当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学竞赛资料-数论部分


初等数论简介
绪言:在各种数学竞赛中大量出现数论题,题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。 1. 请看下面的例子: (1) 证明:对于同样的整数 x 和 y,表达式 2x+3y 和 9x+5y 能同时被整除。(1894 年首届匈牙利 数学竞 赛第一题) (2) ①设 n ? Z ,证明 1 3
2n

? 1 是 168 的倍数。

②具有什么性质的自然数 n ,能使 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 能整除 1 ? 2 ? 3 ?? n ?(1956 年上海首届数学竞 赛第一题) (3) 证明: n ?
3

3 2

n ?
2

1 2

n ? 1 对于任何正整数 n 都是整数,且用 3 除时余 2。 (1956 年北京、天津市首

届数学竞赛第一题) (4) 证明:对任何自然数 n ,分数
2 1n ? 4 14n ? 3

不可约简。 (1956 年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题)

(5) 令 ( a , b , ? , g ) 和 [ a , b , ? , g ] 分别表示正整数 a , b ,? , g 的最大公因数和最小公倍数,试证:

?a, b, c ? ? a, b ? ? ?b, c ? ? ?c, a ?
2

?

? a, b, c ? (1972 年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题) ? a, b ? ?b, c ? ? c, a ?
2

这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。 2.再看以下统计数字: (1) 世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛, 1894~1974 年的 222 个试题中, 从 数论题有 41 题, 18.5% 。 占 (2)世界上规模最大、规格最高的 IMO(国际数学奥林匹克竞赛)的前 20 届 120 道试题中有数论 13 题, 占 10.8% 。 这说明:数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内, 那么比例还会高很多。 3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题: (1)方程 x ? 6 x ? 5 x ? y ? y ? 2 的整数解 ( x , y ) 的个数是(
3 2 3



A、 0

B、1

C、3

D、无穷多 (2007 全国初中联赛 5)

(2)已知 a , b 都是正整数,试问关于 x 的方程 x ? a b x ?
2

1 2

? a ? b ? ? 0 是否有两个整数解?

如果有,请把它们求出来;如果没有,请给出证明。 (2007 全国初中联赛 12)

1

(3)①是否存在正整数 m , n ,使得 m ( m ? 2) ? n ( n ? 1) ? ②设 k ( k ? 3) 是给定的正整数,是否存在正整数 m , n ,使得 m ( m ? k ) ? n ( n ? 1) ? (2007 全国初中联赛 14) (4)关于 x , y 的方程 x ? xy ? 2 y ? 2 9 的整数解 ( x , y ) 得组数为(
2 2



A、2

B、3

C、4

D、无穷多 (2009 全国初中联赛 5)

(5)已知 a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 是满足条件 a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? 9 的五个不同的整数,若 b 是 关于 x 的方程 ( x ? a1 ) ? x ? a 2 ? ? x ? a 3 ? ? x ? a 4 ? ? x ? a 5 ? ? 2 0 0 9 的整数根,则 b 的值为 (2009 全国初中联赛 8)
3 ( 6 ) 已 知 正 整 数 a 满 足 1 9 2 a ? 1 9 1 且 a ? 2009 , 求 满 足 条 件 的 所 有 可 能 的 正 整 数 a 的 和 。 ,

(2009 全国初中联赛 12)

(7)n 个正整数 a1 , a 2 , ? , a n 满足如下条件:1 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2009 ;且 a1 , a 2 , ? , a n 中任意 n ? 1 个 不同的数的算术平均数都是正数,求 n 的最大值。 (2009 全国初中联赛 14)
? (8)在一列数 x1 , x 2 , x 3 , … 中, 已知 x1 ? 1 , 且当 k ? 2 时,x k ? x k ? 1 ? 1 ? 4 ( ? ? ? ? 4 ? ? ? k ?1? ?k ? 2? )(取整符号 ? a ? 4 ? ?

