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数学教学教什么?


数学教学教什么?
何小亚
华南师范大学数学科学学院 教授 教育部‘国培计划’专家库首批专家 全国数学教育研究会常务理事副秘书长 广东省中小学继续教育专家组成员 《 数学教育学报 》杂 志 编 委 《 中学数学研究 》杂志 副主编
2012-03-16 廉江

内 容 提 要
A. B. C. D. E. “考教悖论”的破解 教概念本质的理解 教数学原理的本质 积累问题解决经验 重新审视解题教学

F. 结束语

A. “考教悖论”的破解
1. 什么是“考教悖论” ? 2. 数学玩什么? 3. “考教悖论”的破解

1.什么是“考教悖论” ?
考教悖论:

一线教师:“考什么就教什么!”
命题专家:“教什么就考什么!”

2. 数学玩什么?
音乐玩
声音、节奏,关注旋律 美术玩 色彩、线条,讲究搭配 体育玩

肌肉、运动,追求更高、更快、更强
语文 言语、文字,关注人性、情感 物理、化学、生物 科学实验,关注自然、物质现象

2. 数学玩什么?
数学玩 数量关系、空间形式、模型结构 数学追求的是
精确! 逻辑! 简洁! 和谐! 统一!

数学所玩的 数量关系、空间形式、模型结构 是虚的——看不见,摸不着! 数量关系--代数的根基:

复数-实数-无理数-有理数-分数-整数-自然数-1
空间形式--几何的根基: 三维空间-体 二维空间-面 一维空间-线 - 点 点动成线,线动成面,面动成体! 在现实世界中,“1”和“点”是不存在的,它 们是抽象的思维形式,是虚的,看不见,摸不着. 因此,对普罗大众而言,数学最不好玩!

但是,十七世纪文艺复兴时期,英国思想家 Francis Bacon(1561~1626 ):

*“读史使人明智,读诗使人灵秀,演算使人精密” * “一个思维不集中的人,他可以研习数学,因
为数学稍不仔细就会出错.”

* “数学是科学的大门和钥匙.”
意大利天文学家、力学家 Galileo Galilei (1564~1642):

* “数学是上帝用来书写宇宙的文字.” 毕达哥拉斯学派主张:万物皆数!

德国著名的天体物理学家 Johannes Kepler (1571~1630): “几何学在上帝创造万物前就已存在,为上帝创 世提供了模型。” 我认为,数学模型结构的概括性、统一性、 精确性使得 数学成为驾驭众多学科的“上帝”! 数 学

社会科学

自然科学

因此,我们不能不玩数学!

如何让学生和我们玩最不好玩的数学呢?

1.数学教师本身要“好玩”
良好的形象魅力(比英语老师更“洋气”、 比 语文老师更激情、比音乐老师更感性……); 让人钦佩的人格魅力(乐观、阳光、风趣、 幽默、宽容、与众不同……) 孔子曾说, “能行五者于天下为仁矣” 五行:恭、宽、信、敏、惠。

2.数学考试要简单,让学生有成就感!
如何使学生玩转数学呢?

3. “考教悖论”的破解
我的葵花宝典 : 教会学生以不变应万变!

如何做到以不变应万变?
1.理解数学概念本质 2.抓住数学原理结构

3.学会数学问题解决

B.教概念本质的理解
1.概念教学的本质不是低水平的概念言语连 锁学习,而是要帮助学生获得概念的心理意义, 即形成概念内涵的心理表象,最终建构起良好的 概念图式。 概念图式主要由一些反映概念属性的观念组成.
概念图式结构的内容(何小亚,2011): 反映概念属性的观念、具体的概念例证、 概念的的言语编码,以及与其它概念的联系.

a

2.如何评价概念图式的优与劣? 评价的标准: 1.概念图式中观念的多少; 2.观念的准确与否;3.观念的深刻程度 良好的概念图式是由一系列反映概念本质属 性的观念组成。 概念图式中观念的多少;观念的准确与否; 观念的深刻程度这三个维度反映了学生概念理解 的 水平。

a

a

比如, a 的教学本质是帮助学生建构起认知 图式:“ a 是一个数;它不会是负的; a ;在数轴上它可能是原点 它的平方等于 x 都是表示 也可能在原点的右边; 和 a 一个数的符号,他们没有什么不同;……”

a

log a N 的教学本质是帮助学生建构 又比如, 起认知图式:
log a N 是一个数;它可正可负;……” “
a

字母 a 的良好的认知图式是: 1.作为结果,它是……; 2.作为过程,它是……; 3.a 的四种几何意义是…….

a

良好的代数式概念图式是: 1.作为结果,它是……; 2.作为过程,它是……; 3.代数式的现实意义、几何意义……; 4.作为函数的代数式……; 5.代数式样例……; 6.代数式的言语编码…….

a

3.会解题,考试成绩好的学生,并不保证 他有好的概念图式。 例如,2009年广州一摸理科第10题:

a

?

a

0

xdx ? 1 ,则实数

a

的值是

.

