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高考数学(文、理)新二轮复习考点详细分类题库:考点7 指数函数、对数函数、幂函数(含详解,高考真题)

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考点 7 指数函数、对数函数、幂函数
一、选择题 1. (2013·大纲版全国卷高考文科·T6)与(2013·大纲版全国卷 高考理科·T5)相同 函数 f ( x) ? log 2 (1 ? )( x ? 0) 的反函数 f ?1 ? x ? = ( A.
1 ? x ? 0? 2 ?1
x

1 x



1 C. 2x ?1? x ? R? D. 2x ?1? x ? 0 ? ? x ? 0? 2 ?1 1 【解题指南】首先令 y ? log 2 (1 ? ) 求出 x ,然后将 x , y 互换,利用反函 x

B.

x

数的定义域为原函数的值域求解.
x ? 0, 【解析】 选 A.由 y ? log 2 (1 ? ) , 得函数的值域为 y ? 0 , 又 2y ? 1? ,

1 x

1 x

解得 x ?

1 1 ,所以 f ?1 ? x ? = x ( x ? 0) 2 ?1 2 ?1
y

2.(2013·北京高考理科·T5)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度, 所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)= ( A.ex+1 B.ex-1 C.e-x+1 ) D.e-x-1

【解题指南】把上述变换过程逆过来,求出 y=ex 关于 y 轴对称的函数, 再向左平移 1 个单位长度得到 f(x). 【解析】选 D.与 y=ex 关于 y 轴对称的函数应该是 y=e-x,于是 f(x)可由 y=e-x 向左平移 1 个单位长度得到,所以 f(x)=e-(x+1)=e-x-1. 3.(2013·广东高考文科·T2)函数 f ( x) ?
lg( x ? 1) 的定义域是( x ?1



A. (?1, ??)

B. [?1, ??) C. (?1,1) ? (1, ??)

D. [?1,1) ? (1, ??)

【解题指南】函数的定义域有两方面的要求:分母不为零,真数大于 零,据此列不等式即可获解. 【解析】 选 C. 解不等式 x ? 1 ? 0, x ? 1 ? 0 可得 x ? ?1, x ? 1 是定义域满足的 条件. 4.(2013·山东高考文科·T5)函数 f ( x) ? 1 ? 2 x ? ( ) A.(-3,0] C. (??, ?3) ? (?3,0] B.(-3,1] D. (??, ?3) ?( ?3,1]
1 的定义域为 x?3

【解题指南】定义域的求法:偶次根式为非负数,分母不为 0. 【解析】选 A. ?
?1 ? 2 x ? 0 ?x?3?0

,解得 ? 3 ? x ? 0 .

5.(2013·陕西高考文科·T3)设 a, b, c 均为不等于 1 的正实数, 则 下列等式中恒成立的是 ( A.
loga b· logc b ? logc a

) B. loga b ? logc a ? logc b D.
loga (b ? c) ? loga b ? loga c

C. loga (bc) ? loga b ? loga c 【 解 题 指 南 】 a,

b,c ≠ 1 , 掌 握 对 数 两 个 公 式 :
logc b logc a

loga xy ? loga x ? loga y, loga b ?

并灵活转换即可得解. 【解析】选 B.对选项 A: loga b ? logc b ? logc a ? loga b ? 二个公式不符,所以为假。对选项 B:
logc a ,显然与第 logc b

loga b ? logc a ? logc b ? loga b ?

logc b ,显然与第二个公式一致, 所以为真。 logc a

对选项 C: loga (bc) ? loga b ? loga c ,显然与第一个公式不符,所以为假。 对选项 D: loga (b ? c) ? loga b ? loga c ,同样与第一个公式不符,所以为 假。 6.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T8)设 a=log36,b=log510,c=log714,则 ( ) B.b>c>a D.a>b>c

A.c>b>a C.a>c>b

【解题指南】 将 a,b,c 利用对数性质进行化简,分离出 1 后,再进行比较 大小即可. 【解析】选 D.由题意 知:a=log36=1+log32=1 ?
c=log714=1+log7 2=1 ? 1 1 , b ? log5 10 ? 1 ? log5 2 ? 1 ? log 2 3 log 2 5

1 , 因为 log23<log25<log27,所以 a>b>c,故选 D. log 2 7

7. (2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T8)设 a ? log3 2 , b ? log5 2 ,
c ? log2 3 ,则(

) B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. c ? a ? b

A. a ? c ? b

【解析】选 D.因为 log3 2 ?

1 1 ? 1 ,log 5 2 ? ? 1,又 log 23 ? 1 ,所以 log 2 3 log 2 5 1 1 ? ,即 a ? b ,所以 c ? a ? b , log 2 3 log 2 5

c 最大。又 1 ? log2 3 ? log2 5 ,所以

选 D. 8.(2013·上海高考文科·T15)函数 f ( x) ? x2 ? 1(x≥0)的反函数为

f -1(x),则 f -1(2)的值是( ) A. 3 B.- 3 C.1+ 2 D.1- 2

x ? 0,2 ? f ( x) ? x 2 ? 1 ? x ? 3 【解析】选 A 由反函数的定义可知,

9.(2013·浙江高考理科·T3)已知 x,y 为正实数,则 ( A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy C.2lgx·lgy=2lgx+2lgy B.2lg(x+y)=2lgx·2lgy D.2lg(xy)=2lgx·2lgy

)

【解题指南】运用指数的运算性质与对数的运算性质解答. 【解析】选 D.选项 A,2lgx+lgy=2lgx·2lgy,故 A 错误;选项 B,2lgx·2lgy=2lgx+lgy ≠2lg(x+y),故 B 错误;选项 C,2lgx·lgy=(2lgx)lgy,故 C 错误. 10. (2013· 新课标全国Ⅱ高考文科· T12) 若存在正数 x 使 2x ( x ? a) ? 1 成立,则 a 的取值范围是( A. (??, ??) B. (?2, ??) ) C. (0, ??) D. (?1, ??)
1 ? 2? x ,然后分别画出 x 2

【解题指南】将 2x ( x ? a) ? 1,转化为 x ? a ?

f ( x) ? x ? a, g ( x) ? 2? x 的图象,数形结合分析求解.

