 2

所求圆的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 (3) 设 N ( x0 , y0 ) ,则

???? ???? ? FN ? ( x0 ? 1, y0 ), OM ? (2, t ) ???? ? ???? MN ? ( x0 ? 2, y0 ? t ), ON ? ( x0 , y0 )

??? ? ???? ? ? FN ? OM ,?2( x0 ?1) ? ty0 ? 0,?2x0 ? ty0 ? 2 ???? ? ???? ? MN ? ON ,? x0 ( x0 ? 2) ? y0 ( y0 ? t ) ? 0,? x02 ? y0 2 ? 2x0 ? ty0 ? 2
所以, ON ?

????

x0 2 ? y0 2 ? 2 为定值

?c 2 ? ? ?a ? 2 ? 2 ,? ? 28.解: (1)由题设: ? a ,? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , ? 2 ? ? c ?1 ? a ?2 ? ? c x2 ?????????? 4 分 ? 椭圆 C 的方程为: ? y 2 ? 1 2 (2)①由(1)知: F (1,0) ,设 M (2, t ) ,

t t2 则圆 D 的方程: ( x ? 1)2 ? ( y ? )2 ? 1 ? , 2 4 直线 PQ 的方程: 2 x ? ty ? 2 ? 0 ,
t2 )?( 4 2? t2 ?2 2

?????????? 6 分 ?????????? 8 分

? PQ ? 6 ,? 2 (1 ?

4 ? t2

)2 ? 6 , ?????????? 10 分

? t 2 ? 4 ,? t ? ?2 ? 圆 D 的方程: ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 或 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 ????? 12 分

②解法(一) :设 P( x0 , y0 ) ,
? t 2 t2 2 ? ( x0 ? 1) ? ( y0 ? ) ? 1 ? 由①知: ? 2 4 , ? 2 x ? ty ? 2 ? 0 0 ? 0
2 2 ? ? x ? y0 ? 2 x0 ? ty0 ? 0 即: ? 0 , ? ? 2 x0 ? ty0 ? 2 ? 0 消去 t 得: x02 ? y02 =2

?????????? 14 分

? 点 P 在定圆 x2 ? y 2 =2 上. 解法(二) :设 P( x0 , y0 ) ,

?????????? 16 分

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则直线 FP 的斜率为 k FP ?

y0 , x0 ? 1

∵FP⊥OM,∴直线 OM 的斜率为 kOM ? ?

x0 ? 1 , y0

x0 ? 1 x, y0 2( x0 ?1) ) . 点 M 的坐标为 M (2, ? y0
∴直线 OM 的方程为: y ? ?
??? ? ???? ∵MP⊥OP,∴ OP ? MP ? 0 , 2( x0 ? 1) ]?0 ∴ x0 ( x0 ? 2) ? y0 [ y0 ? y?

??????????14 分

∴ x02 ? y02 =2,? 点 P 在定圆 x2 ? y 2 =2 上.
29. ⑴由题意得 2c ? 2 ,所以 c ? 1 ,又

??????????16 分

2 3 + 2 ? 1, 2 a 2b 1 2

消去 a 可得, 2b4 ? 5b2 ? 3 ? 0 ,解得 b2 ? 3 或 b2 ? ? (舍去),则 a 2 ? 4 , 所以椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

⑵(ⅰ)设 P( x1 , y1 )( y1 ? 0) , M (2, y0 ) ,则 k1 ?

y1 y0 , k2 ? , x1 ? 2 2

因为 A, P, B 三点共线,所以 y0 ?

y0 y1 4 y12 4 y1 ? , 所以, k1k2 ? ,8 分 x1 ? 2 2( x1 ? 2) 2( x12 ? 4)

因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 y12 ? (4 ? x12 ) ,故 k1k2 ?