学生会做此题,但不会做 2009 年高考广东卷 理科第8题

a

2009年高考广东卷理科第8题

8. 已知甲、 乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线 〈假定为直线) 行驶. 甲

车、乙车的速度曲线分别为 v甲和v乙 (如图 2 所示) .那么对于图中给定的 t0和t1 , 下列判断中一定正确的是
a

A.在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B. t1 时刻后,甲车在乙车后面 C.在 t 0 时刻,两车的位置相同 D. t 0 时刻后,乙车在甲车前面

4.数学概念学习的几种水平(何小亚,2003)
了解;理解;掌握;综合运用.

(1)了解 能回忆出概念的言语信息;能辨认出概念 的常见例证;会举例说明概念的相关属性.

a

许多教师对于《标准》没有介绍反函数的定 义,仅要求知道指数函数与对数函数互为反函数 这一变化十分困惑,不知如何把握深浅度。

a 3. 若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的反函数, 其图像经过点 ( a , a) ,

则 f ( x) ? A. log2 x
(2009年广东高考理科第3题) 1 B. log 1 x C. x D. x2 2 2

a

强化函数概念的好例子——反函数 事实上,反函数不是什么新玩意,它就是一 种与原函数联系紧密的一种函数。反函数 之所以难教,并不是它本身难,而是它的 上位概念函数概念的教学出了问题,即没 有真正帮助学生建构起良好的函数概念认 知图式。

a

良好的函数概念图式:
“函数是两个非空数集之间的一种对应关系; 在一个集合中任意取定一个数,总可以在另一 个集合里找到唯一确定的数与它对应;前面的 集合叫定义域,那些被唯一确定的所有数组成 了叫做值域的集合;函数概念的关键是由谁唯 一确定了谁;函数概念与函数所用的符号没有 什么关系,就像人的名字一样;……” 这一心理图式含有具体的函数实例(解析式、图 像、表格、映射图)、抽象的对应过程、定义 的言语编码,以及与其它概念的联系(方程、 曲线、不等式、代数式等)。

(2)理解

能把握概念的本质属性;能与相关概 念建立联系;能区别概念的例证与反例.
教概念就要教会学生做什么呢? A.以概念为标准去判断一个对象是否是概念

B.学会对上位概念重新分类.

矩形:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2005年广东高考19题: 设函数 f ( x)在( ??, ? ?)上满足f (2 ? x) ? f (2 ? x), f (7 ? x) ? f (7 ? x), 且在闭区间[0, 7]上,只有 f (1) ? f (3) ? 0. (?)试判断函数y ? f ( x)的奇偶性; (? )试求方程f ( x) ? 0在闭区间[-2005, 2005]上的根 的个数,并证明你的结论.

(3)掌握 在理解的基础上,能直接把概念运用于新 的情境.

例如,2009年高考广东卷理科第13题:
? x ? 1 ? 2t , 13. (坐标系与参数方程选做题)若直线 l1 : ? (t为参数) 与直线 ? y ? 2 ? kt. ? x ? s, ( s 为参数)垂直,则 k ? l2 : ? ? y ? 1 ? 2s.


综合运用:能综合运用概念解决问题.

例如,2010年高考广东卷理科第21题:
21. (本小题满分 14 分) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是平面直角坐标系 xOy 上的两点, 现定义由点 A 到点 B 的一种折线距离 ? ( A, B) 为

? ( A, B) ?| x2 ? x1 | ? | y2 ? y1 | . 对于平面 xOy 上给定的不同的两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) (1) 若点 C( x , y ) 是平面 xOy 上的点, 试证明:? ( A, C ) ? ? (C, B) ? ? ( A, B) ;
(2)在平面 xOy 上是否存在点 C( x , y ) ,同时满足 ① ? ( A, C ) ? ? (C, B) ? ? ( A, B) ;② ? ( A, C ) ? ? (C, B) . 若存在,请求出所有符合条件的点;若不存在,请予以证明.