表示不超过实数 a 的最大整数,例如 ? 2 .6 ? ? 2, ? 0 .2 ? ? 0 )则 x 2 0 1 0 等于( A、 1 B 、 2 C、 3

) D、 4

(2010 全国初中联赛 4) (9)求满足 2 p ? p ? 8 ? m ? 2 m 的所有素数 P 和正整数 m。
2 2

(2010 全国初中联赛 13) (10)从 1, 2, … , 2010 这 2010 个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和 都能被 33 整除? (2010 全国初中联赛 14)

(11)设四位数 a b cd 满足 a ? b ? c ? d ? 1 ? 10 c ? d ,则这样的四位数的个数为
3 3 3 3

(2011 全国初中联赛 10)
2

(12)已知关于 x 的一元二次方程 x ? cx ? a ? 0 的两个整数根恰好比方程 x ? a x ? b ? 0 的两个根都大
2 2

1,求 a+b+c 的值 (2011 全国初中联赛 11) (13)若从 1, 2, 3, … , n 中任取 5 个两两互素的不同的整数 a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 其中总有一个整数是素数,求 n 的最大值。 (2011 全国初中联赛 13) (14)把能表示成两个正整数平方差的这种正整数,从小到大排成一列:
a1 , a 2 , … a n ,例如 a1 ? 2 ? 1 ? 3 , a 2 ? 3 ? 2 ? 5 ,??那么 a 2 0 0 7 =
2 2 2 2

(2007 福建省高一数学竞赛 12) (15)求最小的正整数 n,使得集合 {1, 2, 3, … , 2007} 的每一个 n 元子集中都有 2 个元素(可以相同) ,它 们的和是 2 的幂。 (2007 福建省高一数学竞赛 14) (16)两条直角边长分别是整数 a 和 b(其中 b<1000),斜边长是 b+1 的直角三角形有( A、20 个 B、21 个 C、22 个 D、43 个 (2008 福建省高一数学竞赛 5) (17)设 x 、 y 为非负整数,使得 x ? 2 y 是 5 的倍数, x ? y 是 3 的倍数,且 2 x ? y ? 9 9 ,则 7 x ? 5 y 的 最小值为 (2008 福建省高一数学竞赛 11) (18)正整数 a1 ? a 2 ? … ? a1 2 中,若任意三个都不能成为三角形的三边长,则 (2008 福建省高一数学竞赛 12)
1 (19)设 S ? { ,2,3, , } n (n 为正整数) … ,若 S 得任意含有 100 个元素的子集中必定有两个数的差能被 25



a1 2 a1

的最小值是

整除,求 n 的最大值。

(2008 福建省高一数学竞赛 17)

1 2 3 500 (20)设 ? x ? 是不超过 x 的最大整数,则 ? lo g 3 ? ? ? lo g 3 ? ? ? lo g 3 ? ? … ? ? lo g 3 ? = ? ? ? ? ? ? ? ?

(2009 福建省高一数学竞赛 11) (21) 已知集合 M 是集合 S ? {1, 2, 3, … , 2009} 的含有 m 个元素的子集, 且对集合 M 的任意三个元素 x,y,z

3

均有 x+y 不能整除 z,求 m 的最大值。 (2009 福建省高一数学竞赛 17) (22)已知 a,b,c 为正整数,且 c ? b ? a ? 1 , ( a ?
1 c )( b ? 1 a )( c ? 1 b ) 为整数,则 a+b+c=

(2011 福建省高一数学竞赛 12) (23) 正整数 n ? 500 , 具有如下性质: 从集合 {1, 2, … , 5 0 0} 中任取一个元素 m, m 整除 n 的概率是 则 则 n 的最大值是 (2008 福建省预赛 12) (24)设 f ( x ) 施周期函数, T 和 1 是 f ( x ) 的周期且 0 ? T ? 1 ,证明:
1 p
1 100



(1)若 T 为有理数,则存在素数 P,使

是 f ( x ) 的周期;

(2)若 T 为无理数,则存在各项均为无理数的数列 ? a n ? 满足 1 ? a n ? a m ? 0 , (n=1,2, … )且每个 a n 都 是 f ( x ) 的周期 (2008 全国高中联赛加试二)

(25)方程 x

?x?