3 4

4 y12 3 ? ? 为定值 2 2( x1 ? 4) 2

(ⅱ)直线 BP 的斜率为 k2 ?

y1 2 ? x1 ,直线 m 的斜率为 km ? , x1 ? 2 y1 2 ? x1 ( x ? 2) , y1

则直线 m 的方程为 y ? y0 ?

y?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 4 y12 2 ? x1 2 ? x1 2(2 ? x1 ) 4 y1 ( x ? 2) ? y0 ? x? ? ? x? y1 y1 y1 x1 ? 2 y1 ( x1 ? 2) y1

?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 12 ? 3x12 2 ? x1 2 ? x1 2 ? x1 x? ( x ? 1) , x? = = y1 y1 y1 y1 ( x1 ? 2) y1

所以直线 m 过定点 (?1,0)
30. ( 1)因为

c 6 a2 3 6 2 2 2 , ,a ? b ?c , ? ? a 3 c 2

第 16 页,共 28 页

解得 a ? 3, b ? 3 ,所以椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 9 3

? 2 9 ? y ? 3x x ? ? ? 2 ? 10 (2)①由 ? x ,解得 ? , y2 27 ? ? 1 2 ? ?y ? 3 ?9 ? 10 ?

? 3 ? 2 9 x ? y?? x ? ? ? ? 2 3 由? 得? , 2 2 ?y2 ? 3 ?x ? y ?1 ? ? 2 ? 3 ?9
所以 OG ?

3 10 3 15 , OH ? 6 ,所以 S ?GOH ? 5 5
1 1 1 ? ? 2, 2 2 OG OH R

②假设存在满足条件的定圆,设圆的半径为 R ,则 OG ? OH ? R ? GH
2 2 2 因为 OG ? OH ? GH ,故

当 OG 与 OH 的斜率均存在时,不妨设直线 OG 方程为: y ? kx ,

9 ? 2 x ? ? y ? kx G ? 9 ? 9k 2 ? 1 ? 3k 2 ? 2 2 2 由?x ,得 ? ,所以 OG ? , y 2 1 ? 3k 2 ?1 ? y 2 ? 9k ? ? 3 ?9 ? G 1 ? 3k 2 ?
同理可得 OH ?
2

9k 2 ? 9 1 2 (将 OG 中的 k 换成 ? 可得) 2 k 3? k

1 1 4 1 3 ? ? ? 2 ,R ? , 2 2 9 R 2 OG OH
当 OG 与 OH 的斜率有一个不存在时,可得
2 2 故满足条件的定圆方程为: x ? y ?

1 1 4 1 ? ? ? 2 , 2 2 9 R OG OH

9 4

31. (1)设抛物线的标准方程为 y

2

? 2 px( p ? 0) ,则

p ? 1, p ? 2 , 2

所以抛物线方程为 y ? 4 x
2

(2)抛物线 C 的准线方程为 x ? ?1 ,设 M (?1, y1 ), N (?1, y 2 ) ,其中 y1 y 2 ? ?4 , 直线 MO 的方程: y ? ? y1 x ,将 y ? ? y1 x 与 y ? 4 x 联立解得 A 点坐标 (
2

4 y1
2

,?

4 ). y1

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同理可得 B 点坐标 (

4 y2
2

4 ,? ) ,则直线 AB 的方程为: y2

y?

4 y1

x? ? 4 y2
2

4 y1
2

4 4 ? ? y 2 y1

?

4 y1
2

整理得 ( y1 ? y 2 ) y ? 4 x ? 4 ? 0 ,故直线 AB 恒过定点(1,0).
32.解:(1)由题意知 c ? 2 ,且 a ? b2 ? c2 ? 3 ,可得 b ? 1 ,

x2 ? y 2 ? 1 ,其“准圆”方程为 x2 ? y 2 ? 4 . 3 m2 ? n2 ? 1, (2)由题意,可设 B(m, n), D(m, ?n) (? 3 ? m ? 3) ,则有 3 ??? ? ???? 又 A 点坐标为 (2,0) ,故 AB ? (m ? 2, n), AD ? (m ? 2, ?n) ,
故椭圆 C 的方程为

