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2014届高三必过关题10 新增内容(赵睿英)

高三必过关题 10

新课程新增内容
赵睿英

苏州高新区第一中学

第一部分、例 1-5 是考查简易逻辑的有关知识,主要是对充要条件、四种命题、 全称性命题及存在性命题等知识点的考查。
a b 例 1、命题“若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ”的否命题为



[答]若 a ? b, 则2 a ? 2b ? 1 . [析]写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论.注意前否定 后也否定,与命题的否定不同。 例 2、命题“ ?x ? 2, 都有x 2 ? 4 ”的否定是___________. [答] ?x ? 2, 使得x 2 ? 4 . [析]全称量词改为存在量词,结论改否定. 例 3、 钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的___________. [答]必要条件. [析]它的逆否命题是“若是好货,则不便宜。 ” b 例 4、 “ab=0”的_________条件是“复数 a+ 为纯虚数” i [答] 充分不必要条件 [析] 本小题主要考查充要条件的概念以及复数的相关知识, 解题的突破口为弄清 b b 什么是纯虚数,然后根据充要条件的定义去判断.a+ =a-bi,若 a+ 为纯虚数, i i b b a=0 且 b≠0, 所以 ab=0 不一定有 a+ 为纯虚数, 但 a+ 为纯虚数, 一定有 ab=0, i i b 故“ab=0”的充分不必要条件是“复数 a+ 为纯虚数”。 i

b c ? R ,“ b ? 4ac ? 0 ”是“函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图像恒在 x 轴 例 5、 已知 a、、
2

上方”的___________条件。 [答]既非充分又非必要条件 [析]当 a=b=0 时,若 c>0,函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像也恒在 x 轴上方,所
2 2 以“ b ? 4ac ? 0 ”不是“函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像恒在 x 轴上方”的必要条件,
2

2 当 a<0 , b ? 4ac ? 0 时,函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像恒在 x 轴下方,所以
2

1

“ b ? 4ac ? 0 ”不是“函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图像恒在 x 轴上方”的充分条件,
2

第二部分、例 6-9 是考查复数的有关知识,主要题型有对复数概念、复数的四则 运算、复数的几何意义的考查。 例 6、已知 z 是纯虚数,

z?2 是实数,那么 z=___________. 1? i

[答]-2i [析]设纯虚数 z=bi (b∈ R) ,代入 z ? 2 bi ? 2 (bi ? 2)(1 ? i) (2 ? b) ? (b ? 2)i .由于其为实数,所以 b=-2. ? ? ? 1? i 1? i (1 ? i )(1 ? i ) 2

(1 ? 2i)2 (2 ? i) 2 ? 例 7、 =______. 3 ? 4i 4 ? 3i
[答]原式=

?3 ? 4i 3 ? 4i (?3 ? 4i)(3 ? 4i) i(4 ? 3i) 7 ? 24i 7 49 ? ? ? ? ? i ? ? i. 3 ? 4i 4 ? 3i 25 4 ? 3i 25 25 25

例 8、过原点和 3 ? i 对应点的直线的倾斜角是______________. [答]

5? 6

[析]∵ 3 -i 的对应点是( 3 ,-1) ,∴tanα = 又∵0≤α <π ,∴α =

?1 ? 0 3 . ?? 3 3 ?0

5 π. 6

例 9、已知复数 z 满足等式|z-1|=|z+2i|,则|z-1-i|的最小值为_____________. [答]∵|z-1|=|z+2i|,∴z 的对应点的轨迹方程为 2x+4y+3=0,故|z-1-i|的最小值即为点 (1,1)到直线 2x-4y-3=0 的距离

| 2 ? 4 ? 3| 9 5 ? . 10 4 ? 16

2

第三部分、例 10-14 考查统计中的有关内容,题型主要有对抽样方法、样本的 平均值及方差、通过茎叶图分析样本,通过频率分布直方图分析样本等知识点的考 查。 例 10、 某学校有男、 女学生各 500 名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是 否存在显著差异,拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方 法是 . [答]分层抽样 [析]这是一道统计抽样中的基本概念题,分层抽样是按比例抽样,当样本个体有显 著差异时采用,而系统抽样是按规律抽样. 例 11、 甲、 乙两人在 10 天中每天加工的零件的 个数用茎叶图表示如下图.中间一列的数字表 示零件个数的十位数,两边的数字零件个数的 个位数,则这 10 天中甲、乙两人日加工零件的 平均数分别为 和 . [答] 24 , 23 . [析]设甲的平均数为 a ,乙的平均数为 b ,则

