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导与练高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积课件新人教A版必修2092203128_图文

1.3.2 球的体积和表面积 自主预习 课堂探究 自主预习 课标要求 1.了解球的表面积和体积计算公式. 2.会求与球有关的简单组合体的体积和表面积. 知识梳理 4 3 1.半径是 R 的球的体积为 V= 3 πR . 2 2.半径是R的球的表面积为S= 4π R . 自我检测 1.(球的表面积与体积公式)若球的体积与其表面积数值相等,则球的 半径等于( (A) 1 2 D (B)1 ) (C)2 (D)3 2.(球的表面积)(2015 大同一中高二(上)月考)三个球的半径之比为 1∶2∶3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的 ( (A)1 倍 (B)2 倍 (C) 9 倍 5 C ) (D) 7 倍 4 3.(球的体积)(2015 唐山市高二(上)期中)用一平面去截球所得截面的 面积为 2π ,已知球心到该截面的距离为 1,则该球的体积是( (A) 3 π (B)2 3 π (C)4 3 π 4 3π (D) 3 C ) 4.(表面积体积)(2015北京市房山区高二(上)期中)若两个球的表面积之 比是4∶9,则它们的体积之比是 答案:8∶27 5.(球的切接问题)(2015山西忻州高二期中联考)一个长方体的各顶点均 在同一球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面 . 积为 答案:14π . 课堂探究 题型一 球的表面积与体积 【例1】 圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r,圆柱、圆锥的高都是2r, (1)求圆柱、圆锥、球的体积之比; (2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比. 1 2 4 解:(1)V 圆柱=π r2·2r=2πr3,V 圆锥= ·πr2·2r= πr3,V 球= πr3, 3 3 3 所以 V 圆柱∶V 圆锥∶ V 球=3∶1∶2. (2)S 圆柱=2πr ·2r+2πr =6πr , 2 2 S 圆锥=πr· 4r 2 ? r 2 +πr =( 5 +1)πr , 2 2 S 球=4πr , 所以 S 圆柱∶S 圆锥∶ S 球=6∶( 5 +1)∶4. 2 题后反思 球的表面积和体积仅与球半径有关,因此求球的表面积和体积 的问题可转化为求球半径的问题解决. 即时训练 1 1:(2013 高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖 的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰 好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( (A) (C) 500π 3 cm 3 1372π 3 cm 3 ) (B) (D) 866π 3 cm 3 2048π 3 cm 3 解析:设球半径为 R cm, 根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为 4 cm, 球心到截面圆圆心的距离为(R-2)cm, 所以由 42+(R-2)2=R2,得 R=5. 4 4 500π 3 3 3 所以球的体积为 V= π R = π×5 = cm .故选 A. 3 3 3 题型二 由与球相关的三视图计算表面积与体积 ) 15 π 3 15 4 π+ π 3 3 【例 2】 (1)某器物的三视图如图所示,根据图中数据 可知该器物的体积为( (A) (C) 4 π 3 (B) (D) 15 4 ππ 3 3 (2)(2013 高考陕西卷)某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 . 解析:(1)由三视图可知,该几何体由一个球和一个圆锥组合而成,则该器物的 体积 V=V 球+V 圆锥= 故选 D. (2)由三视图知该几何体为以 1 为半径的半球, 15 4 1 4 π + ·π× 15 = π+ π. 3 3 3 3 4 π ? 12 2 S 表面积= +π·1 =3π. 2 答案: (1)D (2)3π 题后反思 由与球有关的三视图求简单组合体的表面积或体积时,最重要 的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义,根据组 合体的结构特征及数据计算其表面积或体积. 即时训练2-1:(1)一个几何体的三视图(单位:m)如图所示,则该几何体的 体积为 m3. (2)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为 . 解析:(1)由三视图可知,几何体上部为长方体,长、宽、高分别为 6、3、1. 下部为半径是 3 的两个球,所以几何体的体积为 2 3 4 ?3? V=6×3×1+ π · ? ? ×2=(18+9π)m3. 3 ?2? (2)根据三视图可知,该几何体是一个半球与一个圆锥组合而成,所以其表面 积为 S=S 半球+S 侧 = 1 2 ×4π×1 +π×1× 5 =(2+ 5 )π. 2 答案:(1)(18+9π ) (2)(2+ 5 )π 题型三 组合体的表面积与体积 【教师备用】 1.若半径为R的球内接一长、宽、高分别为a、b、c的长方体,则球半径R与a、 b、c有何关系? 提示:长方体的对角线为球的直径,即 2R= a 2 ? b 2 ? c 2 . 2.若半径为R的球内切于棱长为a的正方体,则球半径R与棱长a有什么关系? 提示:球的直径为正方体的棱长,即2R=a. 【例 3】 (2015 合肥 168 中高二(上)期中)正四棱锥的顶点都在同一球面上, 若该棱锥的高为 6, 底面边长为 4,则该球的表面积为( 44 (A) π 3 484 (B) π 9 ) 81 (C) π 4 (D)16π 解析:如图,正四棱锥 P ABCD 中,PE 为四棱锥的高, 根据球的相关知识可知,四 棱锥的外接球的球心 O 必在正四棱锥的高线 PE 所在的直线上 ,因为底面边长 为 4, 所以 AE=2 2 , 设球半径为 R,在 Rt△AEO 中, AE2+OE2=AO2 , 即(2 2 )2+(6-R)2=R2, 11 ? 11 ? 484 2 解得 R= ,则 S=4 πR =4

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