??? ? ???? m2 ) 故 AB ? AD ? (m ? 2) 2 ? n 2 ? m 2 ? 4m ? 4 ? (1 ? 3

4 4 3 ? m2 ? 4m ? 3 ? (m ? )2 , 3 3 2 4 3 又 ? 3 ? m ? 3 ,故 (m ? )2 ?[0,7 ? 4 3) , 3 2 ??? ? ???? 所以 AB ? AD 的取值范围是 [0,7 ? 4 3) .
(3)设 P( s, t ) ,则 s 2 ? t 2 ? 4 . 当 s ? ? 3 时, t ? ? 1 ,则 l1 , l2 其中之一斜率不存在,另一斜率为 0,显然有 l1 ? l2 . 当 s ? ? 3 时,设过 P( s, t ) 且与椭圆有一个公共点的直线 l 的斜率为 k , 则 l 的方程为 y ? t ? k ( x ? s ) ,代入椭圆 C 方程可得

x2 ? 3[kx ? (t ? ks)2 ] ? 3 ,即 (3k 2 ? 1) x2 ? 6k (t ? ks) x ? 3(t ? ks)2 ? 3 ? 0 ,
由 ? ? 36k 2 (t ? ks)2 ? 4(3k 2 ? 1)[3(t ? ks)2 ? 3] ? 0 , 可得 (3 ? s 2 )k 2 ? 2stk ? 1 ? t 2 ? 0 ,其中 3 ? s 2 ? 0 , 设 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1 , k2 是上述方程的两个根, 故 k1k 2 ?

1 ? t 2 1 ? (4 ? s 2 ) ? ? ?1 ,即 l1 ? l2 . 3 ? s2 3 ? s2

综上可知,对于椭圆 C 上的任意点 P ,都有 l1 ? l2 .

33.解: (1)由题意知:

c 3 ? , b ? 1, c 2 ? b 2 ? a 2 解得 a ? 2, b ? 1, c ? 3 可知: a 2
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椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 与圆 O 的方程 x 2 ? y 2 ? 1 4
2 1 2 2 2 2 0 2

2 x0 2 (2)设 P ( x 0 , y 0 ) 因为 l1 ⊥ l 2 ,则 d ? d ? PM ? x ? ( y 0 ? 1) 因为 ? y0 ?1 4
2 2 所以 d12 ? d 2 ? 4 ? 4 y0 ? ( y 0 ? 1) 2 ? ?3( y 0 ? ) 2 ?

1 3

16 , 3

因为 ? 1 ? y 0 ? 1

所以当 y 0 ? ?

4 2 1 1 16 2 时 d12 ? d 2 取得最大值为 ,此时点 P (? ,? ) 3 3 3 3

? y ? kx ? 1 2k 1 ? k 2 (3)设 l1 的方程为 y ? kx ? 1 ,由 ? 2 解得 A(? 2 , ); 2 k ?1 1? k 2 ?x ? y ? 1
? y ? kx ? 1 8k 1 ? 4k 2 ? 由 ? x2 解得 C ( ? , ) 2 2 2 4 k ? 1 1 ? 4 k ? y ? 1 ? ?4
把 A, C 中的 k 置换成 ?

2k k 2 ? 1 8k k 2 ? 4 1 可得 B ( 2 , 2 ) , D( 2 , ) k k ?1 k ?1 k ? 4 k2 ? 4

所以 MA ? (?

2k ? 2k 2 8k ? 8k 2 , , ) MC ( ? , ) k 2 ?1 1? k 2 4k 2 ? 1 1 ? 4k 2

MB ? (

2k ?2 8k ?8 , 2 ) , MD ? ( 2 , 2 ) k ?1 k ?1 k ?4 k ?4
2

由 3MA ?MC ? 4 MB ? MD 得

???? ????? ?

???? ???? ?

3k 2 4 解得 k ? ? 2 ? 2 2 1 ? 4k k ?4
2 x ?1 2

所以 l1 的方程为 y ?

2 x ? 1 , l2 的方程为 y ? ?

或 l1 的方程为 y ? ? 2 x ? 1 , l2 的方程为 y ?
34.