?1 ? 2 ? 0 ? 1 ? 3 ? 2 ? ?0 ? 15 ? 11 ? 11 ? 24 . 10 ?1 ? 3 ? 9 ? 1 ? 4 ? 2 ? 4 ? 10 ? 12 ? 10 b ? 20 ? ? 23 . 10 则这 10 天中甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 24 和 23 a ? 20 ?
例 12、交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对 甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N,其 中甲社区有驾驶员 96 人,若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数 N 为 。 [答]808 [析]根据分层抽样的概念,N∶96=(12+21+25+43)∶12,即 N=8× 101=808. 例 13、某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次,投中的次数如下表: 学生 1号 2号 3号 4号 5号 6 7 7 8 7 甲班 6 7 6 7 9 乙班 2 2 则以上两组数据的方差中较小的一个为 s ,则 s = 。 2 [答] 5 1 2 2 2 2 2 2 [析] x 甲=7,s2 甲= [(6-7) +(7-7) +(7-7) +(8-7) +(7-7) ]= , 5 5 1 6 2 2 2 2 2 x 乙=7,s2 乙= [(6-7) +(7-7) +(6-7) +(7-7) +(9-7) ]= , 5 5
3

2 2 两组数据的方差中较小的一个为 s2 甲,即 s = . 5 例 14、如图 1-4 是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本 频率分布直方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的分组为[20.5,21.5), [21.5,22.5),[22.5,23.5),[23.5,24.5),[24.5,25.5),[25.5,26.5].已知样本中平均气温 低于 22.5℃的城市个数为 11 ,则样本中平均气温不低于 25.5℃的城市个数为 ________.

图 1-4 [答]9 [析]本题考查频率分布直方图及样本估计总体的知识,考查数据处理能力。 样本容量=

频数 11 ? =50,样本中平均气温不低于 25.5℃ 的城市个 1×? 0 .10 +0.12? 频率

数为 50× 1× 0.18=9. 第四部分、例 15-23 是概率有关问题,分为对古典概型及对几何概型的考查。古典 概型要注意分部求出总的基本事件个数和某事件的基本事件的个数。 例 15、近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可 回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投 放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1 000 吨生活垃圾,数据统计如下(单 位:吨): “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 400 100 100 厨余垃圾 30 240 30 可回收物 20 20 60 其他垃圾 则估计厨余垃圾投放正确的概率 ;则估计生活垃圾投放错误的概 率 ; 解:(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量 400 2 = = . 厨余垃圾总量 400+100+100 3 (2)设生活垃圾投放错误为事件 A,则事件 A 表示生活垃圾投放正确. 事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与 400+240+60 “其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即 P( A )约为 1000 =0.7, 所以 P(A)约为 1-0.7=0.3.
4

例 16、利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,则事件“ 3a ? 1 ? 0 ”发生的概率为 ________ [答]

2 3

[析]当 a ? ?0,1? 时 3a ? 1? (?1,2) 故 P=

2 3

,本题属几何概型问题,测度为长度。

例 17、现在某类病毒记作 X mYn ,其中正整数 m , n ( m ? 7 , n ? 9 )可以任意选取,则

m,n 都取到奇数的概率为____________.
[答]

20 . 63

[ 析 ]本 题属 古 典概 型问 题 ,基 本事 件 共有 7 ? 9 =63 , 取 到奇 数的 基 本事 件

4 ? 5 ? 20
例 18、 曲线 C 的方程为

x2 y2 ? =1,其中 m、n∈{1,2,3,4,5,6},如果事件 A 为“方 m2 n2



x2 y2 ? =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆” ,那么 P(A)=____________. m2 n2
5 12

[答]

[析]方程

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 表示焦 表示的曲线共有 6 × 6=36( 种 ) ,而方程 m2 n2 m2 n2
15 5 ? . 36 12

点在 x 轴上的椭圆的个数为 5+4+3+2+1=15.故 P ( A) ?