?

9 2

的实数解事

(其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数) (2009 福建初赛 9)

(26)设 x i ?

?

2 ? 1,

2 ? 1 , i ? 1, 2, … , 2010 ,令 S ? x1 x 2 ? x 3 x 4 ? … x 2009 x 2010

?

(1)S 能否等于 2010?证明你的结论; (2)S 能取到多少个不同的整数值? (2009 福建初赛 14)

(27)设 k , l 是给定的两个正整数,证明:有无穷多个正整数 m ? k ,使得 C m 与 l 互素。
k

(2009 全国高中联赛加试三)

(28)已知集合 A ? ? x x ? a 0 ? a1 ? 7 ? a 2 ? 7 ? a 3 ? 7
2

3

? ,其中 a ? ? 0 ,1, 2 , 3, 4 , 5, 6? , i ? 0,1, 2, 3 ,且
i

a 3 ? 0 ,若正整数 m , n ? A ,且 m ? n ? 2 0 1 0, m ? n ,则符合条件的正整数 m 有

个。

(2010 福建预赛 6)

4

3 3 3 3 (29)将方程 x ? 3 ? ? x ? ? 4 的实数解从小到大排列得 x1 , x 2 , … x k ,则 x1 ? x 2 ? x 3 ? … x k 的值为

3

(2010 福建预赛 8) (30)设 k 是给定的正整数, r ? k ? 存在正整数 m ,使得 f
(m )

1 2

,记 f

(1)

( r ) ? f ( r ) ? r [ r ], f

(l )

(r ) ? f ( f

( l ? 1)

( r )) , l ? 2 。证明:

(r ) 为 一 个 整 数 。 这 里 , [ x] 表 示 不 小 于 实 数 x 的 最 小 整 数 。

(2010 全国高中联赛加试二)

(31)已知正整数 x,y,z 满足条件 xyz ? (14 ? x )(14 ? y )(14 ? z ) ,且 x ? y ? z ? 28 ,则 x ? y ? z 的最
2 2 2

大值为 (2011 福建预赛 7) (32)证明:对任意整数 n ? 4 , 存在一个 n 次多项式 f ( x ) ? x ? a n ?1 x
n n ?1

? … a1 x ? a 0 具有如下性质:

(1) a 0 , a1 , … , a n ?1 均为正整数; (2)对任意正整数 m ,及任意 k ( k ? 2) 个互不相同的正整数 r1 , r2 , … , rk 均有 f ( m ) ? f ( r1 ) f ( r2 ) … f ( rk ) (2011 全国高中联赛加试二) (33)证明:存在无穷多个正整数 n ,使得 n ? 1 有一个大于 2 n ?
2

2 n 的质因子。

(2008 第 49 届 IMO.3) (34) n 是一个正整数,a1 , a 2 , … a k ( k ? 2) 是集合 ?1, … , n ? 中互不相同的整数, 设 使得对于 i ? 1, … , k ? 1 都有 n 整除 a i ( a i ? 1 ? 1) 。 证明: n 不整除 a k ( a1 ? 1) (2009 第 50 届 IMO.1)

本资料主要介绍中学代数课程里未能深入谈到的整数的性质及其应用,初等数论的解题过程通常不涉 及很多的基础知识,重要的是机智和灵活。本资料除打上“*”的是少数内容外,初二年以上的学生均可 学习掌握。 为叙述方便,本资料中的字母均表示整数。交有 Z,N*,Z*分别表示整数集,正整数集和非零整数集。

