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www.bbb880.com:2015届高考理科数学第二专题整合检测题70.doc

专题六十二 离散型随机变量及其分布列 【高频考点解读】 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现 象的重要性. 2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用. 【热点题型】 题型一 随机变量及其分布列的概念 )

例 1、(1)将一颗骰子均匀掷两次,随机变量为( A.第一次出现的点数 B.第二次出现的点数

C.两次出现点数之和 D.两次出现相同点的种数 (2)袋中有大小相同的 5 只钢球,分别标有 1,2,3,4,5 五个号码,任意抽取 2 个球, 设 2 个球号码之和为 X,则 X 的所有可能取值个数为( A.25 B.10 C.7 D.6 )

【提分秘籍】 在写出随机变量的取值表示的试验结果时, 要特别注意, 随机变量的一个值表示多个试 验结果的情况,不能遗漏某些试验结果. (1)描述随机试验的随机变量有多种形式,不论选取哪一种形式,随机变量可以表示随 机试验的所有可能结果,同时随机变量在选定标准之后,它是一个变化的量; (2)在给定的概率分布列中 X 取各个值时表示的事件是互斥的. 【热点题型】 题型二 离散型随机变量的分布列的性质

例 2、 (1)设 X 是一个离散型随机变量,其分布列为

X P 则 q 等于( A.1 B.1± )

-1 0.5

0 1-2q

1 q2

2 2 C.1- 2 2

D . 1+

2 2

(2)设随机变量 X 的概率分布为 X P 1 1 3 2 m 3 1 4 4 1 6

则 P(|X-3|=1)=________.

【提分秘籍】 离散型随机变量的分布列完全描述了随机变量所刻画的随机现象, 分布列中各个概率值 非负、各个概率值之和等于 1,主要用于解决两类问题,一是用来判断离散型随机变量分布 列的正确性,二是用来计算随机变量取某些值的概率. 【热点题型】 题型三 离散型随机变量分布列的求法

例 3、受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首 次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2 年,现从该

厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆,统计数据如下: 品牌 首次出现故障时间 x(年) 轿车数量(辆) 每辆利润(万元) 甲 0< x≤1 2 1 1<x≤2 3 2 x>2 45 3 0<x≤2 5 1.8 x>2 45 2.9 乙

将频率视为概率,解答下列问题: (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概 率; (2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1,生产一辆乙品牌 轿车的利润为 X2,分别求 X1,X2 的分布列.

【提分秘籍】 求离散型随机变量的分布列应注意以下几个步骤: ①确定离散型随机变量所有的可能取值以及取这些值时的意义.

②尽量寻求计算概率时的普遍规律. ③检查分布列的所有概率值和是否为 1. 【热点题型】 题型四 超几何分布

例 4 、已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球得 2 分,取出一个 黑球得 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取 出此 3 球所得分数之和.求 X 的分布列.

【提分秘籍】 超几何分布描述的是不放回的抽样问题, 随机变量为抽到的某类个体的个数, 随机变量 取值的概率实质是古典概型,可以利用古典概型的计算公式和计数原理求出随机变量 X 的 每个取值的概率,并用表格的形式给出 X 的分布列. 【高考风向标】 1. (2014· 安徽卷)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 2 5 局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的 3 1 概率为 ,各局比赛结果相互独立. 3 (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率;

(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望).

2. (2014· 北京卷)李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立): 场次 主场 1 主场 2 主场 3 主场 4 投篮次数 22 15 12 23 命中次数 12 12 8 8 场次 客场 1 客场 2 客场 3 客场 4 投篮次数 18 13 21 18 命中次数 8 12 7 15

主场 5

24

20

客场 5

25

12

(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率; (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 0.6,一 场不超过 0.6 的概率; (3)记 x 为表中 10 个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明在 这场比赛中的命中次数,比较 EX 与 x 的大小.(只需写出结论)

3. (2014· 福建卷)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励, 规定: 每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球, 球上所标的面 值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求: (i)顾客所获的奖励额为 60 元的概率; (ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望. (2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成,或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额

尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡, 请对袋中的 4 个球的面值给出一 个合适的设计,并说明理由.

(ii)依题意,得 X 的所有可能取值为 20,60. 1 P(X=60)= , 2 C2 1 3 P(X=20)= 2= , C4 2

即 X 的分布列为

X P

20 0.5

60 0.5

所以顾客所获的奖励额的期望为 E(X)=20× 0.5+60× 0.5=40(元).

由于两种方案的奖励额的期望都符合要求, 但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小, 所以应该 选择方案 2. 4. (2014· 湖北卷)计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水 文资料显示,水年入流量 X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米) 都在 40 以上,其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超 过 120 的年份有 5 年, 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率, 并假设各年的年入 流量相互独立. (1)求未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率. (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如下关系: 年入流量 X 发电机最多可运行台数 40<X<80 1 80≤X≤120 2 X>120 3

若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?