? ? A, C ? ? ? ?C, B? ? x ? x1 ? y ? y1 ? x2 ? x ? y2 ? y
? ? x ? x1 ? x2 ? x ? ? ? y ? y1 ? y2 ? y ? ? ? x ? x1 ? ? ? x2 ? x ? ? ? y ? y1 ? ? ? y2 ? y ?

? x2 ? x1 ? y2 ? y1 ? ? ? A, B? .

第(2)问: 在平面 xOy 上是否存在点 C( x , y ) ,同时满足 ① ? ( A, C ) ? ? (C, B) ? ? ( A, B) ; ② ? ( A, C ) ? ? (C, B) . 若存在,请求出所有符合条件的点;若不存在,请予以证明. 由(1)中的证明知,要使条件①成立,当且仅当

? x ? x1 ?? x2 ? x ? ? 0 与 ? y ? y1 ?? y2 ? y ? ? 0 同时成立,
故 x 必须介于 x1 与 x2 之间, y 必须介于 y1 与 y2 间.

“综合运用”则强调综合运用各种知识来解 决问题. 而这里所说的“问题”则包括纯数学问题 和实际问题,以及介于这两者之间的应用 题(部分理想化了的实际问题).
综合运用的难度主要取决于知识点的数量 与由已知通向答案的步骤的数量,以及思 路步骤间的跨度大小.

2009年广东高考理科20题
20. (本小题满分14分) (2009 年广东高考理科 20 题)

已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x)
g ( x) 在 x ? ?1 处取得极小值 m ? 1(m ? 0) .设 f ( x) ? . x

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q(0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点.

2005广东高考理科20题: 20、(本题12分) A是定义在[2,4]上且满足 如下条件的函数 ? ( x) 组成的集合: ①对任意的 x ?[1, 2] 都有 ? (2 x) ? (1, 2) ; ②存在常数 L(0 ? L ? 1) 使得对任意的 x1 , x2 ?[1,2] 都有 | ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |? L | x1 ? x2 | . ? ( x) ? A. (I)设 ? (2 x) ? 3 1 ? x , x ?[2, 4] ,证明:

平均分仅有0.18分
集合的表示方法:列举法和描述法。 { x x 满足属性 P }

好的概念复习题(2011佛山一摸理科8)

x2 y 2 8.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y2 ? 8x 有一个公共的焦点 F ,且两曲线 a b
的一个交点为 P ,若 PF ? 5 ,则双曲线的渐近线方程为 A. x ? 3 y ? 0 B. 3x ? y ? 0 C. x ? 2 y ? 0 D. 2 x ? y ? 0

C.教数学原理的本质[1]
一、数学原理是什么
二、数学原理学习的本质 三、数学原理学习的四种水平 四、数学原理的教学

一、数学原理是什么
对数学原理的两种理解:
1.作为客观的数学原理
指的是数学原理的客观陈述,用言语符号信息描述数 学概念之间的关系。主要包括公式、法则、定理和性质 .

2.作为主观的数学原理

指的是人的心理操作反应系统,即主体在特定的情境 中根据各种关系作出相应的反应.它以产生式“若…则….” 的形式贮存在大脑中。主体能以一类操作行为对一类刺激 情境作出反应.

二、数学原理学习的本质
1.原理学习实际上是学习一些概念之间的关系. 2.原理学习不是习得描述原理的言语信息,而是 习得原理的意义,它是一种有意义的学习. 3.原理学习实质上是习得产生式.只要条件信息一 满足,相应的行为反应就自然出现.学习者据此 指导自己的行为并解决遇到的新问题. 4.习得原理不是孤立地掌握一个原理,而是要在 原理之间建立联系,形成原理网络.

三、数学原理学习的四种水平[2]

1.言语连锁的水平 2.正向产生式水平 3.逆向产生式水平 4.变形产生式水平

1.言语连锁学习水平 处于这一水平的学生,会说,会背,会 写原理的客观陈述,但不理解原理的本质. 他们尚未在心理上形成产生式,当然也就 不能运用原理。

tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? ? tan ?

2.正向产生式水平(正用水平) 处于这一水平的学生,已在心理上形成 “若…则…”这一正向产生式,能够由满足原 理的条件信息推出结论信息。属于正向使用 数学原理的水平。

tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? ? tan ?

