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【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第14讲 导数的概念及运算 Word版含解析


第三单元 导数及其应用 第14讲 导数的概念及运算

1.下列求导运算正确的是( B ) 1 1 1 A.(x+ )′=1+ 2 B.(log2x)′= x x xln 2 C.(3x)′=3xlog3e D.(x2cos x)′=-2xsin x 1 1 解析:(x+ )′=1- 2;(3x)′=3x· 3; ln x x (x2cos x)′=(x2)′· x+x2· x)′ cos (cos 2 =2xcos x-x sin x, 所以 A、C、D 错.故选 B. f?x0+h?-f?x0-h? 2.若 f′(x0)=3,则lim 等于( B ) →0 h h A.3 B.6 C.9 D.12 f?x0+h?-f?x0-h? 解析:lim h h→0 f?x0+h?-f?x0?-[f?x0-h?-f?x0?] =lim h h→0 f?x0+h?-f?x0? f?x0-h?-f?x0? =lim +lim →0 →0 h h h -h =f′(x0)+f′(x0)=6,选 B. 3.(2012· 山东省日照市 12 月)设函数 f(x)=x2-6x,则 f(x)在 x=0 处的切线斜率为( D ) A.0 B.-1 C.3 D.-6 解析:f(x)在 x=0 处的切线斜率为 f′(0)=(2x-6)|x=0=-6. 4.已知二次函数 f(x)的图象如图所示,则其导函数 f′(x)的图象大致形状是( B )

解析:设二次函数 y=ax2+b(a<0,b>0),则 y′=2ax,又因为 a<0,故选 B. π 3π 5.(2012· 安徽皖南联考)曲线 f(x)=sin x 的切线的倾斜角 α 的取值范围是 [0,]∪[ , 4 4 π) . 解析:f′(x)=cos x,而 cos x∈[-1,1],即-1≤tan α≤1,又 α∈[0,π),由正切函数

π 3π 图象得 α∈[0, ]∪[ ,π). 4 4

6.(2012· 广东省揭阳段考)如图,直线 l 是曲线 y=f(x)在 x=4 处的切线,则 f′(4)= 1 . 2 解析: 由图象知 l 过点(0,3)、 (4,5), 因此可以求出切 线 l 在点(4,5)处的斜率, f′(4)= 1 = . 2 7.(2012· 广东省汕头市质量测评)设曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6= 0 平行,则 a= 1 . 解析:由 y′=2ax,又点(1,a)在曲线 y=ax2 上, 依题意得 k=y′|x=1=2a=2,解得 a=1. + 8.设曲线 y=xn 1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,令 an=lg xn, 试求 a1+a2+…+a99 的值. 解析:因为 y′=(n+1)xn,故 y′|x=1=n+1, 所以切线方程为 y-1=(n+1)(x-1). n n 令 y=0,则 xn= ,所以 an=lg . n+1 n+1 1 2 99 1 所以 a1+a2+…+a99=lg +lg +…+lg =lg =-2. 2 3 100 100 9.已知函数 f(x)=x3-3x 及 y=f(x)上一点 P(1,-2),过点 P 作直线 l. (1)求使直线 l 和 y=f(x)相切且以 P 为切点的直线方程; (2)求使直线 l 和 y=f(x)相切且切点异于 P 的直线方程. 解析:(1)由 f(x)=x3-3x,得 f′(x)=3x2-3, 过点 P 且以 P(1,-2)为切点的直线的斜率 f′(1)=0, 所以所求直线方程为 y=-2. (2)设过 P(1,-2)的直线 l 与 y=f(x)切于另一点(x0,y0), 则 f′(x0)=3x2-3, 0 又直线 l 过(x0,y0),P(1,-2), 3 y0-?-2? x0-3x0+2 故其斜率可表示为 = , x0-1 x0-1 x3-3x0+2 0 所以 =3x2-3, 0 x0-1 即 x3-3x0+2=3(x2-1)· 0-1), (x 0 0 1 解得 x0=1(舍去)或 x0=- , 2 1 9 故所求直线的斜率为 k=3×( -1)=- , 4 4 9 所以直线方程为 y-(-2)=- (x-1), 4 即 9x+4y-1=0. 5-3 4-0


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