带余除法与整除
整数的概念、分类、自然数两种理论(基数理论,序数理论)
5

基数用于表示“多少” :将所有有限集分类,使所含元素个数一样多的集合成为同一类,对每一类用 一个记号来表示它们(这一类的集合)所含元素个数一样多这个共同特征。这个记号就是一个自然数。 公理化的方法:对已有的知识进行深入的分析,选择其中一些基本关系作为不定义的概念,一些基本 性质作为不加证明的公理,建立起公理系统。然后由所建立的公理系统出发,应用形式逻辑的方法,来给 出其它有关概念的定义,并证明各种命题。 序数表示“第几”*(peano 定理)如果非空集合 N*中的某些元素之间有一个基本关系“直接后继” (元素 a 的直接后继记为 a’) ,且 N*满足以下条件: 1. ?1 ? N , ? a ? N ,必有 a ? ? 1
* *

2. a ? b ? a ? ? b ? ? a ? N , b ? N
*

*

? ?
*

3. a ? ? b ? ? a ? b ? a ? N , b ? N
*

*

4.N*的子集 M 若具有下面的性质
i ?1 ? M ii ? a ? M ? a ? ? M , 则 M ? N

定理 1 带余除法
* 设 a ? Z , b ? Z 则有且只有一对整数 q 与 r ,使得 a ? bq ? r 其中 0 ? r < b

定义 1、定理 1 中的 q 与 r 分别称 a 除以 b 的不完全商与最小非负余数,简称商和余数。 定义 2、定理 1 中的 r ? 0 时(即 a ? bq 时)就称 a 为 b 的倍数,b 是 a 的约数(或因数)a 能被 b 整除,
b 整除 a ,记作 b a

性质 1、① 0 是任何数的倍数(0 除外) ;

② ? 1 是任何数的约束;
??b a ? ? ④ b a ? ?b ? a ; ? ?b a ?
b a? ? ? ? a ? ?b ; a b? ?

③ a?Z ? a a;
*



b a

? ? ?? b ? a ; a ? 0? ?





b a

? ? ? ? bc ac ; * c?Z ? ?



b a

? ? ? ? b ac ; c?Z? ?

a b? ? ⑨ ?? a c; b c? ?

? ? ⑩ ki ? Z ?? b i ? 1, 2, 3, ? , n ? ? b ai

?ka
i i ?1

n

i

6

公式 1、 x ? y ? ( x ? y )( x
n n

n ?1

?x ?x ?x

n?2

y ? ? ? xy y ? ? ? xy y ? ? ? xy

n?2

? y ? y ? y

n ?1

) ) )

(n ? N )
*

公式 2、 x ? y ? ( x ? y )( x
n n

n ?1

n?2

n?2

n ?1

( n 是正偶数) ( n 是正奇数)

公式 3、 x ? y ? ( x ? y )( x
n n

n ?1

n?2

n?2

n ?1

(以上三个公式中的 x , y 可以是任意实数)

例 1、设 b ? 99 ? 99 (31 位数) a ? 99 ? 99 (1984 位数),求证 b a 。 例 2、设 a ? c a b ? cd 求证 a ? c a d ? b c 。

定义 3、能被 2 整除的数称偶数,不能被 2 整除的数称奇数。 性质 2、用“0”代表偶数, “1”代表奇数,则有 ① 0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=0 ②0 ? 0=0,0 ? 1=0,1 ? 0=0,1 ? 1=1

③奇数个奇数的和还是奇数 ④任意个奇数之积是奇数 *例 3、设 p , q 都是正奇数,且 p ? q ? 2 ,求证 p ? q q ? p
q p

注意:奇偶分类在处理很多问题时有用。求末位数问题: 令 G ( a ) 表示 a 的末位数,则有 性质 3、① G ( a ? b ) ? G ? G ( a ) ? G ( b ) ? ② G ( a ? b ) ? G ? G ( a ) ? G (b ) ?
m m ③ G (a ) ? G ?G (a ) ? ? ?