【解析】选 D.因为 2x ? 0 ,所以由 2x ( x ? a) ? 1 得 x ? a ? 系中,作出函数 f ( x) ? x ? a, g ( x) ? 2? x 的图象,

1 ? 2? x ,在坐标 x 2

x 当 x ? 0 时, 所以如果存在 x ? 0 , 使 2( 则有 ?a ? 1 , g ( x) ? 2? x ? 1 , x? )a1 ? ,

即 a ? ?1 ,所以选 D.

二、填空题 11. (2013·四川高考文科·T11)lg 5 ? lg 20 的值是____________。 【解题指南】根据对数的运算性质进行求解. 【解析】 lg 5 ? lg 20 ? lg 100 ? 1 【答案】1 12. (2013· 上海高考理科· T6) 方程
3 1 ? ? 3x ?1 的实数解为________ 3 ?1 3
x

【解析】原方程整理后变为 32 x ? 2 ? 3x ? 8 ? 0 ? 3x ? 4 ? x ? log3 4 . 【答案】 log3 4 13. (2013· 上海高考文科· T8) 方程 【解析】
9 9 ? 1 ? 3x ? x ? 3x ? 1 ? 3x ? 1 ? 3 ? 3x ? 3 ? 1 ? 3x ? 4 ? x ? log 3 4. 3 ?1 3 ?1
x

9 ? 1 ? 3x 的实数解为 3 ?1
x

.

【答案】 log3 4 14. (2013·湖南高考理科·T16)设函数
f ( x) ? a x ? bx ? c x , 其中c ? a ? 0, c ? b ? 0.

且a=b? , (1)记集合 M ? ?(a, b, c) a, b, c不能构成一个三角形的三条边长,

则 (a, b, c) ? M 所对应的 f ( x) 的零点的取值集合为____. (2)若 a, b, c是?ABC的三条边长,则下列结论正确的是 (写出所有正确结论的序号) ① ?x ? ? ??,1? , f ? x ? ? 0;
三边长; ② ?x ? R, 使得a x , b x , c x不能构成一个三角形的

.

③若 ?ABC为钝角三角形,则?x ??1,2? , 使f ? x ? ? 0. 【解析】 (1) 由于 a, b, c 不能构成三角形三边长, 所以 a ? b ? c , 又a ? b, 故 2a ? c ,

即 ? 2 ,当 a ? b 时 f ( x) ? 2a x ? c x ? 0 ,得 ( ) x ? 2, 即 x ? logc 2 ,
a

c a

c a

因为 ? 2 ,所以 0 ? x ? 1 .
? x x (2) f ( x) ? c x ? ?( ) ? ( ) ? 1? ,因为 c ? a ? 0, c ? b ? 0 , a ? c b c ?

c a

所以 0 ? ? 1,0 ? ? 1 ,所以对任意 x ? 1 ,都有 ( ) x ? , ( ) x ? , 所以 ( ) x ? ( ) x ? ? ? 所以命题①正确 令 a ? 3, b ? 4, c ? 5 , 此时 a 2 ? 9, b2 ? 16, c 2 ? 25, 因为 a 2 ? b 2 ? c 2 , 违反三 角形边长定理,故不能构成一个三角形的三边长,所以命题②正 确. 由于 ?ABC 为钝角三角形,故 a 2 ? b 2 ? c 2 ,因为 c ? a ? 0, c ? b ? 0 , 所以 0 ? ? 1,0 ? ? 1 ,所以对任意 x ? 2 ,都有
a a b b a b a b a2 ? b2 ( ) x ? ( ) 2 , ( ) x ? ( ) 2 所以 ( ) x ? ( ) x ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? 1, c c c c c c c c c2

a c

b c

a c

a c

b c

b c

a c

b c

a c

b c

a?b b ? a ? ? 1 ,所以 f ( x) ? c x ?( ) x ? ( ) x ? 1? >0 c c ? c ?

a c

b c

? x x 所以 f ( x) ? c x ? ?( ) ? ( ) ? 1? ? 0 ,结合命题①可知, a ? c b c ?

当 ?ABC为钝角三角形,则?x ? ?1,2? , 使f ? x ? ? 0. 所以命题③正确. 综合可得命题①②③都正确. 【答案】 (1){x|0<x≤1} (2)①②③ 15.(2013·安徽高考文科·T11)函数 y = ln(1 + ) + 1 - x 2 的定义域为 ______ 【解题指南】根据对数函数的概念及根式的意义求解。
1 x

ì 1 ì x < - 1或x > 0 ? 1+ > 0 【解析】由题意可得 镲 揶 眄 x - 1 #x 1 镲 2 ? 1- x ? 0 ? ?
(0,1] 【答案】

0< x?1

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