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高中数学好题速递400题(51—100)

好题速递 51
1. 已知点 F ? ?c, 0?? c ? 0? 是双曲线
x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,过 F 且平行于双曲线渐近线的直 a 2 b2

线与圆 x 2 ? y 2 ? c 2 交于点 P ,且点 P 在抛物线 y 2 ? 4cx 上,则该双曲线的离心率是( A、
3? 5 2



B、 5

C、

5 ?1 2

D、

5 ?1 2

? a2 ? b2 b ? x? ? ? y ? ? x ? c? ? c 或 ? x ? ?c 解:由 ? 得? a ? ?y ? 0 ? y ? 2ab ? x2 ? y 2 ? c2 ? ? c ?

所以 ?

? a 2 ? b 2 2ab ? 4 2 2 , ? 在 y ? 4cx 上,所以 e ? e ? 1 ? 0 ,解得 e ? c c ? ?

5 ?1 2

2.5 名同学去听同时进行的 4 个课外知识讲座,每名同学可自由选择听其中的 1 个讲座, 不同选法的种数是 答案: 4 (或 1024)
5



好题速递 52
1. 过椭圆
x2 y2 ? ? 1 上一点 M 作圆 x2 ? y 2 ? 2 的两条切线,点 A, B 为切点,过 A, B 的直线 9 4

l 与 x 轴, y 轴分别交于 P, Q 两点,则 ?POQ 的面积的最小值为



解:设 M ? x0 , y0 ? ,则直线 l 的方程为 x0 x ? y0 y ? 2 ? 0 ,所以直线 l 与 x 轴, y 轴分别交于点
? 2 ? ? 2 ? P, Q 的坐标为 ? , 0 ? , ? 0, ? ? x0 ? ? y0 ?



2 x y x0 y2 ? 0 ? 1 ? 0 0 ,所以 x0 y0 ? 3 9 4 3

所以 S ?POQ ?

2 2 ? x0 y0 3

2.已知等式 (1 ? x ? x2 )3 ? (1 ? 2 x2 )4 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ? ? a14 x14 成立, 则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a 13 ?a14 的值等于 答案:0 .

好题速递 53
1.已知两定点 A? ?2, 0? 和 B ? 2,0 ? ,动点 P ? x, y ? 在直线 l : y ? x ? 3 上移动,椭圆 C 以 A, B 为 焦点且经过点 P ,则椭圆 C 的离心率的最大值为 .

解:由于 c ? 2 确定,所以离心率最大就是 a 最小. 所以问题等价于在直线 l : y ? x ? 3 上确定点 P ,使 PA ? PB 取得最小值. 结合对称性可得,点 A 关于直线 l 的对称点为 M ? ?3,1? 所以 ? PA ? PB ?min ? BM ? 26 所以 emax ?
4 26 ? 2 26 13

2.正五边形ABCDE中,若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿、三种颜色中的一种, 使得相邻顶点所染颜色不相同,则不同的染色方法共有 种. 答案:30

好题速递 54
a ?2 2 1.已知数列 ?an ? 和 ?bn ? 中, a1 ? a , ?bn ? 是公比为 的等比数列.记 bn ? n ? n ? N *? , an ? 1 3 若不等式 an ? an ?1 对一切 n ? N * 恒成立,则实数 a 的取值范围是 .

解:因为 bn ?

an ? 2 b ?2 ? n ? N *? ,所以 an ? n , an ? 1 bn ? 1

1 ? bn bn ?1 ? 2 bn ? 2 bn ?1 ? bn 1 1 3 所以 an ?1 ? an ? ? ? ? ? ? ?0 bn ?1 ? 1 bn ? 1 bn ? 1 bn ?1 ? 1 ?1 ? bn ??1 ? bn ?1 ? ? 2bn ? ?1 ? 3 ? ?1 ? bn ? ? ? 3 解得 bn ? or 0 ? bn ? 1 2 n ?1 n 3 a?2 ?3? 3 ?2? ? ? ? 对一切正整数 n 成立,显然不成立 若 bn ? ,则 b1 ? ? ? ,即 b1 ? 2 a ?1 ? 2 ? 2 ?3?

若 0 ? bn ? 1 ,则 0 ? b1 ? ? 3

?2? ? ?

n ?1

? 1 对一切正整数 n 成立,只要 0 ? b1 ? 1 即可,即 0 ?

a?2 ?1 a ?1

解得 a ? 2 2. 已知 ( x2 ? x ? 1) 2 ? a0 ? a1x ? a2 x 2 ? a3x 3 ? a 4x 4 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 =_____; a1 ? ______. 答案:0,-2

好题速递 55
1.方程

xx 16

?

yy 9

? ?1 的曲线即为函数 y ? f ( x) 的图象,对于函数 y ? f ( x) ,有如下结

论:① f ( x) 在 R 上单调递减;②函数 F ? x ? ? 4 f ( x) ? 3x 不存在零点;③函数 y ? f ( x) 的 值域是 R ;④ f ( x) 的图象不经过第一象限,其中正确的个数是 解:由 .

xx 16

?

y y 9

? ?1 知, x, y 不能同时大于 0,分类讨论:
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线的一部分 16 9

当 x ? 0, y ? 0 时,

当 x ? 0, y ? 0 时, 当 x ? 0, y ? 0 时,

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆的一部分 16 9 y2 x2 ? ? 1 表示双曲线的一部分 9 16

作出图象可知①③④正确 对于②的判断:由于 y ? ? x 是双曲线

3 4

x2 y2 y2 x2 ? ? 1和 ? ? 1 的渐近线,所以结合图象 16 9 9 16

可知曲线 y ? f ? x ? 与直线 y ? ? x 没有交点,则 F ? x ? ? 4 f ? x ? ? 3x ? 0 不存在零点. 2.若 x∈A 则
1 1 1 ∈A,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M={-1,0, , ,1,2,3,4} 2 x 3

3 4

的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为



1 1 答案:A 具有伙伴关系的元素组有-1,1, 、2, 、3 共四组,它们中任一组、二组、 2 3
3 4 三组、四组均可组成非空伙伴关系集合,个数为 C 14 + C 2 4 + C 4 + C 4 =15.

好题速递 56
1.已知正方形 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1, M , N 是对角线 AC1 上的两点,动点 P 在正 方体表面上运动,满足 PM ? PN ,则动点 P 的轨迹长度的最大值为 解:动点 P 的轨迹为线段 MN 的中垂面与正方体表面的截痕. 2. 若 ( x ? 1)5 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1)2 ? ... ? a5 ( x ? 1)5 ,则 a 0 = 答案:32 . .3 2

好题速递 57
1.如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,当动点 M 在底面 ABCD 内运动 时,总有 ?DD1 A ? ?DD1M ,则动点 M 在面 ABCD 内的轨迹是 . A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.圆的一部分 解:因为满足条件的动点在底面 ABCD 内运动时,动点的轨迹是以 D1 D 为轴线,以 D1 A 为母线的圆锥,与平面 ABCD 的交线即圆的一部分. 2.从 6 名品学兼优的同学中选出 4 名去进行为期三天的宣传活动,每人一天,要求星期天 有 2 人参加,星期五、星期六各有 1 人参加,则不同的选派方案共有 答案:180 种.

好题速递 58
f ? x ? ? f 2 ? x ? f1 ? x ? ? f 2 ? x ? 1 ? 1 . 已 知 函 数 f1 ? x ? ? x ? 1 , f 2 ? x ? ? x ? 1 , g ? x ? ? 1 ,若 2 2 3

,且当 x1 , x2 ? ? a, b? 时, a, b ? ? ? 1 ,? 5 解: g ? x ? ?
f1 ? x ? ? f 2 ? x ? 2 ?

g ? x1 ? ? g ? x2 ? x1 ? x2

? 0 恒成立,则 b ? a 的最大值为



f1 ? x ? ? f 2 ? x ? 2

? ? f1 ( x), f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ?? ? ? f 2 ( x), f1 ? x ? ? f 2 ? x ?

1 即 g ? x ? 即为取 f1 ? x ? ? x ? 1 , f 2 ? x ? ? x ? 1 中较大者. 3

画 出 函 数 图 象 , 且 g ? x? 单 调 递 增 , 所 以 单 调 递 增 区 间

?a, b? ? ?0,5? ,所以 b ? a 的最大值为 5.
2.若 ? x ?1?? x ? 1? 的展开式中 x 5 的系数是
8



答案:14

好题速递 59
1 .设正实数 x, y, z 满足 x2 ? 3xy ? 4 y 2 ? z ? 0 ,则当 值为 .

2 1 2 xy 取得最大值时, ? ? 的最大 x y z z

解: z ? x2 ? 3xy ? 4 y 2 ,所以 当且仅当 x ? 2 y 时,等号成立 所以

xy xy xy ? 2 ? ?1 2 x ? 3 xy ? 4 y xy z

2 1 2 2 1 2 1 2 ? ? ? ? ? 2 ?? 2 ? x y z 2y y 2y y y 1 2 ? 0 ,则原式 ? ? ? t ? 1? ? 1 ? 1 y

令t ? 所以

2 1 2 ? ? 的最大值为 1. x y z
种.