2 x ?1 2

x2 3 y 2 ? 4 =1 (1) 4
(2)

(1)由椭圆定义知 2 a =4,所以 a =2,

1 3

x2 y2 + 2 b =1 即椭圆方程为 4
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1 1 4 x2 3 y 2 ? + 2 4 =1 把(1,1)代人得 4 b =1 所以 b2= 3 ,椭圆方程为 4
(2)由题意知,AC 的倾斜角不为 900, 故设 AC 方程为 y=k(x-1)十 1,

y = k ( x _ 1) + 1
联立

x2 3 2 + y =1 4 4

消去 y,

得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0

3k 2 _ 6k _ 1 2 ? 点 A(1,1)、C 在椭圆上, ? xC= 3k + 1 ? AC、AD 直线倾斜角互补, ? AD 的方程为 y=-k(x-l)+1, 3k 2 ? 6k _ 1 2 同理 xD= 3k ? 1
又 yC=k(xC-1)+1, yD=-k(xD-1)+1,

? yC-yD=k(xC +xD)-2k.

yC _ y D 1 = _ ? xC xD 3

35.解:(Ⅰ)由双曲线 E:

x2 y 2 ? ? 1 ,得 l : x ? ?4 , C (?4, 0) , F (?6, 0) 24 12

又圆 C 过原点,所以圆 C 的方程为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 16 (Ⅱ)由题意,设 G(?5, yG ) ,代入 ( x ? 4) ? y ? 16 ,得 yG ? ? 15 ,
2 2

所以 FG 的斜率为 k ? ? 15 , FG 的方程为 y ? ? 15( x ? 6) 所以 C (?4, 0) 到 FG 的距离为 d ?

15 , 2
2

直线 FG 被圆 C 截得的弦长为 2 16 ? ( 15 2) ?7 (Ⅲ)设 P(s,t),G(x0,y0),则由
2 2

2 | GF | 1 ( x0 ? 6) 2 ? y0 1 ? ,得 2 2 2 | GP | 2 ( x0 ? s ) ? ( y0 ? t )
2 2

整理得 3(x0 +y0 )+(48+2s)x0+2ty0+144-s -t =0. 2 2 2 2 又 G(x0,y0)在圆 C:(x+4) +y =16 上,所以 x0 +y0 +8x0=0 2 2 ②代入①,得(2s+24)x0+2ty0+144-s -t =0 又由 G(x0,y0)为圆 C 上任意一点可知, ?2t ? 0
?2 s ? 24 ? 0 ? ?144 ? s 2 ? t 2 ? 0 ?

① ②

解得:s= -12, t=0 所以在平面上存在一定点 P,其坐标为(-12,0)
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PF1 ( x ? 3) 2 ? y 2 3 3 36. (1)过点 P 作直线的垂线,垂足为 D . , ; ? ? 2 PM 2 4 3 x? 3

x2 ? y2 ? 1. 所以椭圆的标准方程为 4
(2)点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x1 ,? y1 ) , 不妨设 y1 ? 0 . 由于点 M 在椭圆 C 上,所以 y1 ? 1 ?
2

x1 . 4

2

由已知 T (?2, 0) ,则 TM ? ( x1 ? 2, y1 ) , TN ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ,

? TM ? TN ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? ( x1 ? 2) ? y1
2

2

x 5 2 ? ( x1 ? 2) ? (1 ? 1 ) ? x1 ? 4 x1 ? 3 4 4
2

2

?

5 8 1 ( x1 ? ) 2 ? . 4 5 5

由于 ? 2 ? x1 ? 2 ,故当 x1 ? ? 计算得, y1 ?