④任一自然数的正整数次幂的末位数有周期变化的规律。 例 4、 求 1 7
1988

的末位数
4R?n

例 5、 ①设 n , R 为自然数,求证 G ( a ②设 n 为自然数,求证 G ( a 例 6、 G (6 7
67
67

) ? G (a ) ;
n 4

4n

) ? G (a )

)

性质 4、①设 b 为奇数, c 为偶数,则 G ( a
b
c

b

c

) ? G (a )
4

②设 b 为偶数, c 为奇数( c ? 1 )则 G ( a ) ? G ( a )
7

③设 b 为偶数, c 为偶数,则 G ( a ) ? G ( a )
b 4

c

④设 b 为奇数, c 为奇数, c ? 1 )则 G ( a ) ? G ( a ) (
b b

c

19 n 个 19 ?

例 7、求 G ( 2 2

19

)
12
? 11 2

*例 8、求 a ? 1 3

的末两位数。

例 9、设 a1 , a 2 , a 3 , ? a 7 是 1, 2, 3, ? , 7 这七个自然数的任何一种次序的排列, 求证: ( a1 ? 1)( a 2 ? 2)( a 3 ? 3) ? ( a 7 ? 7 ) 总是一个偶数。 例 10、某班有 49 位同学,坐成七行七列,每个座位的前、后、左、右的座位叫做它的“邻座” ,要让这 49 位同学中的每一位都换到他邻座上去,问这种调换座的方案能否实现?

作为本节内容的结束,请注意以下两个重要的命题: ① 在 m ( m ? 2 ) 个相邻整数中,有且只有一个数能被 m 整除。 ② 若整数 g ? 1 ,则任一正整数 a 能够唯一表示为 a ? a n g ? a n ?1 g
n n ?1

? ? ? a1 g ? a 0

这里 a i ? Z , n ? 0 ,且 0 ? a i < g , i ? 0,1, 2, 3, ? , n

习题: 1. 用票面为 3 分和 5 分的邮票可以支付任何 n (整数 n ? 7 )分的邮资。 2. 把十个数码 0,1,2,3,4??,9 任意两两搭配,组成没有重复数码的 5 个两位数,求证这样 5 个两位数 的和是 9 的倍数。 3. 设 p 1 0 a ? b , p 1 0 c ? d ,求证: p a d ? b c 4. 设 a 是奇数,求证: 8 a ? 1
2

5. 证明:各位数码全是 1 的数中,有且只有一个是平方数。 6. 证明:前 n 个自然数和的个位数码不能是 2,4,7,9 7. 设 a ? Z ,求证 a ( a ? 1)( a ? 2)( a ? 3) ? 1 时奇数的平方。 8. 设 a ? k ? 1 0 , n 为自然数, k 是非负整数,求证: ( a ? 1)( a ? 3)( a ? 7 )( a ? 9) 的末三位数是 189。
n

9. 证明:整数 a 能够表示成两个整数平方和的充要条件是 2 a 也具有相同性质。

8

10. 设整数 x , a , b , c , d 互不相等,且 ( x ? a )( x ? b )( x ? c )( x ? d ) ? 4 ,求证 4 x ? a ? b ? c ? d
4 2 11. 设 2 n ,求证 1 6 n ? 4 n ? 1 1 。

12. 设 f ( n ) ? 5

3n

?5

2n

? 5 ? 1( n ? N ) ,证明:当且仅当 4 n 时, 1 3 f ( n ) 。
n *

13. 已知 n ? 0 ,求证: 3 2
n

3

n

?1

14. 证明:在任意 n 个整数中,总可以找到 k (1 ? k ? n ) 个整数,使它们的和是 n 的倍数。 15. 能否把 1,1, 2, 2, 3, 3, ? ,1986,1986 这些数排成一行,使得两个 1 之间夹着一个数,两个 2 之间夹着两 个数,??,两个 1986 之间夹着 1986 个数?请证明你的结论 (首届全国数学冬令营竞赛试题五) 16. 设正整数 d 不等于 2, 5,13 ,证明集合 ? 2, 5,13, d ? 中可以找到两个不同元素 a , b 使 ab ? 1 不是完全平方 数 (第 27 届 IMO)