2.有 5 名学生站成一列,要求甲同学必须站在乙同学的后面(可以不相邻) ,则不同的站 法有 答案:60

好题速递 60

? b ? a, a 1 . 定 义 m a ?x , 设 实 数 a b? ,? ? ?b, a ? b

? ?x ?2 , 则 x, y 满 足 约 束 条 件 ? ? ?y ?2


z ? m a ?x x4 ? y ,x ? 3 y ? 的取值范围是
1 ? 4 x ? y, y ? x ? ? 2 解: z ? ? ?3x ? y, y ? ? 1 x ? 2 ?
作出 ?

? ?x ?2 所对应的区域如图所示: ? ?y ?2

由图可知: z ? max ?4x ? y,3x ? y? ???7,10? 2. 某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项 目,且在同一个城市投资的项目不超过 2 个,则该外 商不同的投资方案有 种. 答 案 : 按 条 件 项 目 可 分 配 为 2,1, 0, 0 与 1,1,1, 0 的 结
2 2 2 3 3 C3 A2 ? C4 A3 ? 36 ? 24 ? 60 种. 构,∴ C4

好题速递 61
1 . 不 等 式 x2 c o s ? ? x? ? 1 x 1 ? x ??? ? 是 .
2

s ?i ? n 对0 x ??0,1? 恒 成 立 , 则 ? 的 取 值 范 围

解:经整理为 f ? x ? ? ? sin? ? cos? ? 1? x2 ? ?1 ? 2sin? ? x ? sin? ? 0 对 x ??0,1? 恒成立, 当 x ? 0 时, f ? 0? ? sin? ? 0 ;当 x ? 1 时, f (1) ? cos? ? 0 所以 sin ? ? cos ? ? 1 ? 0 ,二次函数开口向上 对称轴 x ?

1 ? 2sin ? ? ? 0,1? 2 ? sin ? ? cos? ? 1?

?? ? 1 ? 2sin 2? ? 0 ? 5? ? 所以需满足 ?sin ? ? 0 ? 2 k? ? ? ? ? 2 k? ? ,k ?Z 12 12 ?cos? ? 0 ?
2.有两排座位,前排 4 个座位,后排 5 个座位,现安排 2 人就坐,并且这 2 人不相邻(一 前一后也视为不相邻) ,那么不同坐法的种数是 答案:58 .

好题速递 62

? cos C ??? ? ???? cos B ??? AB ? AC ? 2mAO ,则 m ? sin C sin B 3 ? cos C ???? ? ???? ???? ???? ? cos B ??? AB ? AC ??AO ? 2mAO?AO 解: ? sin B ? sin C ?
1.已知 O 为 ?ABC 的外心,且 A ? , 所以

?



cos B c 2 cos C b 2 ? ? ? ? 2R2 m sin C 2 sin B 2

a 3 ? sin A ? 2R 2 2. 将 4 个相同的白球和 5 个相同的黑球全部 放入 3 个不同的盒子中,每个盒子既要有白 .. 球,又要有黑球,且每个盒子中都不能同时只 放入 2 个白球和 2 个黑球,则所有不同的放 .....
由正弦定理得 c cos B ? b cos C ? 2 Rm ? a ,所以 m ? 法种数为 答案:12 种.

好题速递 63
1.已知

1 ? k ? 1 , 函 数 f ? x ? ? 2x ? 1 ? k 的 零 点 分 别 为 x1 , x2? x? 1 5

x2 , 函 数 ?

g ? x ? ? 2x ? 1 ?
为 .

k 的 零 点 分 别 为 x3 , x4 ? x3 ? x4 ? , 则 ? x4 ? x3? ?? x2 ? x ?1 的 最 小 值 2k ? 1 k k ,2x4 ? 1 ? 2k ? 1 2k ? 1

解:由题可知 2x1 ? 1 ? k ,2x2 ? 1 ? k ,2x3 ? 1 ?

所以 2

? x4 ? x3 ? ? ? x2 ? x1 ?

k 1? 2 x4 2 x2 2k ? 1 ? k ? 1 ? 3k ? 1 ? ?3 ? 4 ? 2 ? x3 ? x1 ? k 2 1? k 1? k 1? k 2 1? 2k ? 1

当且仅当 k ?

1 时, ? ?? x4 ? x3 ? ? ? x2 ? x1 ?? ? min ? 1 5

2.某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校的自主招生考试,由于其中两所学校 的考试时间相同,因此该学生不能同时报考这两所学校.该学生不同的报考方法种数 是 答案:16 . (用数字作答)

好题速递 64
1 . 已知实 数 a , b, c 满 足 a ? b ? c ? 2 , a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4 , 且 a ? b ? c , 则 a 的 取值 范围





解:由 a ? b ? c ? 2 得 b ? c ? 2 ? a 又 a ? b ? c ,故 3a ? 2 ,即 a ?

2 3
2

又 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4 ,所以 ?b ? c ? ? 2bc ? 4 ? a2 所以 bc ? a 2 ? 2a 所以 b, c 是方程 x 2 ? ? 2 ? a ? x ? a 2 ? 2a ? 0 的两个小于 a 不等实根

?

?

?2 ? a ? 2 ?a ? 4 2 ? 所以 ?? a ? 2 ? ? 4 ? a 2 ? 2a ? ? 0 ,解得 ? a ? 2 3 ? 2 2 a ? 2 ? a a ? a ? 2 a ? 0 ? ? ? ? ? ? ?
本题是 2014 年浙江文科 16 题的变式,虽然多加了 a ? b ? c 的条件,本质上还是利用 ? 法 解决 2. 有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座,规定前排中间的 3 个 座位不能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同的坐法种数是 种. 答案:346

好题速递 65
1.已知函数 f ? x ? ? x ? 3 ? x ? a , g ? x ? ? x3 ? 1,若 y ? f ? ? g ? x?? ? 的图象关于 y 轴对称, 则a? .

3 3 解: F ? x ? ? f ? ? g ? x ?? ? ? x ? 2 ? x ?1? a

此函数由外函数 y ? t ? 2 ? t ? 1 ? a 与内函数 t ? x 3 复合而成 由复合函数的奇偶性判定法则:“内偶则偶,内奇同外”可知,若 y ? f ? ? g ? x ?? ? 为偶函 数,只需 y ? t ? 2 ? t ? 1 ? a 为偶函数即可,故对称轴 t ?

2 ? a ?1 ? 0 ,所以 a ? ?1 2
个.

2. 由 0,1,2,3 这四个数字组成的四位数中,有重复数字的四位数共有 答案:174 个

好题速递 66
1.已知离心率为 e 的椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 与 双 曲 线 a 2 b2

x2 ? y 2 ? 1 有相同的焦点,且直线 y ? ex 分别与椭圆相交与 A, B 两点,与双曲线相交于
C , D 两点,若 C , O , D 依次为线段 AB 的四等分点,则 e ?
解:设 D ? x0 , ex0 ? ,则 B ? 2 x0 ,2ex0 ?
2 2 2 所以 x0 ? e2 x0 ? 1 ? x0 ?
2 2 4 x0 4e 2 x0 1 ? ? 1 , a 2 ? b2 ? 2 且 2 2 2 a b 1? e



所以化简得 b 4 ? 4b 2 ? 8 ? 0 ,解得 b2 ? 2 ? 2 3 , 所以 e ?

2 b ?2
2

?

2 4?2 3

? 2? 3 ?

6? 2 2

2 . 5 名志愿者进入 3 个不同的场馆参加工作,则每个场馆至少有一名志愿者的概率 为 。

3 1 1 1 C5 C2C1 3 C52C32C1 3 A ? A3 3 2 2 A2 A2 50 解: ? 5 3 81

好题速递 67
1 .已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,圆 O : x2 ? y2 ? a2 ,过双曲线第一象限内任意一点 a 2 b2

P ? x0 , y0 ? 作圆 C 的两条切线,其切点分别为 A, B .若 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于 M , N 两
点,则

b2 OM
2

?

a2 ON
2

?(
b2 a2



A、

b2 a2

B、 ?

C、

a2 b2

D、

c2 a2

解:直线 AB : x0 x ? y0 y ? a 2 当 y ? 0, x ? 当x?0,y?

a2 a2 , OM ? x0 x0 a2 a2 , ON ? y0 y0

2 2 b 2 x0 a 2 y0 b2 ? ? a4 a4 a2

2.将一个 4 ? 4 棋盘中的 8 个小方格染成黑色,使得每行、每列都恰有两个黑色方格,则 有 种不同的染色方法。
2 ? 6 种染法,第一行染好后,有如下三种情况: 解:解第一行染 2 个黑格有 C4

(1)第二行染的黑格与第一行同列,这时其余两行只有 1 种染法;
2 ? 6 种染法,第四行随之确定; (2)第二行染的黑格与第一行均不同列,这时第三行有 C4

(3)第二行染的黑格恰有一个与第一行同列,这样的染法有 4 种,而第一、第二行染好 后,第三行染的黑格必然有一个于上面的黑格均不同列,这是第三行的染法有 2 种,第四 行随之确定。

因此共有 6 ? ?1 ? 6 ? 4 ? 2? ? 90 种。

好题速递 68
1.已知函数 y ? f ? x ? 单调递减,函数 y ? f ? x ? 1? 图象关于 ?1,0 ? 对称,实数 x, y 满足不等 式 f x 2 ? 3x ? f ?3 y ? y 2 ? 0 ,则 z ? x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 13 的最小值为 解:函数 y ? f ? x ? 1? 图象关于 ?1,0 ? 对称,得到 y ? f ? x ? 图象关于 ? 0,0 ? 对称 所以 y ? f ? x ? 是奇函数,且是减函数 又 f x 2 ? 3x ? f ?3 y ? y 2 ? 0 ,所以 x2 ? 3x ? 3 y ? y 2 所以 ? x ? y ?? x ? y ? 3? ? 0 ,画出可行域如图.