3. 逆向产生式水平(逆用水平)
处于这一水平的学生,已在心理上形成 “要……就要……”这一逆向产生式,能够由 结论信息出发,追寻结论成立的充分条件。 这一水平属于逆用数学原理的水平,是运用 数学原理的较高级水平。

tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? ) 1 ? tan ? ? tan ?

4.变形产生式水平(变形使用水平)

处于这一水平的学生,已在心理上形 成变形产生式,能够由问题的部分信息检 索出相关的数学原理模式,并根据当前解 决问题的需要对数学模式进行变形使用, 从而解决问题。这一水平属于变形使用数 学原理的水平,是运用数学原理的高级阶 段.

例如,学完两角和的正切公式后,具有变 形产生式水平的学生,在解一个综合性问 题时,面对两个实数的乘积“ab ”这一 刺激,他想起了两角和的正切公式, tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? ? tan ? 并根据需要,知道

ab ? tan ? ? tan ? ? [tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? ]/ tan(? ? ? )

四、数学原理的教学
(一)数学原理的两种学习模式 (二)促进数学原理学习的一般建议 (三)促进公式和法则学习的教学建议 (四)促进定理和性质学习的教学建议

四、数学原理的教学
(一)数学原理的两种学习模式 1.由例子到原理的学习
是指从若干例证中归纳出一般结论的学习. 它是一种发现学习,简称为“例子-原理法” (例子见[1]ch.5)

2.由原理到例子的学习
是指先向学生呈现要学习的原理,然后再用 实例说明原理(有时要予以逻辑证明),从而使 学生掌握原理的学习. 这是一种接受学习,简称为“原理-例子法”

3. 接受学习与发现学习
?

?

有意义的接受学习的先进性是知识容量大,效率高, 易控制。其局限性是学生的主动性、独立性、创造 性未能充分体现。 而发现学习的先进性是能激发学生的内在动机、 培养对数学的兴趣,建立自信,能培养学生的探究 精神和问题解决能力。其局限性是知识容量小,效 率低,难控制。 有意义的接受学习是中国数学学习的优良传统,要 保持。学校数学的多数内容适合于接受学习,启发 式的讲授教学仍然是数学教学的主要形式。我们反 对的是机械的接受学习(如死记硬背、题海训练、 能力技巧化等倾向)。

?

?

发现学习是培养学生提出概念、发明创造的有 效手段,我们应毫不迟疑地予以加强。并非所 有的内容都适合于发现学习,发现学习只是接 受学习的有益补充。教材应该在教学建议中明 确一些适合进行发现学习的内容。学生不一定 理解所发现内容的实质,发现后的同化理解十 分必要。杜绝形式主义的低效率的机械发现学 习。 是否选择发现学习模式进行教学,必须依据教 育目的、学习内容、教学对象和教学条件确定。

(二)促进数学原理学习的一般建议

1.提供丰富的例子
不论采用例子-原理法还是使用原理-例子法 来学习原理,都需要为学生提供丰富的例证. 例证应尽量涵盖例证的各种典型类别,以利于 学生发现原理和全面理解原理. 不能只提供原理的例证,还应该提供原理的反例.

2.联系已学过的知识
原理学习是有意义的学习,是新旧知识相互 作用并形成新的认知结构的过程. 要促进新原理的学习,就要使学生的认知结 构中具备与新原理相关的适当观念. 在教学中,教师可以引导学生复习、回忆与 原理相关的旧知识,以帮助学生同化新原理.

3.让学生运用原理
促进原理学习的最有效的办法是让学生在运用原理的 过程中掌握原理. 注意: 练习不是越多越好,类别单一的重复练习并不有效. 要想使学生真正掌握原理,形成产生式,就要让学生进 行变式练习. 所谓变式练习,就是在其它有效学习条件不变的情况 下,命题例证的变化. 例子见[1]ch.5

(三)促进公式和法则学习的教学建议
在数学中产生了大量的由字母和符号表达的 正确命题,我们称之为公式. [1] 1. 公式的推导 2. 公式的理解 3. 公式的记忆 4. 公式的应用 5. 法则的教学

抓数学公式的本质
小学有数学公式,初中有数学公式, 高中有数学公式,大学有数学公式, 请问数学公式的本质是什么?

结构的确定性,字母的可变性!