???? ??? ? 8 1 时, TM ? TN 取得最小值为 ? . 5 5

3 8 3 13 ,故 M ( ? , ) ,又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r 2 ? . 5 5 5 25 13 故圆 T 的方程为: ( x ? 2) 2 ? y 2 ? . 25
37.解:设 A ( x1 , y1 )

B( x2 , y2 )

l AB : y ? kx ? 4 ,与 x 2 ? 4 y 联立得 x 2 ? 4kx ? 16 ? 0

? ? (?4k ) 2 ? 4(?16) ? 16k 2 ? 64 ? 0 x1 ? x2 ? 4k
? ?

x1 x2 ? ?16

(Ⅰ) OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 4)(kx2 ? 4) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 16 = (1 ? k )(?16) ? 4k (4k ) ? 16 ? 0
2

? OA ? OB

?

?

1 1 1 x1 ( x ? x1 ) ? y1 ? x1 x ? x12 2 2 4 1 1 2 过点 B 的切线: y ? x2 x ? x2 ② 2 4 x ? x2 联立①②得点 N( 1 , ?4) 2
(Ⅱ)(1)过点 A 的切线: y ? 所以点 N 在定直线 y ? ?4 上



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(2)? MA ? ? BM

?

?

? ( x1 , y1 ? 4) ? ? (? x2 , 4 ? y2 )

? x1 ? ?? x2 ? 联立 ? x1 ? x2 ? 4k ? x x ? ?16 ? 1 2
可得 k ?
2

(1 ? ? ) 2

?

?

? 2 ? 2? ? 1 1 ?? ? ?2 ? ?

4?? ?9

9 64 ? ? k2 ? 4 9 ?8 直线 MN: y ? x ? 4 在 x 轴的截距为 k 2k

? 8 3? ?3 8? ? 直线 MN 在 x 轴上截距的取值范围是 ? ? , ? ? ? ? , ? ? 3 2 ? ? 2 3?
38. (1)由离心率 e ?

a 2 ? b2 6 6 ,得 ,即 a 2 ? 3b 2 . ? a 3 3



又点 B(?1,? 3) 在椭圆 C :

y 2 x2 (?3) 2 (?1) 2 + ? 1 + 2 ?1. 上 , 即 a 2 b2 a2 b



y 2 x2 ? ?1. 12 4 由 A(2,0),B(?1,? 3) 得直线 l 的方程为 y ? x ? 2 .
解①②得 a 2 ? 12,b 2 ? 4 ,故所求椭圆方程为 (2)曲线 x 2 ? 2mx ? y 2 ? 4 y ? m 2 ? 4 ? 0 , 即 圆 ( x ? m) 2 ? ( y ? 2)2 ? 8 , 其 圆 心 坐 标 为 G (m,? 2) , 半 径
r ? 2 2 ,表示圆心在直线 y ? ?2 上,半径为 2 2 的动圆.

由于要求实数 m 的最小值,由图可知,只须考虑 m ? 0 的情形. |a ? 2?2| ? 2 2 ,得 m ? ?4 , 设 ? G 与直线 l 相切于点 T,则由 2 当 m ? ?4 时,过点 G (?4,? 2) 与直线 l 垂直的直线 l ? 的方程为 x ? y ? 6 ? 0 ,
? x ? y ? 6 ? 0, 解方程组 ? 得 T (?2,? 4) . ?x ? y ? 2 ? 0

因为区域 D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为 ?1,2 , 所以切点 T ? D ,由图可知当 ? G 过点 B 时,m 取得最小值,即 (?1 ? m) 2 ? (?3 ? 2) 2 ? 8 , 解得 mmin ? ? 7 ? 1 .
39.解:⑴∵椭圆 C 的短轴长为 2,椭圆 C 的一条准线为 l: x ? 2 ,

∴不妨设椭圆 C 的方程为

x2 a2 1 ? c2 2 ? y ? 1 ? ? 2 ,( ) . ∴ a2 c c
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即 c ? 1. ∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

⑵ F(1,0),右准线为 l: x ? 2 , 设 N ( x0 , y0 ) , 则直线 FN 的斜率为 k FN ?

y0 y ,直线 ON 的斜率为 kON ? 0 , x0 ? 1 x0
x0 ? 1 , y0

∵FN⊥OM,∴直线 OM 的斜率为 kOM ? ?