?

?

?

?



?

?

?

?

z ? x2 ? y2 ? 4x ? 6 y ? 13 ? ? x ? 2? ? ? y ? 3? 视 为 可 行 域
2 2

内的点 ? x, y ? 与定点 ? ?2, ?3? 之间距离的最小值的平方,由图可知 zmin ? 2 2.从 m 个男生, n 个女生, 4 ? n ? m ? 10 中任选 2 个人当组长,假设事件 A 表示选出的 2 个人性别相同,事件 B 表示选出的 2 个人性别不同。如果 A 的概率和 B 的概率相等,则

? m, n? 的可能值为
解: P ? A? ?
2 m 2 n



1 1 C ?C Cm Cn , P B ? ? ? 2 2 Cm? n Cm ? n 2 2 1 1 Cm ? Cn Cm Cn ? 2 2 Cm ? n Cm ? n

由于 P ? A? ? P ? B ? ? 所以 ? m ? n ? ? m ? n
2

即 m ? n 是完全平方数,且 9 ? m ? n ? 19

?m ? n ? 16 ?m ? n ? 9 所以 ? 或? ?m ? n ? 4 ?m ? n ? 3 ?m ? 10 ?m ? 6 解得 ? 或? (不合条件,舍去) ?n ? 6 ?n ? 3

好题速递 69
1.已知椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点为 F1 , F2 ,过 F2 的直线与圆 x2 ? y 2 ? b2 相 2 a b


切于点 A ,并与椭圆 C 交于两点 P, Q ,若 PF1 ? PF2 ,则椭圆的离心率为 解:连结 OA ,由圆与直线相切得 OA ? PQ 所以 OA / / PF1 ,且 OF1 ? OF2 ,

所以 PF1 ? 2b , PF2 ? 2a ? 2b 在直角 ?PF1 F2 中,由勾股定理得 ? 2a ? 2b? ? ? 2b? ? ? 2c ?
2 2 2

化简得 2 a ? 3b ,所以 e ?

5 3


2.某学校的数学课外小组有 4 个女生,3 个男生,要从他们中挑选 3 人组成代表队去参加 比赛,则代表队男生、女生都有的概率为 解: 1 ?

C ?C 6 ? 3 C7 7
3 4 3 3

好题速递 70
?k 2 x ? k ?1 ? a 2 ? , x ? 0 ? 1 .已知 f ? x ? ? ? ,其中 a ? R .若对任意的非零实数 x1 2 2 2 x ? a ? 6 a ? 8 x ? 3 ? a , x ? 0 ? ? ? ? ? ?
总存在唯一的非零实数 x2 ? x1 ? x2 ? ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立,则 k 的取值范围是 解:当 k ? 0 ,显然不合题意,舍去 .

? a 2 ? 6a ? 8 2 ?0 3 ? a? ? ?? 2 k ? 0 当 时,问题等价于 ? ,即 k ? , a ?? 2,4? 1 ? a2 ?? 3 ? a ?2 ? k ?1 ? a 2 ? ?
? 1 ? 所以 k ? ? ? ,0 ? ? 3 ?
2.有 4 名优秀大学毕业生被某公司录用,该公司共有 5 个科室,由公司人事部门安排他们 到其中 3 个科室上班,每个科室至少安排一人,则不同的安排方案种数为 解:
2 1 1 C4 C2C1 3 3 C5 A3 ? 360 2 A2



好题速递 71
1.设实数 a 使得不等式 2x ? a ? 3x ? 2a ? a2 对任意实数 x 恒成立,则满足条件 a 组成的 集合是 。 解法一:设 f ? x ? ? 2x ? a ? 3x ? 2a

a ? ??5 x ? 3a, x ? 2 ? a 2a ? 当 a ? 0 时, f ? x ? ? ?? x ? a, ? x ? 2 3 ? 2a ? ?5 x ? 3a, x ? 3 ?

? 2a ? a 所以 f min ? x ? ? f ? ? ? ? 3 ? 3
所以 a 2 ?

a 1 ,解得 0 ? a ? 3 3

2a ? ??5 x ? 3a, x ? 3 ? 2a a ? ?x? 当 a ? 0 时, f ? x ? ? ? x ? a, 3 2 ? a ? ?5 x ? 3a, x ? 2 ?
a ? 2a ? 所以 f min ? x ? ? f ? ? ? ? 3 ? 3 ?
所以 a2 ? ?

a 1 ,解得 ? ? a ? 0 3 3 1 3

综上, ? ? a ?

1 3

解法二:由齐次化思想,令 x ? at ? t ? R ? ,则原不等式为 a 2t ? 1 ? a 3t ? 2 ? a2 转化为 a ? 2t ? 1 ? 3t ? 2 对任意 t ? R 恒成立 易得 ? 2t ? 1 ? 3t ? 2 ? ? min 所以 a ?

1 3

1 1 1 ,解得 ? ? a ? 3 3 3

2.将号码为 1, 2,? , 9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同。甲 从袋中摸出一个球,其号码为 a ,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为 b ,则使 不等式 a ? 2b ? 10 ? 0 成立的事件发生的概率为 解: 2b ? a ? 10 列举法: b ? 1, 2,3, 4,5 , a ? 1, 2,? , 9 ,共 45 种
b ? 6 , a ? 3, 4,? , 9 ,共 7 种 b ? 7 , a ? 5,? , 9 ,共 5 种 b ? 8 , a ? 7,8,9 ,共 3 种 b ? 9 , a ? 9 ,共 1 种



所以 P ?

45 ? 7 ? 5 ? 3 ? 1 61 ? 9?9 81

好题速递 72
1 .双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 作圆 x2 ? y 2 ? a2 的切线分别交双曲 a2 b2

线的左、右支于 B, C ,且 BC ? CF2 ,则双曲线的渐近线方程为 解:结合图形可得 cos ? ? 所以



b 4a 2 ? 4c 2 ? 16a 2 ? c 8ac

b c 2 ? 3a 2 ? c 2ac
2

?b? ?b? 即? ? ?? ? ? 2 ? 0 ?a? ?a?
解得

b ? 3 ?1 a

所以渐近线方程为 y ? ?

?

3 ?1 x

?

2.将两个 a 和两个 b 共四个字母填入方格表的 9 个小方格中,每个小方格内至多填入 1 个 字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有 解:法一:使 2 个 a 不同行不同列的填法有 C32 A32 ? 18 (或 使 2 个 b 不同行不同列的填法也 18 种 其中不符合要求的有(1)2 个 a 方格中都填入 b 有 18 种
1 2 A4 ? 108 种 (2)2 个 a 方格中仅有 1 个填入 b 有 C9

种.

9?4 ? 18 )种 2

故共有 182 ? 18 ? 108 ? 198 种 法二:先 a 后 b ,填 a 有 18 种填法 填 b (两个 b 记为 b1 , b2 )
1 ?2 分 3 种情况: (1) b1 所在行、列中不含 a ,此时有 1? C2 1 1 ? C3 ? 12 (2) b1 所在行、列中含 1 个 a ,此时有 C4 1 1 ? C4 ?8 (3) b1 所在行、列中含 2 个 a ,此时有 C2

所以在 a 确定的情况下, b 的填法有 所以共有 18?11 ? 198 种

2 ? 12 ? 8 ? 11 种 2

好题速递 73
? ? ? ? ? ? ? ? 9 1.已知 a, b 满足 a ? 6 , b ? 1 ,且 a ? 3b ? ,则 a ?b 的取值范围是

? ? ? ? 9 ? a 3 解: a ? 3b ? ? b ? ? ,又 b ? 1 2 3 2

2



? ??? ? 9 2 所以 b ? OB 的终点 B 既在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 内(含边界) ,又在圆 C : ? x ? 2? ? y 2 ? 内

4

(含边界) ,

? ? ? ??? ? ? a? b ? 6 b cos ? ,所以转化为求 OB 在 a 方向上的投影的大小

? ?1 ? 由图可知 b cos? ? ? ,1? ?2 ?
所以 a? b ??3,6? 2.某人有 5 把钥匙,其中有 1 把是办公室的钥匙,但他忘了是哪一把,于是他便将 5 把钥 匙逐一不重复试开,则恰好第三次打开抽屉的概率是 解:既可以
4 2 A4 A4 1 1 ,也可以 ? ? 5 3 A5 5 A5 5

??



评注:这题其实说明了买彩票不分先后,抽签不分先后。

好题速递 74
1 .若正实数 x, y 满足 x ? 2 y ? 4 ? 4 xy ,且不等式 ? x ? 2 y ? a2 ? 2a ? 2xy ? 34 ? 0 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 解:令 x ? 2 y ? m ,则 xy ? .

m?4 4
m?4 ,解得 m ? 4 2

由均值不等式得 x ? 2 y ? 2 2xy ,即 m ? 2

所以 ? x ? 2 y ? a2 ? 2a ? 2xy ? 34 ? 0 等价于 m ? 所以 4 ?