(2011广州一摸理科第16题)
16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2x ( x ?R). (1) 当 x 取什么值时,函数 f ? x ? 取得最大值,并求其最大值;

?? 2 ? (2) 若 ? 为锐角,且 f ? ? ? ? ? ,求 tan ? 的值. 8? 3 ?

(2011深圳一摸理科第16题)
16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 3 sin ?

?x ?? ?x ?? ? ? cos ? ? ? ? sin( x ? ? ) 。 ?2 4? ?2 4?

(1)求 f ? x ? 的最小正周期; (2)若将 f ? x ? 的图象向右平移

? 个单位,得到函数 g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间 6

?0,? ?

上的最大值和最小值。

(四)促进定理和性质学习的教学建议
定理和性质教学的基本要求: ? 掌握定理的证明方法 ? 使学生理解并记住定理的条件和结论 ? 熟悉定理的适用范围 定理和性质教学的重点放在: 1.揭示定理结论的发现过程;

2.揭示证明思路的探索过程.

学原理就是要把握原理的结构
原理学习的本质不是记住原理的客观陈 述,而是在脑中形成原理的心里操作反应: 只要条件信息一满足,
立刻自动做出结论的反应。

——把握数学原理的结构——
就是要抓住其结构的不变性。

(2011佛山一摸理科第16题)
16.(本题满分 12 分)

4 在 ?ABC 中,已知 A ? 45 , cos B ? . 5 (Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)若 BC ? 10, D 为 AB 的中点,求 CD 的长.

D.积累问题解决的经验
一、问题以及数学问题解决
二、数学问题解决的过程

三、解决数学问题的化归策略
四、数学应用题及其解答策略
(以上部分参看文献[1]P201-240)

五、几种重要的数学问题解决能力

五、几种重要的数学问题解决能力
?

1.问题的阅读理解

需要文本阅读能力;符号阅读能力;图形阅 读能力;表格阅读能力。 目标:重新表征问题,构建清晰的问题空间——

已知了什么?要我做什么?

例1 佛山理科第7题(2011一摸题)
? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0 7.已知函数 f ( x ) ? ? 2 ,则对任意 x1 , x2 ? R ,若 0 ? x1 ? x2 , ? x ? 2 x ? 1, x ? 0
下列不等式成立的是 A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

例2 佛山理科第17题(2011一摸题)
习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非 低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

17.(本题满分 14 分) 某班同学利用国庆节进行社会实践,对 [25,55] 岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活

(Ⅰ)补全频率分布直方图并求 n 、 a 、 p 的值;

(Ⅱ)从 [40,50) 岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 18 人参加户外低碳体验 活动,其中选取 3 人作为领队,记选取的 3 名领队中年龄在 [40, 45) 岁的人数为 X ,求 X 的 分布列和期望 EX .

例3 广州理科第17题(2011一摸题)
17.(本小题满分 12 分) 某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级,1 件不同等级产品的利润 (单位:元)如表 1,从这批产品中随机抽取出 1 件产品,该件产品为不同等级的概率如表 2.若从这批产品中随机抽取出的 1 件产品的平均利润(即数学期望)为 4.9 元.

等级 一等品 二等品 三等品 次品 利润

等级 一等品 二等品 三等品 次品

6

5

4

?1

P

0.6

a

0.1

b

表1 (1) 求 a , b 的值;

表2

(2) 从这批产品中随机取出 3 件产品,求这 3 件产品的总利润不低于 17 元的概率.

例4 深圳理科第17题(2011一摸题)
17、 (本小题满分 12 分) 第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日到 23 日在深 圳举行 , 为了搞好接待工作, 组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者。 将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图(单位:cm) : 若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高个子” , 身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子” , 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐” 。 (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中 中提取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是 “高个子”的概率是多少? (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ? 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的 人数,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望。

2.提高问题的等价转换思维能力
例5 广州理科第8题(2011一摸题)
8. 如图 2 所示,已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 2, 长 为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 DD1 上运动, 另一端点
A1 D1 B1 C1

M

N 在正方形 ABCD 内运动, 则 MN 的中点的轨迹的面积为
A. 4? C. ? B. 2? D.
D N A B C

? 2

图2

例6 佛山理科第21题(Ⅱ) (2011一摸题)
21.(本题满分 14 分) 已知三次函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? a, b, c ? R ? . (Ⅰ)若函数 f ( x ) 过点 (?1, 2) 且在点 1, f ?1? 处的切线方程为 (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若对于区间 ? ?3, 2? 上任意两个自变量 的值 x1 , x2 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? t ,求实数 t 的最小值; (Ⅲ)当 ?1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1,试求 a 的最大值, 并求 a 取得最大值时 f ? x ? 的表达式.

y ? 2 ? 0 ,求函数 f ? x ? 的解析式;

?