∴直线 OM 的方程为: y ? ?

x0 ? 1 2( x0 ? 1) x ,点 M 的坐标为 M (2, ? ). y0 y0

y0 ?
∴直线 MN 的斜率为 k MN ?

2( x0 ? 1) y0 . x0 ? 2 y0 ? 2( x0 ? 1) y0 y ? 0 ? ?1 , x0 ? 2 x0

∵MN⊥ON,∴ k MN ? kON ? ?1 ,



∴ y0 2 ? 2( x0 ? 1) ? x0 ( x0 ? 2) ? 0 ,即 x0 2 ? y0 2 ? 2 . ∴ ON ?

2 为定值.

说明:若学生用平面几何知识(圆幂定理或相似形均可)也得分,设垂足为 P,准线 l 与 x 轴交于 Q,则有
ON 2 = OPgOM ,又 OPgOM = OF gOQ = 2 ,所以 ON =
2 为定值.

? 27 1 ? ? 1, ? ? 4a 2 b 2 40. (Ⅰ)由题意得 ? ? 1 ? 32 ? 1, ? ? a 2 9b 2 2 2 解得 a ? 9, b ? 4

3 分

(Ⅱ)根据对称性可知点 E 在 x 轴上,则 E 点的坐标为 ( d , 0) ,

x ? ky ? d , ? ? 2 2 2 2 得 (9 ? 4k ) y ? 8dky ? 4d ? 36 ? 0 y2 ? ? 1, ? 4 ?9 8dk 设 B( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ? , 9 ? 4k 2 16dk m ? n ? ?2 y1 ? 2 y2 ? , 9 ? 4k 2 m?n 16k 16k 4 ? ? ? , 从而 2 d 9 ? 4k 12k 2 3
设 BD 的方程为 x ? ky ? d ,由 ? x
第 23 页,共 28 页

3 取得 2 c 41.解:(Ⅰ)依题意, b , ?3 , ? 2 ? a ? 1 , c ? 2 a
等号当且仅当 k ?

y2 ? 1. ? 双曲线的方程为: x ? 3
2

(Ⅱ)设 A ,F , ( xy ,1 ) , B ( xy ,2 ) :y ? kx (? 2 ) 1 2 2 (2,0) ,直线 l

? y ? k (x ? 2) ? 2 2 2 2 由? 2 y2 ,消元得 ( , k ? 3 ) x ? 4 k xk ?? 43 ? 0 ?1 ?x ? 3 ?
2 2 4 k 4 k ? 3 k ?? 3 时, x ,y , ? y ? k ( x ? x ) ? x ? , x x ? 1 2 1 2 1 2 12 2 2 k? 3 k? 3
2 2 2 2 ( 4 k ) ? 4 ( k ? 3 ) ( 4 k ? 3 ) 的面积 ?F AB S ? c yy ?? 2 k ? xx ? ? 2 k 1 1 2 1 2 2 k ? 3

k2 ?1 4 2 2 , ?2 k ? 2 ?6 3 ? k ? 8 k ? 9 ? 0 ? k ? 1 ? k ? ? 1 k ?3
所以直线 l 的方程为 y ? ? ( x ? 2 ) .
42.解:(1)?

???? ? ???? ? ? ???? ? ???? ? AF2 ? 5BF2 ? 0 ,? AF2 ? 5F2 B .? a ? c ? 5 ? a ? c ? ,化简得 2a ? 3c ,
2 3

故椭圆 E 的离心率为

4 (2)存在满足条件的常数 ? , l ? ? .点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点, 7

x2 y 2 ? ?1 9 5 x ?1 y ? 1, 设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , P ? x3 , y3 ? , Q ? x4 , y4 ? ,则直线 MD 的方程为 x ? 1 y1
? c ? 2 ,从而 a ? 3 , b ? 5 ,左焦点 F1 ? ?2,0 ? ,椭圆 E 的方程为

代入椭圆方程

x2 y 2 ? ?1, 9 5

整理得,

y ? x ? 1? 5 ? x1 2 x1 ? 1 4 y1 5x ? 9 y ? y ? 4 ? 0 .? y1 ? y3 ? 1 1 ,? y3 ? .从而 x3 ? 1 , 2 x1 ? 5 y1 y1 x1 ? 5 x1 ? 5

? 5 x ? 9 4 y1 ? ? 5 x2 ? 9 4 y2 ? 故点 P ? 1 , , ? .同理,点 Q ? ?. ? x1 ? 5 x1 ? 5 ? ? x2 ? 5 x2 ? 5 ?