③安装 3 台发电机的情形.

2 3 5. (2014· 湖南卷)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 和 . 3 5 现安排甲组研发新产品 A,乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率.

(2)若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企 业可获利润 100 万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.

6. (2014· 江西卷)10 件产品中有 7 件正品、3 件次品,从中任取 4 件,则恰好取到 1 件次 品的概率是________. 1 12. 2
3 C1 3C7 1 【解析】由超几何分布的概率公式可得 P(恰好取到一件次品)= 4 = . C10 2

7. (2014· 江西卷)随机将 1,2,…,2n(n∈N*,n≥2)这 2n 个连续正整数分成 A,B 两 组,每组 n 个数.A 组最小数为 a1,最大数为 a2;B 组最小数为 b1,最大数为 b2.记 ξ=a2 -a1,η=b2-b1. (1)当 n=3 时,求 ξ 的分布列和数学期望; (2)令 C 表示事件“ξ 与 η 的取值恰好相等”,求事件 C 发生的概率 P(C); - - (3)对(2)中的事件 C, C 表示 C 的对立事件,判断 P(C)和 P( C )的大小关系,并说明理

由.

那么,当 n=m+1 时,

8. (2014· 辽宁卷)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布 直方图,如图 14 所示.

图 14 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量 低于 50 个的概率; (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列,期 望 E(X)及方差 D(X).

X 的分布列为

X P

0 0.064

1 0. 288

2 0.432

3 0.216

因为 X~B(3,0.6),所以期望 E(X)=3× 0.6=1.8,方差 D(X)=3× 0.6× (1-0.6)=0.72. 9. (2014· 山东卷)乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分,如图 14 所示,甲上有两个 不相交的区域 A,B,乙被划分为两个不相交的区域 C,D.某次测试要求队员接到落点在甲 上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在 C 上记 3 分,在 D 上记 1 分,其他情况记 1 1 0 分.对落点在 A 上的来球,队员小明回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率为 ; 2 3 1 3 对落点在 B 上的来球,小明回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率为 .假设共有两次 5 5 来球且落在 A,B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求: (1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (2)两次回球结束后,小明得分之和 ξ 的分布列与数学期望.

图 14



3 , 10

3 所以小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上的概率为 . 10 由题意,随机变量 ξ 可能的取值为 0,1,2,3,4,6.

10. (2014· 陕西卷)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的 市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:

作物产量(kg) 概 率

300 0.5

500 0.5

作物市场价格(元/kg) 概 率

6 0.4

10 0.6

(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (2)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的 概率. 解:(1)设 A 表示事件“作物产量为 300 kg” ,B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg” , 由题设知 P(A)=0.5,P(B)=0.4,

所以 X 的分布列为 X P 4000 0.3 2000 0.5 800 0.2

11. (2014· 四川卷)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要 么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现 两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得-200 1 分).设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立. 2 (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列. (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加 反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 解:(1)X 可能的取值为 10,20,100,-200. 根据题意,有 1?1 ? 1?2 3 ? P(X=10)=C1 × 3 ?2? ×?1-2? =8, 1?2 ? 1?1 3 ? P(X=20)=C2 × 3 ?2? ×?1-2? =8, 3 0 ?1? ? 1? 1 P(X=100)=C3 3× 2 × 1-2 = , ? ? ? ? 8 0 3 ?1? ? 1? 1 P(X=-200)=C0 3× 2 × 1-2 = . ? ? ? ? 8 所以 X 的分布列为: X P 10 3 8 20 3 8 100 1 8 -200 1 8

12. (2014· 天津卷)某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学.在这 10 名同学中,3 名同学来自数学学院,其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

(2)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.
3 k Ck 4·C6 P(X=k)= (k=0,1,2,3), 3 C10


所以随机变量 X 的分布列是 X P 0 1 6 1 1 2 2 3 10 3 1 30

1 1 3 1 6 随机变量 X 的数学期望 E(X)=0× +1× +2× +3× = . 6 2 10 30 5 13. (2014· 重庆卷)一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片,其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片. (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率; (2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布列与数学期望. (注:若三个数 a,b,c 满足 a≤b≤c,则称 b 为这三个数的中位数)

【随堂巩固】 1.下列 4 个表格中,可以作为离散型随机变量分布列的一个是( A. X P B. X P 0 0.3 1 -0.1 2 0.8 0 0.3 1 0.4 2 0.5 )

C. X P D. X P 0 1 7 1 2 7 2 3 7 1 0.2 2 0.5 3 0.3 4 0

解析:利用离散型随机变量分布列的性质检验即可.