?

3.目标函数的建立
例7 佛山文科第20题(Ⅲ)(2011一摸题)
20.(本题满分 14 分)

x2 y 2 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上任一点 P 到两个焦点的距离的和为 6, a b 焦距为 4 2 , A, B 分别是椭圆的左右顶点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若 P 与 A, B 均不重合,设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1 , k2 ,
(Ⅲ)设 C ( x, y )(0 ? x ? a) 为椭圆上一动点, D 为 C 关于 y 轴的对称点, 证明: k1 k2 为定值;

S 2 ( x) 四边形 ABCD 的面积为 S ( x) ,设 f ( x) ? ,求函数 f ( x ) 的最大值. x?3

例8 深圳文科第19题(2011一摸题)
19. (本题满分 12 分) 如图,有一正方形钢板 ABCD 缺损一角(图中的阴影部分), 边缘线 OC 是以直线 AD 为对称轴,以线段 AD 的中点 O 为 顶点的抛物线的一部分.工人师傅要将缺损一角切割下来, 使剩余的部分成为一个直角梯形.若正方形的边长为 2 米, 问如何画切割线 EF ,可使剩余的直角梯形的面积最大? 并求其最大值. A O F E D C

B

4.用尽隐含条件(2011一摸题) 例9 佛山理科第21题(Ⅰ、Ⅲ)
21.(本题满分 14 分) 已知三次函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? a, b, c ? R ? . (Ⅰ)若函数 f ( x ) 过点 (?1, 2) 且在点 1, f ?1? 处的切线方程为 (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若对于区间 ? ?3, 2? 上任意两个自变量 的值 x1 , x2 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? t ,求实数 t 的最小值; (Ⅲ)当 ?1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1,试求 a 的最大值, 并求 a 取得最大值时 f ? x ? 的表达式.

y ? 2 ? 0 ,求函数 f ? x ? 的解析式;

?

?

4.用尽隐含条件(2011一摸题) 例10 深圳文科第21题(2)
21. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,其前 n 项和为 Sn . (1)已知 a1 ? 1 , d ? 2 , Sn ? 64 ? (ⅰ)求当 n ? N 时, 的最小值; n 2 3 n ?1 5 ? ? ? ? ? N (ⅱ)当 n ? 时,求证: ; S1 S3 S2 S4 Sn Sn ? 2 16 (2)是否存在实数 a1 ,使得对任意正整数 n ,关于 m 的不 等式 am ? n 的最小正整数解为 3n ? 2 ?若存在,则求 a1 的取 值范围;若不存在,则说明理由.

a

5.学会压缩——以数的眼光看式子
字母 a 的良好的概念图式是: 1.作为结果,它是……; 2.作为过程,它是……; 3.a 的四种几何意义是…….

a

a

良好的代数式概念图式是: 1.作为结果,它是……; 2.作为过程,它是……; 3.代数式的现实意义、几何意义……; 4.作为函数的代数式……; 5.代数式样例……; 6.代数式的言语编码…….

5.学会压缩——以数的眼光看式子 例11深圳2011一摸文科20题( 字母题 )
20. (本题满分 14 分) x2 y 2 b),原点 O 到 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点 F 及点 A(0, a b 2 b. 直线 FA 的距离为 (1)求椭圆 C 的离心率 e ; 2 (2)若点 F 关于直线 l : 2 x ? y ? 0 的对称点 P 在圆 O : x2 ? y 2 ? 4 上, 求椭圆 C 的方程及点 P 的坐标.

5.学会压缩——以数的眼光看式子 例12 深圳理科第19题(2011一摸题)
19.(本小题满分 14 分)

x2 2 ? y ? 1(a ? 0) 的右焦点,点 M (m, 0) 、 已知点 F 是椭圆 2 1? a N (0, n) 分别是 x 轴、 y 轴上的动点,且满足 MN ? NF ? 0 .
若点 P 满足 OM ? 2ON ? PO . (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设过点 F 任作一直线与点 P 的轨迹交于 A 、 B 两点,直线 OA 、 OB 与直线 x ? ?a 分别交于点 S 、 T ( O 为坐标原点) ,试 判断 FS ? FT 是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.