64 ? 4a 在 m ?? 4, ?? ? 上恒成立 2a2 ? 1

64 ? 4a 5 ,解得 a ? ?3 或 a ? 2 2a ? 1 2


2.在 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字中任取 3 个相加,和是 3 的倍数的概率是 解:1+2+3,1+2+6,1+3+5,1+5+6,2+3+4,2+4+6,3+4+5,4+5+6

8 2 ? 3 C6 5

好题速递 75
??? ? ??? ? ???? ???? 1 . O 是 平 行 四 边 形 ABCD 所 在 的 平 面 内 的 一 点 , OA ? OB ? ? OC ? OD ,

?

?

??? ? ??? ? ???? OA ? ? AB ? 2 AC ,则 ? ?

?

?



解法一:设 G 为 AC 与 BD 的交点,取 AB , CD 的中点 M , N ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ???? ???? ? ???? 则 OA ? OB ? 2OM , OC ? OD ? 2ON ,所以 OM ? ? ON ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ? ???? ???? ? ??? ? ???? ??? ? 由 OA ? ? AB ? 2 AC 转基底得 OA ? ? 2 AM ? 4 AG ? 2 ? OM ? OA ? 2OG ? 2OA

?

?

?

?

?

?

得 ? 6? ? 1? OA ? 2?OM ? 4?OG

??? ?

???? ?

????

???? ? ???? ? 又 O, M , G 三点共线,而 A, M , G 不共线,所以 6 ? ? 1 ? 0 ,即 OM ? 2OG ? 0
所以 ? ? ?

1 2

解法二:特殊值法,平行四边形 ABCD 取边长为 1 的正方形,以 A 为原点,以 AB 为 x 轴 建系,则 A? 0,0? , B ?1,0? , C ?1,1? , D ? 0,1? 设 O ? x, y ? ,则 ?

? ??1 ? 2 x, ?2 y ? ? ? ?1 ? 2 x, 2 ? 2 y ? ? ?? ? x, ? y ? ? ? ? 3, 2 ?

所以 1 ? 2x ? ? ?1 ? 2x ? , ?2 y ? ? ? 2 ? 2 y ? , x ? ?3? , y ? ?2? 解得 x ? , y ? , ? ? ? , ? ? ?

1 2

1 3

1 6

1 2


8 2 .复数 z ? a ? bi 中, a ? b , a 、 b 都在 ?9, ? 7, ? 5,? 3,? 1, 0, 2, 4, 6, 这十个数中取值,这
样所得的数为虚数的概率是 解:

CC 9 ? 2 A10 10

1 9

1 9

好题速递 76
??? ? ??? ? ??? ? ? n C, B 4m ? 3n ? 2 , 且 1 . 已 知 ?ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 为 O , 满 足 : C O ? m C A ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CA ? 4 3 , CB ? 6 ,则 CA? CB ? 。
解法一: CO ? mCA? CO ? nCB? CO ,所以 R2 ? 24m ? 18n ? 6 ? 4m ? 3n ? ? 12 ,即 R ? 2 3 所以外接圆的圆心就在边 CA 的中点,所以 B ?

??? ?2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

?
2

??? ? ??? ? ??? ?2 CB ? CB ? 36 所以 CA?
解法二: CO? CA ? mCA ? nCB? CA , CO? CB ? mCA? CB ? nCB

??? ? ??? ?

??? ?2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CB , 18 ? 36n ? mCA? CB 所以 24 ? 48m ? nCA? ??? ? ??? ? CB ? 36 又 4m ? 3n ? 2 ,所以 CA? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? CA ? 3n ? 2CB ? 解法三: CO ? mCA ? nCB ? 2m ? ? 2 ? ?? 2 ? ? 3 ? ? ? ? ? ?
取 CA 的中点 D ,取 CB 的三等分点 E ,则 CO ? 2mCD ? 又 2m ?

??? ?

??? ? 3n ??? ? CE 2

3n ? 1 ,所以 O, D, E 三点共线 2

所以 ?CDE ?

?
2

,所以 CA? CB ? 2CD? CE ? 3 CD ? 36

??? ? ??? ?

??? ? 3 ??? ? 2

??? ?2

点评:本题是三角形外心与向量融合的典范,常规套路要熟悉。 2.若从数字 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于 40 的概率是 解: .

CC 8 2 ? ? 2 A5 20 5

1 2

1 4

好题速递 77
1.已知抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点为 F , O 为坐标原点,设 M 为抛物线上的动点,则

MO MF

的最大值为



解法一:设点 M ? x0 , y0 ? ,则

MO MF

?

2 2 x0 ? y0 ? p x0 ? 2

2 x0 ? 2 px0 ? p x0 ? 2

2 x0 ? 2 px0 p2 2 x0 ? px0 ? 4

?

2 x0 ? px0 ?

p2 p2 p2 ? px0 ? px0 ? 4 4 ? 1? 4 2 p p2 2 2 x0 ? px0 ? x0 ? px0 ? 4 4
2 2

令 px0 ?

p p ?t ?? ,则 x0 ? 4 4

t?

p2 4 p
1 1 2 3 ? 1? ? 2 t 3 9p 3 3 ? ? 2 p 2 16t

所以

MO MF

? 1?

t t 3 9p ? t? 2 p 2 16
2 2

? 1?

? ?? 解法二:设 MO ? d , ?OMF ? ? ? ? 0, ? ,则 M ? d cos? , d sin ? ? ? 2?
所以 ? d sin ? ? ? 2 p ? d cos? ? ,所以 d ?
2

2 p cos? sin 2 ?
1 cos ? ? 2 3 3

所以

MO MF

?

d d cos ? ? p 2

?

4cos ? 4 ? 2 3cos ? ? 1 3cos ? ?

2.若从数字 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数字构成一个没有重复数字的三位数,其中 奇数一定要排在奇数位的概率是 解: .

2 5

好题速递 78
1.已知正实数 a , b, c 满足 解法一:由 由

1 1 1 1 1 ? ? 1 , ? ? ? 1 ,则实数 c 的取值范围是 ab bc ca a b



1 1 ? ? 1 得 a ? b ? ab a b

1 1? 1 1? 1 1 c ? ? ? ? ?1得 ? ? 1 ,即 a ? b ? ab ? ab c ? a b ? ab c c ?1
2 2

c 1? c ? 4 ?a?b? 由均值不等式 ab ? ? ? ? ? ,所以 ? ,所以 1 ? c ? c ?1 4 ? c ?1 ? 3 ? 2 ?
解法二:由 a ? b ? ab ?

c c c ,可将 a , b 视为方程 x2 ? x? ? 0 的两个正根 c ?1 c ?1 c ?1

?? ? 0 4 ? 故 ? x1 ? x2 ? 0 ,即 1 ? c ? 3 ?x x ? 0 ? 1 2
解法三:由 所以

1 1 1 1 1 1 ? ? 1 ,且 , ? ? 0,1? ,设 ? cos2 ? , ? sin 2 ? a b a b a b

1 1 1 ?3 ? ?1? ? 1 ? sin 2 ? cos 2 ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? ,1? c ab 4 ?4 ?

所以 1 ? c ?

4 3


2.10 幅不同的画,其中水彩画 1 幅,油画 5 幅,国画 4 幅,若随机地排成一行展出,则同 一品种的画连在一起,并且水彩画不放在两段的概率是 解:
5 4 2 A5 A4 A2 1 ? 10 A10 630

好题速递 79
1 .长方体 ABCD ? A 1 B 1C 1 D 1 的底面是边长为 a 的正方形,若在侧棱 AA 1 上至少存在一点

E ,使得 ?C1 EB ? 90? ,则侧棱 AA1 的长的最小值为
解:设 AA1 ? m, AE ? x ,以 D 为坐标原点建系, 则 D ? 0,0,0 ? , E ? a,0, x ? , B ? a, a,0 ? , C1 ? 0, a, m? 所以 EB ? ? 0, a, ? x ? , EC1 ? ? ?a, a, m ? x ? 所以 x2 ? mx ? a2 ? 0, x ??0, m? 有实根 若使侧棱上存在一点 E ,则只需 x2 ? mx ? a2 ? 0, x ??0, m?



??? ?

???? ?

所以 ? ? m2 ? 4a 2 ? 0 ,解得 m ? 2a 2.袋中装有 6 只白球和 4 只黑球,若从中任意抽出 3 只球,则其中至少有一只是黑球的概 率是 解: 1 ?
3 6 3 10



C 5 ? C 6

好题速递 80
? ???? ??? ? ???? ??? 1.已知 ?ABC 中, AB ? AC , AB ? AC ? 2 ,点 M 是线段 BC (含端点)上的一点,且 ???? ? ??? ? ???? ???? ? AM ? AB ? AC ? 1 ,则 AM 的取值范围是

?

?



解:作图:以 AD 为直径作圆,

???? ? ???? ???? ? ??? ? ???? 1 由 AM ? AB ? AC ? 1 知 AM 在 AD 方向上的投影为

?

?

2

即 M 在 MN 上运动,连结 MO 并双向延长交圆 O 于 B, C

???? ? ?1 ? 所以 AM ? ? ,1? ?2 ?
当且仅当点 M 与 B 或 C 重合时,取得最大值为 1;当 B ? A 时取值无限接近

1 2

2.箱子里有 100 个零件,其中 90 个是正品,10 个是次品,从中任取 5 个,这 5 个中有 4 个正品,1 个次品的概率是 解: .