公因数与公倍数
定义 1、若 d a i , i ? 1, 2, ? , n , n ? 2 就称 d 是这几个数的公因数; 定 义 2 、 n ( n ? 2) 个 不全 为零 的整 数 a i 的 公因 数中 的最 大数 叫做 这几 个整 数的 最大 公因 数, 记
( a1 , a 2 , ? a n )

性质一: ( a1 , a 2 , ? a n ) ? 1 定义 3、若 ( a1 , a 2 , ? a n ) ? 1 ,则称 a1 , a 2 , ? a n 互素(互质) 定义 4、若 a i m , i ? 1, 2, ? , n , n ? 2 ,则称 m 是 a i 的公倍数; 定义 5、非零整数的一切正的公倍数中的最小正数叫最小公倍数,记 ? a1 , a 2 , ? a n ? 定理 1、若 a , b , c 不全为零,且 a ? bq ? c 则 ( a , b ) ? ( b , c ) 性质二: ( a1 , a 2 , ? , a n ) ? ( a1 , a 2 , ? a n ) 定理 2、若
c a? ? ? ? c (a, b) c b? ?

定理 3、若整数 a , b 不全为零,则存在整数 x , y 使得 ax ? by ? ( a , b ) 性质三: m ? N , ( m a , m b ) ? m ( a , b )
*

9

性质四:若 ( a , c ) ? 1 ,则 ( ab , c ) ? ( b , c ) 定理 4、若 a k , b k ,则 ? a , b ? k 定理 5、若 a , b 是同号整数,则 ? a , b ? ? a , b ? ? a b

例1、 例2、 例3、 例4、 例5、

形如 F n ? 2
*

2

n

? 1( n ? 0 ) 的数称费尔马数, 求证 ( Fi , F j ) ? 1 , 这里 i , j 都是非负整数, i ? j 且
* a b

设 a ? N , b ? N , 且 a ? b ,证明 ( 2 ? 1, 2 ? 1) ? 1 ? ( a , b ) ? 1 已知 ( a , b ) ? 1 ,求证 ( ab , a ? b ) ? 1
6 设 f ( x ) 使非零整系数多项式, 6 f ? 2 ? , f ? 3 ? ,求证 6 f ? 6 ?

求证 ( a ? b , ? a , b ?) ? ( a , b ) 设 m ? N ,证明:当且仅当 m ? ? a , b ? 时, ?
*

例6、

?m m ? , ? ?1 ? a b ?

例7、 例8、 例9、

已知 a1 , a 2 , ? , a n 是两两互素的正整数,求证: ? a1 , a 2 , ? , a n ? ? a1 a 2 a 3 ? a n 求证平方数的正因数有奇数个,非平方数的正因数有偶数个。 有一百盏电灯,排成一行,自左向右,编号 1, 2, 3, ? , 99,100 。每灯由一拉线开关控制,最

初灯全关着。另有一百个学生顺次走过,第 k 个学生把凡是编号为 k 的倍数的电灯开关拉一下,
( k ? 1, 2, 3, ? ,100) 问:100 个学生全部过去之后,有哪几个编号的灯还亮着?

习题: 1、设 a k 表示各位数码都是 1 的 k ( k ? N )位数,求证:
( a m , a n ) ? 1 的充要条件是 ( m , n ) ? 1 ,这里 m , n ? N ,且 m ? n
*

2、设 a x 0 ? b y 0 是形如 a x ? b y ( a , b 不全为 0)的数中最小正数。 求证: (1) a x 0 ? b y 0 a x ? b y ; (2) a x 0 ? b y 0 ? ( a , b )

3、设 ( x , y ) ? 1 ,求证 ( x ? y , x ? y ) ? 1或 2 4、设 ( a , b ) ? d , ( a ?, b ?) ? d ? ,求证 ( aa ?, ba ?, ab ?, bb ?) ? dd ? 5、已知: a , b 为非零自然数, n ? N