答案:C 2.带活动门的小盒子里有来自同一巢的 20 只工蜂和 10 只雄蜂,现随机地放出 5 只做 实验,X 表示放出的蜂中工蜂的只数,则 X=2 时的概率是(
4 C1 20C10 A. 5 C30 2 C3 20C10 C. 5 C30 3 C2 20C10 B. 5 C30 1 C4 20C10 D. 5 C30

)

3 C2 20C10 解析:依题意,X 服从超几何分布,∴P(X=2)= 5 . C30

答案:B 3.已知离散型随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 则 k 的值为( 1 A. 2 C.2 B.1 D.3 ) 1 k n 2 k n 3 k n … … n k n

k k k 解析:由 + +…+ =1, n n n ∴k=1. 答案:B 4.如右图所示,A、B 两点 5 条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次 为 2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为 ξ, 则 P(X≥8)的值 为( )

1 A. 5 3 C. 5

2 B. 5 4 D. 5

a 5.离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)= (n=1,2,3,4),其中 a 是常 n?n+1? 1 5? 数,则 P? ?2<X<2?的值为( 2 3 A. B. 3 4 4 5 C. D. 5 6 )

6.若离散型随机变量 X 的分布列为: X P 则常数 c 的值为( 2 1 A. 或 3 3 1 C. 3 2 B. 3 D.1 ) 0 9c2-c 1 3-8c

解析:由分布列的性质得: 9c -c+3-8c=1 ? ? 2 ?9c -c≥0 ? ?3-8c≥0 答案:C 7.若 P(ξ≤x2)=1-β,P(ξ≥x1)=1-α,其中 x1<x2,则 P(x1≤ξ≤x2)等于( A.(1-α)(1-β) B.1-(α+β) C.1-α(1-β) D.1-β(1-α) )
2

1 ,解得 c= . 3

8.设随机变量 X 的概率分布列为 X P 则 P(|X-3|=1)=________. 1 1 3 2 m 3 1 4 4 1 6

9.从 4 名男生和 2 名女生中选 3 人参加演讲比赛,则所选 3 人中女生人数不超过 1 人 的概率是________.

10.在一个口袋中装有黑、白两个球,从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回,再 取一球,又记下它的颜色,写出这两次取出白球数 η 的分布列为________. 解析:依题意 η 的取值可为 0,1,2. 1 1 1 ∴P(η=0)= × = 2 2 4

c 11.设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ=k)= (k=1,2,3),c 为常数,则 P(0.5<ξ<2.5) k?k+1? =________. 1 1 1 ? 4 2 解析: 由题意知 c? ∴c= .故 P(0.5<ξ<2.5)=P(ξ=1)+P(ξ=2)= + ?1×2+2×3+3×4?=1, 3 3 2 8 = . 9 9 8 答案: 9 12.某学院为了调查本校学生 2013 年 9 月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个 小时)的天数情况,随机抽取了 40 名本校学生作为样本,统计他们在该月 30 天内健康上网 的天数,并将所得的数据分成以下六组;[0,5],(5,10],(10,15],…,(25,30],由此画出样 本的频率分布直方图,如图所示.

(1)根据频率分布直方图,求这 40 名学生中健康上网天数超过 20 天的人数; (2)现从这 40 名学生中任取 2 名,设 Y 为取出的 2 名学生中健康上网天数超过 20 天的 人数,求 Y 的分布列.

所以 Y 的分布列为: Y P 0 29 52 1 5 13 2 3 52

13.口袋中有 n(n∈N*)个白球,3 个红球,依次从口袋中任取一球,如果取到红球,那么 继续取球,且取出的红球不放回;如果取到白球,就停止取球.记取球的次数为 X.若 P(X 7 =2)= ,求: 30 (1)n 的值; (2)X 的分布列.

14.某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会,它们获得冠军的概率 1 1 2 分别为 , , . 2 3 3 (1)求该高中获得冠军个数 X 的分布列; (2)若球队获得冠军,则给其所在学校加 5 分,否则加 2 分,求该高中得分 η 的分布列.

解析:(1)∵X 的可能取值为 0,1,2,3,取相应值的概率分别为 1 ? 1? ? 2? 1 1- ?× P(X=0)=? ? 2? ?1-3?×?1-3?=9, 1 ? 1? ? 2? ? 1? 1 ? 2? ? 1? ? 1? 2 7 1- × 1- + 1- × × 1- + 1- × 1- × = , P(X=1)= × 2? 3 ? 3? ? 2? ? 3? 3 18 2 ? 3? ? 3? ? 1 1 ? 2? ? 1? 1 2 1 ? 1? 2 7 1 1 2 1 1- + 1- × × + × 1- × = ,P(X=3)= × × = . P(X=2)= × × 2? 3 3 2 ? 3? 3 18 2 3 ? 3? ? 2 3 3 9 ∴X 的分布列为 X P 0 1 9 1 7 18 2 7 18 3 1 9


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