C C 17 ? C 50

4 1 90 10 5 100

好题速递 81
1 .在平面直角坐标系 xoy 中,直线 y ? ? x ? 2 与圆 x2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0? 交于 A, B 两点, O 为坐标原点,若圆上有一个 C 满足 OC ? OA ? OB ,则 r ? 解法一:将 OC ? OA ? OB 两边平方,得 r 2 ?

????

? 5 ??? 4

? 3 ??? 4



????

? 5 ??? 4

? 3 ??? 4

25 2 9 2 15 2 r ? r ? r cos ?AOB , 16 16 8

cos ?AOB ? ?

3 5

又圆心到直线 y ? ? x ? 2 的距离为 d ? 2

所以 cos 所以 2 ?

?AOB 2 ? 2 r

2 3 ? 1 ? ? ,所以 r ? 10 2 r 5 ???? ? 3 ??? ? ???? 5 ??? ? 3 ??? ? OC 5 ??? ? OA ? OB 解法二:由 OC ? OA ? OB 得 2 8 8 4 4
设 OC 与 AB 交于点 M ,则 A, M , B 三点共线。

AO ? BO ? r, OM ?

CO r AM 3 ? ,且 ? 2 2 BM 5
3 5 5 r , BM ? r 10 2

所以利用 cos ?AMO ? ? cos ?BMO 得 AM ? 所以 AB ?

4 5 r 5
2

? 2 5r ? 过 O 作 AB 的垂线交 AB 于 D ,根据圆心到直线的距离为 OD ? 2 得 ? ? 5 ? ? ? ? ?
解得 r ? 10

? 2?

2

? r2

2.从 1,2,3,4,5 五个数中随机地依次选取三个不同的数,则所取的三个数按照挑选的 顺序排列恰能构成等差数列的概率是 解: .

8 2 ? 3 A5 15

好题速递 82
1 . 已 知 y ? f ? x? 是 定 义 在 ? ?2, 2 ? 上 的 奇 函 数 , 当 x ? ? 0, 2? 时 , f ? x ? ? 2x ? 1 , 函 数
2 ,如果对于 ?x1 ???2,2?, ?x2 ???2,2? ,使得 g ? x2 ? ? f ? x1 ? ,则实数 m g ? x? ? x ?2 x ? m

的取值范围是



解: f ? x ? ???3,3? , g ? x ? ?? m ? 1, m ? 8?

若对于 ?x1 ???2,2?, ?x2 ???2,2? ,使得 g ? x2 ? ? f ? x1 ? ,只需 f ? x ? 的值域包含于 g ? x ? 的值

?m ? 8 ? 3 域即可。即 ? ,解得 ?5 ? m ? ?2 ?m ? 1 ? ?3
2.在同一层楼有一排 8 间会议室,现要安排 4 个不同学科的研讨会在这 8 间研讨室,要求 任意两个研讨会不相邻的安排方法有 解: A ? 120
4 5

种.

好题速递 83

??? ? 1 . 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , B H ? C D于 H , BH 交 AC 于 点 E , 若 BE ? 3 ,

??? ? AE ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? AC?AE ? AC?BE ? CB?AE ? 15 ,则 ??? ? ? EC



??? ? AE x 3 ? ? 解:以 A 为坐标原点,以 AB 为 x 轴,设 ??? ? ? k , B ? x,0 ? ,则 C ? x ? , ,3 ? , E ? x,3? k k ? ? EC
???? ? ??? ? ? x 3 ??? ? ??? ? ? k 3 ? ??? ? 所以 AB ? ? x,0? , AC ? ? x ? ,3 ? ? , AE ? ? x,3? , BE ? ? 0,3? , CB ? ? ? , ? ? 3 ? x k? ? ? k k ?
代入 AB ? AC?AE ? AC? BE ? CB?AE ? 15 ,解得 k ? 【评注】坐标法是解决向量问题的最后必杀技。 2.小明手中有 5 张扑克牌,其中 2 张为不同花色的 K,3 张为不同花色的 A。规定每次只 能出同一种点数的牌(可以只出一张,也可出多张) ,出牌后不再收回,且同一次所出的牌 不考虑顺序。若小明恰好 4 次把牌出完,则他不同的出牌方式共有
4 4 2 3 4 4

??? ?2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

3 2

种.

解: 2K ? A ? A ? A型共有 A 种, K ? K ? 2A ? A 型共有 C A 种,共有 96 种。

好题速递 84
? x ? x1 ? x ? x2 1 .已知点 A? x1 , m? , B ? x2 , m? , C ? x2 ,0? , D ? x1 ,0? ,其中 x2 ? x1 ? 0 ,且 ? 和? 为 ?y ? m ?y ? m
方程 yx2 ? x ? y ? 0 的两组不同实数解。若四边形 ABCD 是矩形,则此矩形绕 x 轴旋转一 周得到的圆柱的体积的最大值为 解: y ? .

x 1 ? x ?1 x ? 1 x
2

由m?

x 得 mx 2 ? x ? m ? 0 x ?1
2

x1 ? x2 ?

1 1 ?4 , x1 x2 ? 1 ,得 x1 ? x2 ? m2 m

?1 ? ? V ? ? m2 x2 ? x1 ? ? m2 ?1 ? 4m2 ? ? 2? m2 ? ? m2 ? ? ?4 ? 4
2.某校数学学科有 5 门兴趣特长类选修课程,假设甲、乙、丙三位同学随机选课,且规定 每人选 3 门课程,则每门课程都被选中的概率为 .

解法一:记事件 ? 为“每人选 3 门课程” ,事件 A 为“每门课程都被选中” ,则

3 3 3 事件 ? 包含的基本事件数总数为 n(?) ? C5 C5 C5 ? 1000,

3 (1)恰有 2 门课程未被选中的基本事件数 n1 ? C5 ? 10;

4 3 3 3 1 (2)恰有 1 门课程未被选中的基本事件数 n2 ? C5 (C4 C4 C4 - C4 ) ? 300;

故事件 A 包含的基本事件数为 n( A) ? n(?) ? n1 ? n2 ? 690 , 所以所求的概率 P(A) ?

n( A) 69 . ? n(?) 100

解法二:记事件 ? 为“每人选 3 门课程” ,事件 A 为“每门课程都被选中” ,则
3 3 3 事件 ? 包含的基本事件数总数为 n(?) ? C5 C5 C5 ? 1000,

2 1 3 (1)当甲、乙恰有相同的 3 门课程时,甲、乙有 C5 种选课结果,丙有 C 2 C3 种选课结果,

3 2 1 故事件 A 的基本事件数 n1 ? C5 C2 C3 ? 30 ;

2 1 1 (2)当甲、乙恰有相同的 2 门课程时,甲、乙有 C5 C3C2 ? 60 种选课结果.当甲、乙、丙
1 2 有 2 门课程相同时,丙有 C1 C2 ? 1种选课结果;当甲、乙、丙只有 1 门课程相同时,丙

3 0 有 C1 C2C2 ? 4 种选课结果;当甲、乙、丙没有课程相同时,丙有 C3 C2 ? 1 种选课结
1 1 1

果.故事件 A 的基本事件数 n2 ? 60? (1 ? 4 ? 1) ? 360;
3 1 2 2 (3)当甲、乙恰有相同的 1 门课程时,甲、乙有 C5 ? 10 C4 C2 ? 30 种选课结果,丙有 C5

种选课结果,故事件 A 的基本事件数 n3 ? 30?10 ? 300. 所以事件 A 包含的基本事件数为 n( A) ? n1 ? n2 ? n3 ? 690, 所以所求的概率 P(A) ?

n( A) 69 ? . n(?) 100

好题速递 85
1.已知 ?AOB ?

?
3

,动点 P, Q 分别在射线 OA, OB 上运动,使得 ?OPQ 的面积恒为 4 3 。 。

???? ???? ? 点 M 为 PQ 中点, OG ? 2GM ,则 OG 的最小值为
解:由题意可知 G 为 ?OPQ 的重心, 设 OP ? a, OQ ? b ,则由 ab sin 60? ? 4 3 得 ab ? 16

1 2

以 O 为原点, OB 为 x 轴建系,则 P ? ,

?a 3 ? , Q ? b,0 ? ? 2 2 a? ? ? ?

a2 ?a ? ? b ? ab ? b2 ?2 3 ? a 2 a 2 ? b2 ? ab ab 16 2 , a ? ,则 OG ? 4 所以 G ? ? ? ? ? 6 ? 9 12 9 3 3 ? 3 ? ?
所以 OG ?

4 3 3


2.从 6 人中选 4 人分别到巴黎,伦敦,悉尼,莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人 游览,每人只游览一个城市,且这 6 人中甲,乙两人不去巴黎游览的概率为 解:

2 3

好题速递 86
1 . 若 对 任 意 的 x ??0,5? , 不 等 式 1 ? 为 , n 的最小值为 。

m 2 n x? ?1? x 恒 成 立 , 则 m 的 最 大 值 4 5 4? x

解:当 x ? 0 时, 1 ? 当 x ? ? 0,5? 时, 1 ?

m 2 n x? ? 1 ? x 恒成立,此时 m, n ? R 4 5 4? x

m 2 n m 2 1 n x? ?1? x ? ? ? ? 4 5 4 x 4? x x 5 4? x

?

m 2? 4? x n m ?1 n ? ? ? ? ? 4 5 4 5 x 4? x 4? x 2? 4? x

?