10

求证: (1) ( a , b ) ? ( a , b ) ; (2) [ a , b ] ? [ a , b ]
n n n n n
*

n

6、设 a ? Z ,证明:数列 a , 2 a , 3 a , ? , n a 中 n 的倍数共有 ( n , a ) 个。 7、设 a ? Z ,求证 6 a ( a ? 1)(2 a ? 1) 8、已知: 6 x1 ? x 2 ? ? ? x n ,求证 6 x1 ? x 2 ? ? ? x n
3 3 3

9、设 n 是奇数, n a ? b , n a ? b ,求证 n ( a , b ) 10、设 ( a ,1 0 ) ? 1 ,证明:各位数码全是 1 的数中有 a 的倍数 11、求证 ( a , b , c ) ? (( a , b ), c )

本节的定义、定理、性质较为繁杂,为便于记忆,整理成以下图式:

素数与合数
自然数集的进一步分类:素数、合数、1 定义 如果大于 1 的整数 p 恰有两个正因数 1 与 P,就说 P 是素数,如果正整数 N*有多于两个的正因

数,就说 N*是合数。 例 1:证明:对任给的正整数 N*,总可找到 N*个相邻的合数。

定理一:任一整数 N*的最小因数 P(P>1)是素数(N*>1) 定理二:素数有无限多个。 定理三:若 N*是合数,P(P>1)是 N*的最小正因数,则 p ?
n

以上的例子和定理分别刻画了素数的某些分布特征和判断素数的方法。 定理四:若 a i ? Z , i ? 1, 2, 3, ? , n ,P 是素数, p a1 a 2 ? a n 则 P 整除某个 a i 定理五: (唯一分解定理)每个大于 1 的整数,都可唯一地分解成素因数(不计因数的顺序)的积。 推论:任一大于 1 的整数 a 可以唯一分解成 a ? p1 p 2 ? p k 时为了表述方便,允许 ? i ? 0 ,上式称为 a 的标准分解式。 例 2、设 2 ? 1( m ? N ) 是素数,求证: m 是 2 的非负整数次幂。
m

?1

?2

?k

这里 p i 是相异的素数,? i 是正整数。有

11

定理六:若 a , b 得标准分解式为 a ? p1 p 2 ? p n
r1 r2 rn

?1

?2

?n

, b ? p1 p 2 ? p n
?n

?1

?2

?n



则 ( a , b ) ? p1 ? p 2 ? p n , [ a , b ] ? p1 ? p 2 ? p n 。 这里 ri ? m in (? i , ? i ) , ? i ? m ax(? i , ? i ) , i ? 1, 2, ? , n 、

?1

?2

例 3、求证 [ a , b , c ]( a b , b c , ca ) ? a b c

定理七:若 a 的标准分解式为 a ? p1 p 2 ? p n
? i ?1

?1

?2

?n

,则 a 的一切正因数的个数 ? ( a ) ?

? (?
i ?1

n

i

? 1) , a 的

一切正因数的和为 ? ( a ) ?

?
i ?1

n

pi

?1

pi ? 1



例 4、证明形如 4 n ? 1( n ? N ) 的素数有无限个。

哥德巴赫于 1742 年在和欧拉的通信中提出的猜想: 1. 每个大于 5 的偶数都是两个奇素数之和 2. 每个大于 8 的奇数都是三个奇素数之和 1973 年 5 月《中国科学》杂志刊出陈景润研究 G 氐猜想的结果: “任一充分大的偶数是一个素数和另一个素数的和,后者或为素数,或仅另两个素数的乘积。 ” 此定理被简称为“1+2”当然离“1+1”还有一段距离,不过这已经是当今最优成果了。

习题: 1、 设 p 是异于 3 的奇素数,求证 2 4 p ? 1
2

2、 设 p , q 是素数,且 p ? q ? 5 ,求证 2 4 0 p ? q
4

4

3、 设整数 a , b , c 都大于 1,证明 [( a , c ), ( b , c )] ? ([ a , b ], c ) 4、 求证: [ a , b , c ] ( a , b )( b , c )( c , a ) ? ( a , b , c ) [ a , b ][ b , c ][ c , a ]
2 2