? 三点 M 、 F1 、 N 共线,?

y1 y2 ? ,从而 x1 y2 ? x2 y1 ? 2 ? y1 ? y2 ? . x1 ? 2 x2 ? 2

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4 y1 4 y2 ? x y ? x2 y1 ? 5 ? y1 ? y2 ? 7 ? y1 ? y2 ? 7k1 y ? y4 x ? 5 x2 ? 5 ? 1 ? 1 2 ? ? 从而 k2 ? 3 5 x ? 9 5 x ? 9 x3 ? x4 4 ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? 4 1 ? 2 x1 ? 5 x2 ? 5

故 k1 ?
43.

4 4k 2 ? 0 ,从而存在满足条件的常数 ? ? ? 7 7

(1) 当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ?1 ; 当 m ? 1 时, 方程表示的是圆 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆

(3x ? 6)2 ? 9 y2 ? 1 4 (2) ? ? ? ? 解:(1)因为 a ? b , a ? (mx, y ? 1) , b ? ( x, y ?1) , ? ? 2 2 2 2 a 所以 ? b ? mx ? y ?1 ? 0 , 即 mx ? y ? 1 . w.w.w..c.o.m
当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ?1 ; 当 m ? 1 时, 方程表示的是圆 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线. (2)设

N ( x, y), P( x? , y? )

???? ???? PN ? ( x ? x? , y ? y? ), NQ ? (3 ? x, ? y ) ( x ? x? , y ? y? ) ? 2(3 ? x, ? y ) x ? x? ? 6 ? 2 x y ? y? ? ?2 y, x? ? 3 x ? 6, y? ? 3 y
, ,

m?


x2 (3x ? 6)2 1 ? y2 ? 1 P( x? , y? )代入椭圆方程,得 ? 9 y2 ? 1 4 时,轨迹 E 为 4 4 ,点

(3x ? 6)2 ? 9 y2 ? 1 4 所以点 N 的轨迹方程为

.

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44.解(Ⅰ)由已知,得 F (0,1) ,显然直线 AB 的斜率存在且不为 0,

则可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1 ( k ? 0 ), A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 由?

? x 2 ? 4 y, 消去 y ,得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ,显然 ? ? 16k 2 ? 16 ? 0 . ? y ? kx ? 1

所以 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 由 x 2 ? 4 y ,得 y ?

1 2 1 x ,所以 y ' ? x , 4 2

所以,直线 AM 的斜率为 k AM ?

1 x1 , 2 1 x1 ( x ? x1 ) ,又 x12 ? 4 y1 , 2

所以,直线 AM 的方程为 y ? y1 ? 所以,直线 AM 的方程为 同理,直线 BM 的方程为

x1x ? 2( y ? y1 ) ① x2 x ? 2( y ? y2 ) ②
x1 ? x2 , 2

②-①并据 x1 ? x2 得点 M 的横坐标 x ? 即 A , M , B 三点的横坐标成等差数列

(Ⅱ)由①②易得 y=-1,所以点 M 的坐标为(2k,-1)( k ? 0 ). 所以 k MF ?

2 1 ?? , ?2k k

则直线 MF 的方程为 y ? ? 设 C(x3,y3),D(x4,y4)

1 x ? 1, k

? x 2 ? 4 y, 4 16 ? 2 由? 消去 y ,得 x ? x ? 4 ? 0 ,显然 ? ? 2 ? 16 ? 0 , 1 k k ? y ? ? x ?1 k ?
所以 x3 ? x4 ? ? 又 | AB |?