?

令 f ? x? ?

? 1 1? ,则 f ? x ? 在 x ? ? 0,5? 时单调递增,所以 f ? x ? ? ? ? , ? ? ? 8 15 ? 4? x 2? 4? x

?

?1

?

所以

m 1 n 1 1 1 ? ? , ? ? ,即 m ? ? , n ? ? 4 8 5 15 2 3

2 .某商场开展促销抽奖活动,摇出的中奖号码是 8 , 2 , 5 , 3 , 7 , 1 ,参加抽奖的每位 顾 客从 0~9 这 10 个号码中任意抽出六个组成一组,若顾客抽出的六个号码中至少有 5 个 与摇出的号码相同(不计顺序)即可得奖,则中奖的概率是 解: 。

5 42

好题速递 87
1 .若 I 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 焦点三角形 ?PF1 F2 的内心, ?PF1 F2 的角平分线交 a 2 b2

F1F2 于 M ,则

PI IM

?



解法一:设 PF1 ? m, PF2 ? n ,则 m ? n ? 2a 又 ?PF1 F2 的角平分线交 F1F2 于 M ,所以 所以

PF1 F1M

?

PF2 F2 M

PF1 F1M

?

PF1 ? PF2 F1M ? F2 M

?

2a a ? 2c c PI IM ? PF1 F1M ? a c

因为 F1 I 也是 ?PF1 F2 的角平分线,所以

解法二:特殊情况法:因为题干里没有说是哪个焦点三角形,但却要求求定值,所以选取 上顶点作为 P ,则内心在 y 轴上,设 I ? 0, r ? ,则由 S? ? 得r ?

1 1 ? 2c ? b ? ? 2a ? 2c ? r 2 2

PI b?r a?c a bc ,所以 ? ? ?1 ? IM r c c a?c


2.某中学的一个研究性学习小组共有 10 名同学,其中男生 x 名(3≤x≤9) ,现从中选出 3 人参加一项调查活动,若至少有一名女生去参加的概率为 f ? x ? ,则 f max ? x ? ? 解: f ? x ? ? 1 ? 故 f max ? x ? ?

x ? x ? 1?? x ? 2 ? C ,单调递减 ?1? C 10 ? 9 ? 8
3 x 3 10

119 120

好题速递 88
1 .已知 F1 , F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点,直线 l 过焦点 F1 与椭圆交于 A, B a 2 b2


两点, ?ABF2 是以 ?BAF2 为直角的等腰直角三角形,则椭圆离心率 e ? 解:设 AF2 ? m , AF1 ? n , BF1 ? p , BF2 ? 2m

?n ? p ? m ? m ? n ? 2a 2 2a 2a ? ,n ? 则? 可求得 m ? 2 ?1 2 ?1 ? 2m ? p ? 2a ?m 2 ? n 2 ? 4c 2 ?
? 2 2a ? ? 2a ? 2 所以 ? ? ? 4c ? 2 ?1? ? ?? 2 ? 1 ? ? ? ?
所以 e 2 ?
2 2

?

3

2 ?1

?

2

,所以 e ?

3 2 ?1

? 6? 3

变式:已知 F1 , F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点,直线 l 过焦点 F1 与椭圆交于 a 2 b2


A, B 两点, ?ABF2 是直角三角形,则椭圆离心率 e 的取值范围是
解: (1)当 ?BF2 A ?

?
2

时,

若直线 AB 的斜率不存在,则

b2 ? 2c ,即 e2 ? 2e ? 1 ? 0 ,解得 e ? 2 ? 1 a

若 直 线 AB 的 斜 率 存 在 , 设 直 线 AB 的 方 程 为 y ? k? x? ?? c k?0? , 代 入 椭 圆 方 程

x2 y2 ? ? 1 得 a 2 k 2 ? b2 x2 ? 2k 2 a 2cx ? a 2c 2 k 2 ? a 2b2 ? 0 a2 b2

?

?

?

?

则 x1 ? x2 ?

?2 k 2 a 2 c a 2 c 2 k 2 ? a 2b 2 , x x ? 1 2 a2 k 2 ? b2 a2k 2 ? b2

由 ?BF2 A ?

?
2

得 AF2 ?BF2 ? 0

???? ? ???? ?

所以 ? c ? x1 ?? c ? x2 ? ? y1 y2 ? 0

即 ? c ? x1 ?? c ? x2 ? ? k 2 ? x1 ? c ?? x2 ? c ? ? 0 所以 4a2c2 ? b4 k 2 ? b4 ,所以 4a 2 c 2 ? b4 ? 0 ,即 2ac ? b2 ? a 2 ? c 2 ,所以 e ? 2 ? 1

?

?

? x2 y 2 ?1 a2 ? ? (2)当 ?BAF2 ? 时, ? a 2 b 2 有解,即 x 2 ? 2 ? c 2 ? b 2 ? ? 0 c 2 ? x2 ? y 2 ? c2 ?

?

所以 c ? b ,即 e ?

2 2

综上可得, e ? 2 ? 1 2.已知集合 A={12,14,16,18,20},B={11,13,15,17,19},在 A 中任取一个元素 用 ai ? i ? 1,2,3,4,5? 表示,在 B 中任取一个元素用 bj ? j ? 1,2,3,4,5? 表示,则所取两数满足

ai ? bj 的概率为



解:

1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 3 ? 5?5 5

好题速递 89
2 1.若等差数列 ?an ? 满足 a12 ? a10 ? 10 ,则 S ? a10 ? a11 ? ? ? a19 的最大值为
2 2 解法一:由 a12 ? a10 ? 10 得 ? a10 ? 9d ? ? a10 ? 10



2

而 S ? a10 ? a11 ? ? ? a19 ? 10a10 ? 45d ,所以 9d ?
2

S ? 2a10 5

? S2 ? S? 6S ? 2 2 ? 10 整理得关于 a10 的方程 10a10 所以 ? 3a10 ? ? ? a10 ? a10 ? ? ? 10 ? ? 0 有实根 5? 5 ? ? 25 ?
所以

? S2 ? 36S 2 ? 40 ? ? 10 ? ? 0 ,解得 ?50 ? S ? 50 25 ? 25 ?
a10 ? a1 10 sin ? ? 10 cos? ? 9 9

解法二:由题可设 a1 ? 10 cos? , a10 ? 10 sin? ,公差 d ?

所以 S ? a10 ? a11 ? ? ? a19 ? 10a10 ? 45d ? 5 3 10 sin ? ? 10 cos ? ? 50sin ?? ? ? ? 当且仅当 sin ?? ? ? ? ? 1 时, Smax ? 50 2.在圆周上有 10 个等分点,以这些点为顶点,每 3 个点可以构成一个三角形,如果随机 选择 3 个点,刚好构成直角三角形的概率是 解:直径有 5 条,故直角三角形有 5 ? C ? 40
1 8

?

?



P?

40 40 1 ? ? 3 C10 120 3

好题速递 90
1 . 已 知 在 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 1 , a2 ? 3 , 对 任 意 n ? N * , 都 有 an?2 ? an ? 3 ? 2n ,

an ?1 ? 2an ? 1 成立,则数列 ?an ? 的通项公式为
an ? 2 1 an 3 a ?2 1 ?a ? ? ? n? ? n ?1 ? ? ? n ? 1? n?2 n?2 n 2 4 2 4 2 4 ?2 ?



解:

a 1 ? a ?2 1 ? ? ? 1 ?2 ? a ? 1 ?2 若 n 是偶数时, n ?1 ? ? ? n ? 1? ? ? ? ? ? ? 2 ? 1? ? ? ? ? ? ? n , n n?2 2 2 4 ?2 2 ?4? ?2 ?4? ? ? n 所以 an ? 2 ? 1 a 1 ? a ?2 ? ?1? 若 n 是奇数时, n ?1 ? ? ? n ? 1? ? ? ? ? ? n n?2 2 4 ?2 ?4? ? n 所以 an ? 2 ? 1
n ?1 2

n

?1

n

? a1 ? ?1? ? 1 ? 1? ? ? ? ? ?2? ?2 ?

n

综上,对任意 n ? N * , an ? 2n ? 1 所以对任意 n ? N * , an ? 2n ? 1 综上可得 an ? 2n ? 1 , n ? N *

又 an?1 ? 2an ? 1 ? an?1 ? 1 ? 2 ? an ? 1? ? ? ? 2n ? a1 ? 1? ? 2n?1

评注:这是夹逼原理在数列中的应用。 2.为了支持拆迁工作,某镇决定接受一批移民,其中有 3 户互为亲戚关系,将这 3 户移民 随机安置到 5 个村民组,则这 3 户中恰好有 2 户安置到同一村民组的概率为 解: P ? 。

C A 3 ? 5 ? 4 12 ? ? 3 5 125 25
2 3 2 5

好题速递 91
1.若 x, y 满足 log 2 ?4cos2 ? xy ? ?

? ? ?

? 1 2 ? ? ? y ? 4 y ? 3 ,则 y cos 4 x ? 2 4cos ? xy ? ? ?



解: log 2 ?4cos2 ? xy ? ?

? ? ?

? 1 2 2 ? ? ? y ? 4 y ? 3 ? ? ? y ? 2? ? 1 ? 1 2 4cos ? xy ? ? ?

又 log 2 ?4cos2 ? xy ? ?

? ? ?