例 19、甲、乙两人玩数字游戏,先由甲心中任想一个数字记为 a,再由乙猜甲刚才 想的数字,把乙想的数字记为 b,且 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,则称“甲、乙 心有灵犀” ,现任意找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为_______. [答]

4 9

[析]总的基本事件数为 36 个,满足条件的事件有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3, 2),(3,4),(4,3),(3,3),(4,5),(4,4),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5), (6,6),共 16 个,所以所求事件概率为

16 4 ? . 39 9

例 20、如图 1-3 所示,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作 两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点, 则此点取自阴影部分的概率是 。

5

图 1-3 2 [答]1- π [析]如下图所示

不妨设扇形的半径为 2a,记两块白色区域的面积分别为 S1,S2,两块阴影部分 1 的面积分别为 S3,S4,则 S1+S2+S3+S4=S 扇形 OAB= π(2a)2=πa2①, 4 而 S1+S3 与 S2+S3 的和恰好为一个半径为 a 的圆的面积, 即 S1+S3+S2+S3=πa2 ②. 由①-②得 S3=S4; 1 又由图可知 S3=S 扇形 EOD+S 扇形 COD-S 正方形 OEDC= πa2-a2,所以 S 阴影=πa2-2a2. 2 S阴影 πa2-2a2 2 故由几何概型概率公式可得,所求概率 P= = =1- . 2 π a π S扇形OAB 例 21、如图,正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2 ,AF=1,在 多面体 EF-ABCD 内随机投点, 则该点落在多面体 EF-BCD 内的概率为 [析] 本题是个体积型概率问题,只需分别求出多面体 EF-ABCD 和多面体 EF-BCD 的体积即可. [答]∵VEF-ABCD=VD-ACEF+ VB-ACEF VEF-BCD=VEF-ABCD-VF-ABD=1, ∴所求概率 P ? = .

4 , 3

VEF ?BCD 3 ? . VEF ? ABCD 4

[精要点评]体积问题往往会用到立体几何求体积的一些方法,解答此类问题时要 注意体积的求解方法,如分解、割补等. x (x>1),若 a 是从 0,1,2 三数中任取一个,b 是从 1,2,3,4 x-1 四数中任取一个,那么 f(x)>b 恒成立的概率为 。 2 [答] 3 例 22、设函数 f(x)=ax+
6

[析] 本题主要考查古典概型的基本运算.属于基础知识、基本运算的考查. x 1 当 a>0 时,f(x)=ax+ (x>1)=a(x-1)+ +a+1≥2 a+a+1=( a+1)2, x-1 x-1 因为 f(x)>b 恒成立,所以( a+1)2>b 恒成立,若 b=1,则 a=1,2;b=2,a=1,2;b 1 =3,a=1,2;b=4,a=2,共 7 种情况;a=0 时,f(x)= +1>1,b=1 适合, x-1 8 2 故概率为 = . 3× 4 3

第五部分、例 23-25 是三道算法问题,这部分应该是学生容易得的分数,一般要强 调列表细心推算。 例 23、 如图 1-3 为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是________.

图 1-3 [答]3 [析] 考查算法框图、诱导公式、特殊角的三角函数值;解题的突破口是列出每一 π 次循环后各变量的结果.当 k=1 时,此时 sin =1>sin0=0 成立,因此 a=1,T=0 2 π +1=1,k=1+1=2,k<6 成立,再次循环;因 sinπ=0>sin =1 不成立,因此 a=0, 2 3π T=1+0=1,k=2+1=3,此时 k<6 成立,再次循环;因 sin =-1> sinπ=0 不成 2 立,因此 a=0,T=1+0=1,k=3+1=4,此时 k<6 成立,再次循环;因 sin2π= 3π 0>sin =-1 成立,因此 a=1,T=1+1=2,k=4+1=5,此时 k<6 成立,再次循 2 5π 环;因 sin =1> sin2π=0 成立,因此 a=1,T=2+1=3,k=5+1=6,此时 k<6 2 不成立,退出循环,此时 T=3. 例 24 、 如 图 所 示 , 程 序 框 图 ( 算 法 流 程 图 ) 的 输 出 结 果 是 ( )

[答]4 [析]本题考查程序框图的应用,逻辑推理的能力.用表格列出 x,y 每次的取值情 况如下表:
7

x 1 2 4 8 y 1 2 3 4 可以很直观地看出输出结果是 y=4. 例 25 根据如图所示的伪代码,最后输出的 i 的值为

T ?1 i?3

While T ? 10
T ?T ?i i?i?2

End While Print i
[答]9 [析]列表: T 1 4 9 16 i 3 5 7 9 第六部分、例 26-31 是六道推理问题,包括归纳、类比、演绎推理等题型 例 26、观察如图所示列表,其第 2n 行的值为___________.