5.学会压缩——以数的眼光看式子 例13 广州理科第19题(2011一摸题)
19.(本小题满分 14 分) 已知直线 y ? ?2 上有一个动点 Q ,过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴,动点

P 在 l1 上,且满足 OP ? OQ ( O 为坐标原点),记点 P 的轨迹为 C . (1) 求曲线 C 的方程; (2) 若直线 l2 是曲线 C 的一条切线, 当点 ? 0, 2 ? 到直线 l2 的距离
最短时,求直线 l2 的方程.

点 ? 0, 2 ? 到直线 l2 的距离

d?

?2 ? b

1 k2 ? 4 1? 2 3 ? ? ? ? ? k ?1 ? 2 ? k2 ?1 2 k2 ?1 2 ? k ? 1 ? ?

1 ? ?2 2

k ?1
2

3 k2 ?1

E. 重新审视解题教学
很多学生说:“老师讲的我听得懂,但 自己做就不行!” 原因:学生是假懂,还没有真懂; 老师没教会他独立解决问题.

解题教学的重心不是解题,而是 想法使学生“学会解题” ,“学会数学思 考”. 教师首先要解决“你是怎么想到的”? 然后再解决怎样让学生也想到? 好的教师——暴露解题的思维过程: “想给学生听”,“想给学生 看”. 差的教师——演示解题的操作步骤: “做给学生看”,“学生做给学生

解题教学要教会学生“以不变应万变!”
多教通性通法 ——最原始的想法。

少教技巧性高的“术”.
毫无迁移价值. 对于“术”,要讲出是如何想出来的.

因为许多“术”曲高和寡,只有欣赏价值,

设 abc ? 1 , 求

a b c 的值. ? ? a b ? a ?1 b c ? b ?1 c a ? c ?1

解法 1:

a a 1 ,又 ? ? a b ? a ? 1 a b ? a ? abc b c ? b ? 1

c bc bc ,所以,原式=1. ? ? c a ? c ? 1 b(c a ? c ? 1) bc ? b ? 1
解法 2:将 a ?
1 代入原式,得 bc

a b c ? ? a b ? a ?1 b c ? b ?1 c a ? c ?1 1 b bc ? ? ? ?1 b c ? b ?1 b c ? b ?1 b c ? b ?1

对于一些重要的“术”,不仅要懂得如何操作, 还要理解如此操作的合理性——本质!
1 1 若 f( )? ,求 f ( x ? 1) . 2 x 1? x 1 1 解:令 u ? ,则 x ? .于是, x u

u2 x2 f (u ) ? ? .所以, f ( x) ? 2 , 1 u2 ?1 x ?1 1? 2 u 1

( x ? 1)2 ( x ? 1)2 因此, f ( x ? 1) ? . ? 2 2 ( x ? 1) ? 1 x ? 2 x

F. 结束语
数学玩的是什么?

——以不变应万变!
如何做到以不变应万变?

1.理解数学概念本质
2.抓住数学原理结构 3.学会数学问题解决

新课程、新中考、新高考就是以理解为价 值取向,以问题解决为价值取向,以数学探究 为价值取向。
新中考、新高考考什么? 考数学理解!考数学问题解决!考数学探究!

新课程反对机械记忆、题海训练。 ? 机械的题海训练难以使学生真正理解数学, ? 训练过度,学生都练傻了,哪里还会问题解 决呢? ? 学生掌握了一些没有思想灵魂的各种“术”, 自然一进考场就想“大显身手”,哪里还会 问题解决呢? ? 有几位教师能对着学生讲:“同学们,我讲 过的题高考是不会考的。高考题是原创的, 简单的,考的是独立的问题解决能力.我要 大家学会的是这样一些本领……”。

?

? ? ?

新中考、新高考就是要我们回归基础,老老 实实教点数学,不要总是把做题,讲题当成 是教数学. 猜题,押题,套题,搞信息题该停止了! 回归课本,回归基础是正确的方向! 讲理解,讲问题解决,讲数学探究吧!

让我们的学生学会以不变应万变吧!

参考文献:
1. 何小亚. 数学学与教的心理学[M]. 华南理工大学出版社,2011 2. 何小亚,姚静.中学数学教学设计[M]. 科学出版社,2008.7


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