? 1 ? ? log 2 2 ? 1 2 4cos ? xy ? ? ? ? 1 ? ?1 2 4cos ? xy ? ? ?

所以 log 2 ? 4cos2 ? xy ? ?

? ? ?

1 ? 1 ? 1 2 ? cos ? xy ? ? ?cos ? xy ? ? ? ?4cos ? xy ? ? 4cos 2 xy ? 2 ? ? 解得 ? 即? 或 2 ? 2 ? ? ? ?y ? 2 y ? 2 y ? 2 ? ? ?
所以 y cos 4 x ? 2 2cos 2 2 x ? 1 ? ?1 评注:本题是夹逼原理的应用。 2.已知 10 个产品中有 3 个次品,现从其中抽出若干个产品,要使这 3 个次品全部被抽出 的概率不小于 0.6,则至少应抽出产品 解: 个。

?

?

CC C

3 3

n ?3 7 n 10

n ? n ? 1?? n ? 2 ? 3 3 ? ,解得 n ? 9 ? ,即 10 ? 9 ? 8 5 5

好题速递 92

1 .已知 ?ABC 是边长为 2 3 的正三角形, EF 为 ?ABC 的外接圆 O 的一条直径, M 为 ???? ???? ? ?ABC 的边上的动点,则 ME ?MF 的取值范围是 。 解: ?ABC 的外接圆 O 的半径为 2

??? ? ???? ???? ? ???? ? 2 EF 2 ???? ?2 ? MO ? 4 由极化恒等式可得 ME ?MF ? MO ? 4 ???? ? ???? ???? ? 由图易得 OM ? ?1, 2? ,所以 ME?MF ?? ?3,0?
2.已知 P 箱中有红球 1 个,白球 9 个,Q 箱中有白球 7 个, (P、Q 箱中所有的球除颜色外 完全相同) .现随意从 P 箱中取出 3 个球放入 Q 箱,将 Q 箱中的球充分搅匀后,再 从 Q 箱 中随意取出 3 个球放入 P 箱,则红球从 P 箱移到 Q 箱,再从 Q 箱返回 P 箱中的概率等 于 解: P ? 。
1 2 C C92 C1 C9 9 ? ? 3 3 C10 C10 100 1 1

好题速递 93
1 . 在 ?ABC 中 , AC ? 6 , BC ? 7 , cos A ?

??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB ,其中 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 ,则动点 P 的轨迹所覆盖的面积为
解:由余弦定理得 AB ? 5

1 , O 是 ?ABC 的 内 心 , 若 5


1 6 ? 5? 1? 2S?ABC 25 ? 2 6 ?ABC 的内切圆半径 r ? ? 18 18 3 ??? ? ??? ? ??? ? 而 OP ? xOA ? yOB ,其中 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 ,则动点 P
的轨迹所覆盖的区域如图所示就是平行四边形 ADBO , 即 S ? 2 S ?AOB ?

10 6 3

2.儿童节到了,幼儿园里做了一个亲子游戏,甲、乙、丙三位小朋友随机进入 4 个房间找 爸爸(小朋友可以进入同一个房间) ,四个房间里分别有一个人,其中三个是甲乙丙的爸 爸,则至少有一个小朋友找到爸爸的概率为 解: 。

43 ? 33 37 ? 43 64

变式:儿童节到了,幼儿园里做了一个亲子游戏,甲、乙、丙三位小朋友随机进入 4 个房 间找爸爸,每个房间只能进一个小朋友,四个房间里分别有一个人,其中三个是甲乙丙的 爸爸,则至少有一个小朋友找到爸爸的概率为 解法一:我们来算背面,即没有小朋友找到自己的爸爸。 如果无人去第四个房间,那就是 3 个小朋友不找自己的爸爸有 2 种情况;
1 1 如果有人去第四个房间,那就是 C3 1 ? C2 ? 9 种情况;



?

?

故1 ?

2 ? 9 13 ? 3 A4 24

解法二:我们来算背面,即没有小朋友找到自己的爸爸。把问题加强为甲乙丙丁四个小朋 友找爸爸,其中甲乙丙不能找到自己的爸爸,丁没有要求。 这样就分了两类,一类是丁找自己的爸爸,那么就是 3 个小朋友不找自己的爸爸,有 2 种;另一类是丁也不找自己爸爸,那么就是 4 个小朋友不找自己的爸爸,有 9 种,共 11 种,故 1 ?

2 ? 9 13 ? 3 A4 24

1 1 解法三:再正面算,有一个小朋友找到自己的爸爸有 C3 C2 ? 1 ? 9 种,有两个小朋友找到
2 自己的爸爸有 C3 ? 3 种,有三个小朋友找到自己的爸爸有 1 种,故共有 13 种。概率为

?

?

13 13 ? 3 A4 24

好题速递 94
1.已知 A, B 是椭圆

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 a ? b ? 0 ? ? 1 的公共顶点, P 是双曲线上 和双曲线 ? ? a 2 b2 a2 b2

??? ? ??? ? ???? ? ???? ? 的动点, M 是椭圆上的动点( P , M 都异于 A, B ) ,且满足 AP ? BP ? ? AM ? BM ,其

?

?

中 ? ? R , 设 直 线 AP, BP, AM , BM 的 斜 率 分 别 为 k1 , k2 , k3 , k4 , 若 k1 ? k2 ? 5 , 则

k3 ? k4 ?



解:设点 P ? x0 , y0 ? , M ? x1 , y1 ?

??? ? ??? ? ???? ? ???? ? ???? ????? ? 由于 AP ? BP ? ? AM ? BM 结合椭圆和双曲线的对称性知: PP ' ? ? MM '

?

?

??? ? ???? ? y y 所以 OP ? ? OM ,所以 O, M , P 三点共线,所以 0 ? 1 x0 x1
又 k1 ? k2 ? 而 k3 ? k4 ?

y0 y0 2x y 2b 2 x ? ? 2 0 02 ? 2 0 x0 ? a x0 ? a x0 ? a a y0 y1 y 2x y 2b 2 x ? 1 ? 2 1 12 ? ? 2 1 x1 ? a x1 ? a x1 ? a a y1

所以 k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? 0 ,又 k1 ? k2 ? 5 ,所以 k3 ? k4 ? ?5 2.袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为

1 ,现有甲、乙两人从 7

袋中轮流摸取 1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取,乙再取,??取后不放回,直到两人 中有一人取到白球时既终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的 (1)求袋中所有的白球的个数; (2)求甲取到白球的概率

解: (1) (2) P ?

2 1 Cn ? 2 ,解得 n ? 3 7 C7

3 4 ? 3 ? 3 4 ? 3 ? 2 ?1? 3 3 6 1 22 ? ? ? ? ? ? 7 7 ? 6 ? 5 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 7 35 35 35

好题速递 95
?y ?1 ? 1.若直线 ax ? by ? 1 与不等式组 ?2 x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域无公共点,则 2 a ? 3b 的取 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ?
值范围是 。

?y ?1 ? 解:不等式组 ?2 x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域是由 A?1,1? , B ? ?1,1? , C ? 0, ?1? 围成的三角 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ?
形区域。

?y ?1 ? 直线 ax ? by ? 1 与不等式组 ?2 x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ?
无公共点,则 a , b 满足:

?a ? b ? 1 ?a ? b ? 1 ? ? ? ? a ? b ? 1 (无解)或 ?? a ? b ? 1 ,画出 ? a, b ? 在如图所 ? ?b ? 1 ? 0 ? ?b ? 1 ? 0 ? ?
示的三角形区域(不含边界和原点) ,所以 2a ? 3b ? ? ?7,3? 2.一位学生每天骑自行车上学,从他家到学校共有 5 个交通岗,假设他在每个交通岗遇到 红灯是相互独立的,且首末两个交通岗遇红灯的概率均为 p,其余 3 个交通岗遇红灯的概 率均为

1 2 2 ,求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率; 3 5 ,求 p 的取值范围. 18

(Ⅰ)若 p ?

(Ⅱ)若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过

? 2? ? 1? 1 1 解: (1) P ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 3 ? ? 2 ? 2 12

1 1? 1? 2 ? 1? 0 1 0 ? P ? C ?1 ? p ? ? C ?1 ? ? ? C2 ?1 ? p ? ? C31 ? ? ? ?1 ? ? ? C2 p ?1 ? p ? ? C3 ? ?1 ? ? 2 ? 2? ? 2? ? 2? (2) 3 1 5 2 ? ?1 ? p ? ? p ?1 ? p ? ? 8 4 18
0 2 2 0 3

3

2

3

即 9 p2 ? 27 p ? 8 ? 0 ,解得 ? p ? 又 0 ? p ? 1 ,故 ? p ? 1

1 3

8 3

1 3

好题速递 96
1.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对应的边分别为 a , b, c ,且 BC 边上的高为 的最大值为 ,此时内角 A 的值为 。

3 c b a ,则 ? 6 b c

1 3 2 a 解法一:由 S?ABC ? bc sin A ? 2 12
所以

c b c 2 ? b 2 a 2 ? 2bc cos A 6 ?? ? ? ? ? ? sin A ? 2cos A ? 4sin ? A ? ? b c bc bc 6? 3 ?

所以当 A ?

?