4 , x x ? ?4 k 3 4

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2

? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 4(k 2 ? 1)
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| CD |? ( x3 ? x4 )2 ? ( y3 ? y4 )2 ? (1 ? ? (1 ?

1 )( x3 ? x4 )2 2 k

1 1 )[( x3 ? x4 )2 ? 4 x3 x4 ] ? 4( 2 ? 1) 2 k k

因为 kMF ? k AB ? ?1 ,所以 AB ? CD , 所以, S ACBD ?

1 1 1 | AB | ? | CD |? 8( 2 ? 1)(k 2 ? 1) ? 8(k 2 ? 2 ? 2) ? 32 , 2 k k

当且仅当 k ? ?1 时,四边形 ACBD 面积的取到最小值 32
45. ⑴

x2 ? y2 ? 1 2

? 3?
⑵4

,

4

46.解:(1)∵e=

y2 x2 3 12 ? ? 1(a ? b ? 0) ,∵P(4, 不妨设 c=3k,a=5k,则 b=4k,其中 k>0,故椭圆方程为 ) 2 2 5 5 25k 16k

12 2 ) x2 y2 5 ? ? 1 ―――4 分 ? ? 1 在椭圆上,∴ 解得 k =1, ∴椭圆方程为 25 16 25k 2 16k 2 42 (
12 ?4 2 2 ? 5 ?? , 则直线 AP 的方程为 y ? ? x ? 4 ―――――5 分 4 5 5

(2) k AP 令 y=t

? 0 ? t ? 4? ,则 x ? 5(42? t )

∴M(

5(4 ? t ) 5(4 ? t ) , t ) ,∵Q(0,t)∴N( , t) , 2 4

∵圆 N 与 x 轴相切 ∴ ∴ N(

5(4 ? t ) 5(4 ? t ) 20 ? t ,由题意 M 为第一象限的点,则 ? t ,解得 t ? 4 9 4

20 20 20 20 400 ――――――――10 分 , ) ,圆 N 的方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 9 9 9 9 81 12 12 ∴直线 PF 的方程为 y ? ( x ? 3) 即 12x ? 5 y ? 36 ? 0 ――11 分 5 5

(3)F(3,0), k PF ?

∴点 N 到直线 PF 的距离为

4 15(4 ? t ) ? 5t ? 36 24 ? 20t 6 ? 5t = = 13 13 13

∴d ?

4 5 6 ? 5t + (4 ? t ) ,∵0<t<4 ――――12 分 4 13
6 4 5 356 ? 145t 7 89 时, d ? (6 ? 5t ) ? (4 ? t ) = ,此时 ? d ? 5 13 4 52 2 13

∴当 0<t≤ 当

6 4 5 164? 15t 7 56 <t<4 时, d ? (5t ? 6) ? (4 ? t ) = ,此时 ? d ? 5 13 4 52 2 13
? 7 89 ? ?. ? 2 13 ?

∴综上, d 的取值范围为 ? ,

47.解:由已知可得直线 l 的方程: y ? x ? 1, 点 F1

?? 1,0?

设点 A? x1 , y1 ?, B? x 2 , y 2 ?
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?y ? x ?1 ? 2 2 2 整理得: ?2m ? 1?x ? 2mx ? 2m ? m ? 0 ?x y2 ?1 ? ? ? m m ?1
当 m ? 1时

? ? 4m 2m 2 ? 4m ? 2 ? 0 恒成立

?

?

因为 F1 A ? ? x1 ? 1, y1 ?, F1 B ? ? x 2 ? 1, y 2 ? 所以

?x1 ? 1??x2 ? 1? ? y1 y 2 ? 0

(*)

因为 y1 ? x1 ? 1, y 2 ? x 2 ? 1 所以(*)式化简得: x1 x 2 ? 1 ? 0 由此可得

2m ? m 2 ? 1 ? 0, (m ? 1) 2m ? 1

由此解得

m ? 2? 3

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