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数学名著中的数学问题


数学名著中的数学问题
一.数学名著中的立体几何问题 《九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题: “今有委米依内角, 下周八尺,高五尺,问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米 堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和 堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺, 圆周率约为 3, 估算出堆放的 米约有(B) A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径 为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是 3 寸. (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)

二.数学名著中的数列问题 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下 面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为(B) A.1 升 B.

67 升 66

C.

47 升 44

D.

37 升 33

三.数学名著中的算法问题 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减 损术”,执行该程序框图,若输入的 a , b 分别为 14,18,则输出的 a ? (B) A.0 B.2 C.4 D.14

四.数学名著中的统计问题 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米 一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为(B) A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石

五.祖暅原理 在 xOy 平面上,将两个半圆弧 ( x ?1) ? y ? 1( x ? 1) 和 ( x ? 3) ? y ? 1( x ? 3) ,两条直线 y ? 1 和 y ? ?1 围成的
2 2 2 2

封闭的图形记为 D, 如图中阴影部分, 记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 ? , 过 (0, y)(| y |? 1) 作 ? 的水平截面,
2 2 所得截面面积为 4? 1 ? y ? 8? ,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出 ? 的体积为 2? ? 16?

六.数与形 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,……,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图 2 中的 1,4,9,16,……,这样的数成为正方形数,下列数中既是三角形数又是正方形数的是(C) A.289 B.1024 C.1225 D.1378

七.裴波拉契数列 五位同学围成一圈依次循环报数,规定①第一位同学首次报出的数为 1,第二位同学首次报出的数也为 1,之后每 位同学报出的数都是前两位同学报出的数之和,②若报出的数为 3 的倍数,则报该数的同学需拍手 1 次,已知甲同 学第一个报数,当五位同学循环报到第 100 个数时,甲同学拍手的总次数为 5

八.阿波罗尼斯圆 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 和点 A ?? 2,0? ,若定点 B ?b,0?(b ? ?2) 和常数 ? 满足:对圆 O 上任意一点 M ,都有 |MB|= ? |MA|,则 (1) b ? ?

1 2

(2) ? ?

1 2

九.伯努利不等式
r (1)已知函数 f ( x) ? rx ? x ? (1 ? r )(x ? 0) ,其中 r 为有理数,且 0 ? r ? 1 ,求 f ( x) 的最小值;

(2)试用(1)的结果证明如下命题:设 a1 ? 0, a2 ? 0, b1 , b2 为正有理数,若 b1 ? b2 ? 1 ,则 a11 a22 ? a1b1 ? a2b2 ;
b b

(3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题。注:当 ? 为正有理数时,有求导 公式 ( x )? ? ?x
? ? ?1

十.回文数 我们把左右排列对称的自然数叫做回文数,请你写出下列回文数是由哪个数的平方得到的: (1)121= ? 11 2; (2) 2 2 2 14641= ? 121 ; (3)40804= ? 202 ; (4)44944= ? 212 十一.数字黑洞 设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数,将组成 a 的 3 个数字按从小到大排成的三位数记为 I (a) ,

,D(a) ? 851)阅读如图所示的程序框图,运 按从大到小排成的三位数记为 D ( a ) , (例如 a ? 815 ,则 I (a) ? 158

行相应的程序,任意输入一个 a ,输出的结果 b ? 495

十二.角谷猜想

? an ? ,当an为偶数时 已知数列 ?an ?满足: a1 ? m ( m 为正整数) , an ?1 ? ? 2 ,若 a6 ? 1 ,则 m 所有可能的取值 ? 3 a ? 1 ,当 a 为奇数时 n ? n
为 4,5,32

十三.四色定理 如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供选择,则 不同的着色方法共有 72 种

十四.格点问题 在平面直角坐标系中,若点 P ? x, y ? 的坐标 x , y 均为整数,则称点 P 为格点,若一个多边形的顶点全是格点,则称 该多边形为格点多边形,格点多边形的面积记为 S ,其内部的格点数记为 N ,边界上的格点数记为 L ,例如图中△ ABC 是格点三角形,对应的 S ? 1 , N ? 0 , L ? 4 . (Ⅰ)图中格点四边形 DEFG 对应的 S , N , L 分别是 3,1,6; (Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为 S ? aN ? bL ? c ,其中 a, b, c 为常数, 若某格点多边形对应的 N ? 71 , L ? 18 , 则 S ? 79(用数值作答)

十五.米勒问题 某人在一山坡 P 处观看对面山顶上的一座铁塔,如图所示,塔高 BC=80 (米) ,塔所在的山高 OB=220(米) ,OA=200(米) ,图中所示的山坡可 视为直线 l 且点 P 在直线 l 上, l 与水平地面的夹角为 ? , tan ? ?

1 ,试 2

问此人距水平地面多高时,观看塔的视角∠BPC 最大(不计此人的身高) 60 十六.摆线问题 如图,一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方向滚动,M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端 点,那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点 M、N 在大圆内所绘出的图形大致是(A)

十七.黄金分割 设矩形的长为 a ,宽为 b ,其比满足 b : a ?

5 ?1 ? 0.618,这种矩形给人以美感称为黄金矩形,黄金矩形常应用 2

于工艺品设计中,下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本: 甲批次: 乙批次: 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值 0.618 比较,正确结论是(A) A.甲批次的总体平均数与标准值更接近 B.乙批次的总体平均数与标准值更接近 C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定

十八.逻辑推理 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A、B、C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为 A 十九.几何平均数 设 a ? 0, b ? 0 ,称

2 ab 为 a , b 的调和平均数,如图,C 为线段 AB 上的点,且 AC= a ,CB= b ,O 为 AB 的中点, a?b

以 AB 为直径作半圆,过点 C 作 AB 的垂线交半圆于点 D,连结 OD,AD,BD,过点 C 作 OD 的垂线,垂足为 E, 则图中线段 OD 的长度是 a , b 的算术平均数,线段 CD 的长度是 a , b 的几何平均数,线段 DE 的长度是 a , b 的调和

平均数

如图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的,从这个图形中可以得到一个公式是 a 2 ? b 2 ? 2ab


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