[答]22n [析]本题属归纳推理问题,观察得第 1 行的值为 12,第 2 行的值为 1+2+1=4=22, 第 3 行的值为 32,……猜想第 n 行的值为 n2,所以第 2n 行的值为(2n)2=22n.

例 27、 观察下列等式: tan10° · tan20° +tan20° · tan60° +tan60° · tan10° =1; tan5° · tan10° +tan10° · tan75° +tan75° · tan5° =1; tan7° · tan50° +tan50° · tan33° +tan33° · tan7° =1. 从中归纳出一个一般性的结论:___________.

[答]若 α+β+γ=

? ,则 tanα· tanβ+tanβ· tanγ+tanγ· tanα=1. 2

S△AEC 例 28、 在平面中,△ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分△ABC 面积所成的比 = S△BEC AC .将这个结论类比到空间:在三棱锥 A-BCD 中,平面 DEC 平分二面角 A-CD- BC B 且与 AB 交于 E,则类比的结论为________.
8

图 K45-1 VA-CDE S△ACD = VB-CDE S△BDC [析] 此类问题为类比推理问题,由平面类比空间,应该面积类比体积,长度类比 S△AEC AC VA-CDE S△ACD 面积,由 = ,类比得 = . S△BEC BC VB-CDE S△BDC [答]

例 29、给出一个“三角形”的数表如下: 此表构成的规则是:第一行是 0,1,2,…,999,以后下一行的数是上一行相邻两 数的和.问:第四行的数中能被 999 整除的数是什么?

[答]首先找出第四行数的构成规律,通过观察分析,可以看出:第四行的任一个 数和第一行中相应的四个相邻的数有关,具体关系可以从下表看出: 第一行 第二行 第三行 第四行 如果用 an 表示第四行的第 n 个数,那么 an=8n+4.现在要找出 an=8n+4=999k 的 an, 显然 k 应是 4 的倍数,注意到第四行中最大的数是 7 980<999× 8,所以 k=4,由此求 出第四行中能被 999 整除的数是 999× 4=3 996, 它是第四行中的第 (3 996-4) ÷ 8=499 项,即 a499=3 996. 例 30、回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如 22,121,3443,94249 等. 显然 2 位回文数有 9 个: 11,22,33, …, 99.3 位回文数有 90 个: 101,111,121, …, 191,202, …, 999.则 (1)4 位回文数有______个; (2)2n+1(n∈N*)位回文数有______ 个. [答](1)90 (2)9× 10n [析] 由题意, 1 位回文数有 9 个, 2 位回文数有 9 个,3 位回文数有 90=9× 10 个, 4 位回文数有 1001,1111,1221,…,1991,2002,…,9999,共 90 个,故归纳猜想 2n +2 位回文数与 2n+1 位回文数个数相等,均为 9× 10n 个. 例 31、设 N=2n(n∈N*,n≥2),将 N 个数 x1,x2,…,xN 依次放入编号为 1,2,…, N 的 N 个位置,得到排列 P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取
9

N N 出, 并按原顺序依次放入对应的前 和后 个位置, 得到排列 P1=x1x3…xN-1x2x4…xN, 2 2 N 将此操作称为 C 变换.将 P1 分成两段,每段 个数,并对每段作 C 变换,得到 P2; 2 N 当 2≤i≤n-2 时,将 Pi 分成 2i 段,每段 i个数,并对每段作 C 变换,得到 Pi+1.例如, 2 当 N=8 时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置. (1)当 N=16 时,x7 位于 P2 中的第________个位置; (2)当 N=2n(n≥8)时,x173 位于 P4 中的第________个位置. [答] (1)6 (2) 3× 2n 4+11 [析] 本题考查合情推理,以新定义题型为载体,依据排列,考查考生的逻辑推 理能力,要求学生的想象能力相当出色. (1)由已知可得 P1=x1x3x5x7x9x11x13x15…,P2=x1x5x9x13x3x7x11x15…,故 x7 位于 P2 中的第 6 个位置; 173+1 (2)当 i=1 时,P1 的排列中 x173 的位置是 =87 位; 2 87+1 当 i=2 时,P2 的排列中 x173 的位置是 =44 位; 2 n-2 2 44 - 当 i=3 时,P3 的排列中 x173 的位置是 + =2n 3+22 位; 2 2 - 2n 3+22 n-3 n-4 - - 当 i=4 时,P4 的排列中 x173 的位置是 2n 3+ =2 +2 +11=3× 2n 4 2 +11 位.


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