?c b? 时, ? ? ? ? 4 3 ? b c ?max

? 3 ? ? a ? ?a ? 解法二:以 BC 为 x 轴, BC 中点为原点建系,则 B ? ? ,0 ? , C ? ,0 ? , A ? x, ? 6 a? ? ? 2 ? ?2 ? ? ? a ? a2 a ? a2 ? ? , AC ? ? x ? ? ? AB ? ? x ? ? ? 2 ? 12 2 ? 12 ? ?
a ? a2 ? x ? ? ? ? 2 ? 12 ?
2

2

2

所以

b 2ax ? ? 1? 2 a2 c 2 a ? a2 ? x ? ax ? ?x? ? ? 3 2 ? 12 ?

当 x ? 0 时,

b ?1 c
b ? 1? c 2a x?a? a 3x
2

当 x ? 0 时,

?

3 2? 3 a 时取等号 ? 2 ? 3 ,当且仅当 x ? 3 2? 3

? , y ?t ? 所 以 令 t ? ? ?2 ? 3 ,1 ?

b c ?

3 1 a 时, 单调递减,所以当 t ? 2? 3 时,即 x ? 3 t

ymax ? 4
此时 AB ?

b2 ? c2 ? a 2 1 3 2? 6 3 2? 6 ? ? ,所以 A ? a , AC ? a ,则 cos A ? 2bc 2 6 6 3

由对称性可知, x ? 0 时也一样。 2.某人抛掷一枚硬币,出现正反的概率都是

1 , 构 造 数 列 ?an ? , 使 2

?1 (当第n次出现正面时) , 记 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? n ? N *? , 则 S4 ? 2 时 的 概 率 an ? ? 1 n次出现反面时) ??(当第 为 。
解: S4 ? 2 ,需四次中有 3 次正面,1 次反面,故 P ?
3 C4 1 ? 4 2 4

好题速递 97
1.点 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 在第一象限的弧上的任意一点,过 P 引 x 轴, y 轴的 a 2 b2

平行线,分别交直线 y ? ? x 于 Q, R 两点,交 y 轴, x 轴于 M , N 两点,记 ?OMQ 与
2 ?ONR 的面积为 S1 , S2 ,当 ab ? 2 时, S12 ? S2 的最小值为

b a



? ?? 解:设 P ? a cos ? , b sin ? ? ,? ? ? 0, ? , ? 2?
则 M ? 0, b sin ? ? , N ? a cos? ,0? , Q ? ?a sin ? , b sin ? ? , R ? a cos? , ?b cos? ? 所以 S1 ?

1 1 ? a sin ? ??b sin ? ? , S2 ? ? a cos? ??b cos? ? 2 2

1 2 S12 ? S2 ? a 2b 2 ? sin 4 ? ? cos 4 ? ? ? sin 4 ? ? cos 4 ? 4 2 1 1 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? ? 2sin 2 ? cos 2 ? ? 1 ? sin 2 2? ? 2 2
当且仅当 ? ?

?
4

时取得最小值。

变式:点 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 在第一象限的弧上的任意一点,过 P 引 x 轴, y 轴 a 2 b2

的平行线,分别交直线 y ? ? x 于 Q, R 两点,交 y 轴, x 轴于 M , N 两点,记 ?ONQ 与
2 ?OMR 的面积为 S1 , S2 ,当 ab ? 2 时, S12 ? S2 的最大值为

b a



? ?? 解:设 P ? a cos ? , b sin ? ? ,? ? ? 0, ? , ? 2?
则 M ? 0, b sin ? ? , N ? a cos? ,0? , Q ? ?a sin ? , b sin ? ? , R ? a cos? , ?b cos? ? 所以 S1 ?

1 1 ? a cos? ??b sin ? ? , S2 ? ?b sin ? ?? a cos? ? 2 2

1 1 1 2 2 S12 ? S2 ? a2b2 ? sin ? cos? ? ? sin 2 2? ? 2 2 2
当且仅当 ? ?

?
4

时取得最大值。

2.有 2n 个数字,其中一半是奇数,一半是偶数,从中任取两个数,则所取的两数之和为 偶数的概率是 解: 1 ?
1 n 1 n



CC 2n 2 n ?1 ? 1 ? ? 2 C2 n 2n ? 2n ? 1? 2n ? 1

好题速递 98
? ? 1 1? 1 ?? 1? 1.已知正实数 x, y, z 满足 2 x ? x ? ? ? ? yz ,则 ? x ? ?? x ? ? 的最小值是 y z y z? ? ? ? ?? ? ? 1 ?? 1? 1 1? 1 解: ? x ? ? ? x ? ? ? x ? x ? ? ? ? y ?? z? y z ? yz ? ? ? 1 1? 1 1 yz 由 2 x ? x ? ? ? ? yz ? x ? ? ? y z y z 2x ? ? ? ? 1 ?? 1? 1 1 ? 1 yz 1 故 ? x ? ?? x ? ? ? x? x ? ? ? ? ? ? ? 2 y ?? z? y z ? yz 2 yz ? ?
2.平面直角坐标系中有两个动点 A、B,它们的起始坐标分别是(0,0),(2,2),动点 A、B 从 同一时刻开始每隔 1 秒钟向上、下、左、右四个方向中的一个方向移动 1 个单位,已知动 点 A 向左、右移动的概率都是 。

1 1 ,向上、下移动的概率分别是 和 p ,动点 B 向上、下、 4 3

左、右四个方向中的一个方向移动 1 个单位的概率都是 q. (1)求 p 和 q 的值; (2)试判断最少需要几秒钟,动点 A、B 能同时到达点 D ?1, 2? ,并求在最短时间内 A、 B 同时到达 D 的概率。 解: (1)

1 1 1 1 1 ? ? ? p ? 1, p ? , q ? 4 4 3 6 4 1 ,点 B 到达 D 有 9 种走法,故点 B 到达 D 12

(2)至少需要 3 秒同时到达 D
1 经过 3 秒,点 A 到达 D 的概率 C3 p右 p上 p上 ?

9 ?1? 的概率 9 ? ? ? ? 4 ? 64
故同时到达的概率为

3

1 9 3 ? = 12 64 256

好题速递 99
? 2:3 1 . 在 ?ABC 中 , 已 知 ?BAC 的 角 平 分 线 交 BC 于 点 M , 且 M B: M C ,若

?AMB ? 60? ,则

AB ? AC ? BC



解法一:以 B 为原点,以 BC 为 x 轴建系,令 BC ? 5 ,则 B ? 0,0? , C ? 5,0? , M ? 2,0? 所以直线 AM : y ? ? 3x ? 2 3 所以点 B 关于直线 AM 的对称点为 B ' 3, 3 所以 BB ': 3x ? 2 y ? 5 3 ? 0 所以 A ?1,3 3

?

?

?

?
AB ? AC ? 7 BC

所以 AB ? 2 7 , AC ? 3 7 ,故

解法二:如图令 BC ? 5 ,则 OM ? 1, MN ? 2, NC ? 1, ?B ' NC ? 120? 故 B 'C ? 7 结合角平分线定理得 故

AB 2 ? ,解得 AB ? 2 7 AB ? 7 3

AB ? AC ? 7 BC

解法三:取 BC ? 5 ,设 AB ? 2 x, AC ? 3x, AM ? y 则 4 x2 ? 4 ? y 2 ? 2 y , 9 x2 ? 9 ? y 2 ? 3 y 所以 x ? 7, y ? 6 ,故

AB ? AC ? 7 BC
种.

2.从 9 名同学中选出 5 名同学组成班委会,要求甲、乙两人要么同时入选,要么同时不入 选,丙、丁两人不同时入选,则符合要求的选法共有
2 1 2 C2 C2C5 ? 20 种

解: (1)甲、乙同时入选,丙、丁两人只有 1 人入选,其余 2 人从其余 5 人中任选,共有 ( 2 )甲、乙同时入选,丙、丁两人都没有入选,其余 3 人从其余 5 人中任选,共有
2 3 C2 C5 ? 10 种

(3)甲、乙同时不入选,丙、丁两人只有 1 人入选,其余 4 人从其余 5 人中任选,共有

1 4 C2 C5 ? 10 种

(4)甲乙丙丁都不入选,则其余 5 人的选法有 1 种 共计 41 种。

好题速递 100
1.设 f ? x ? ? 3sin x ? 2cos x ? 1 ,若实数 a , b, c 使得 af ? x? ? bf ? x ? c? ? 1 对任意实数 x 恒成 立,则

b cos C ? a



解法一:由 af ? x ? ? bf ? x ? c ? ? 1 得

?3a ? 2b sin C ? 3b cos C ? sin x ? ? 2a ? 3b sin C ? 2b cos C ? cos x ? a ? b ? 1
因为对任意实数 x 恒成立,所以 ?

? ?? 3a ? 2b sin C ? 3b cos C ? ? 0 ? ?? 2a ? 3b sin C ? 2b cos C ? ? 0

?1? ? 3 ? ? 2? ? 2 得 13a ? 13b cos C ? 0 ,即
则 f ? x ? ? f ? x ? ? ? ? 2 ,故取 a ? , b ? 故

b cos C ? ?1 a

解法二:由三角函数联想到周期性,取 c ? ?

1 2

1 满足条件 2

b cos C ? ?1 a

这个方法是基于变化的问题答案确是定值,所以用特殊情况做出答案即可,考场里用比较 好。 2.用数字 0,1,2,3,4 组成的五位数中,中间三位数字各不相同,但首末两位数字相同 的共有 解:240 个 个。


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