5、 设 a , n 都是大于 1, a ? 1 是素数,求证: a ? 2 ,且 n 是素数
n

6、 从 1 到 100 这 100 个自然数中,任意选出 51 个数,求证其中至少有两个数,它们中的一个是另一个的 倍数。 7、 设 a , b ? N , ( a , b ) ? 1 ,证明 ? ( a , b ) ? ? ( a )? ( b ); ? ( ab ) ? ? ( a )? ( b )
12

8、 证明:形如 3 n ? 2 的素数有无限多个。 9、 设 n ? 2 ,证明:在 n 与 n ! 之间至少有一个素数。 10、设 p n 是表示由小到大排列的第 n 个素数,证明 p n ? 2
2
n

同余
定义 给定正整数 m,如果用它除任意两个整数 a,b,所得余数相同,就说 a,b 对于模 m 同余,记作

a ? b ? m o d m ? 。若所得余数不同,就说 a,b 对于模 m 不同余,记作 a ? b ? m o d m ? 。

定理与性质

例1 例2 例3 例4 例5

正整数 a 能被 9 整除的充要条件是 a 的各个数码之和能被 9 整除。 设 a = a n a n ?1 ? ? ? a1 a 0 ,求证: 1 1 a ? a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? ? 1 ? a n ? 0 ? m o d n ? 。
n

求正整数 a 能被 7 正处的充要条件。 设 4444
4444

的各个数码之和为 a,a 的各个数码之和为 b,求 b 的各个数码之和为 c。

一环形公路上有几个汽车站,海拔高度只有 5 米和 10 米两种,若相邻两站的海拔高度相等,则 称连接它们的公路是水平的;如果两相邻汽车站海拔高度不等,则称相连公路是有坡的。有一旅 行者坐汽车环行东路一周,发现水平公路的段数与有坡公路的段数相等,求证 4 整除 n 。

例6 例7 习题

设 Pn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4
n n n

n

? n ? N ? ,问:怎样的 n 使得 1 0 | Pn 。
都不能满足方程
x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x1 4 ? 1 5 9 9
4 4 4

求证:任何整数

x1 , x 2 , ? ? ?, x14



1. 设 a ? b ? m od n ? ,求证: ? a , m ? ? ? b , m ? 。 2. 设 a ? 5 ? m o d 1 0 ? ,求证: a ? 2 5 ? m o d 1 0 0 ? 。
2

3. 设 ABCDE 是按逆时针方向排列的五角棋盘,从 A 沿逆时针方向移动棋子,第 K 次移动 K 步,
13

证明无论移动多少次,C、E 处永远不可能停留棋子。 4. 设 a、 b ? Z ,P 是素数,求证 ? a ? b ? ? a ? b ? m o d p ? 。
p p
p

5. 证明 n

2

?n

2

? 1? ? n ? 4 ? ? 0 ? m o d 3 6 0 ? 。
2

6. 设 n , a ? N , 2 | a ,求证 a

2

n

? 1? m od 2

n?2

?。

7. 已知 n ? 4 ? m od 9 ? ,求证 n 不能表为 3 个立方数的和。 8. 已知 n ? 7 ? m od 8 ? ,求证 n 不能表为 3 个平方数的和。 9.求出一个整数能被 101(或 37)整除的充要条件。 10.求下列各数的末两位数: 7 和 9 。 11.记 0 ? a ? 7 ,且 1 0
10
10

7

7

9

9

? a ? m o d 7 ? ,求 a。

12.已知 792 | 13 ab 45 c ,求 a、b、c。

补充题: 1. (1)有几个住鞥书,其积为 n,其和为零。求证 4 | n 。 (2)设 4 | n,求证:可以找出几个整数,使其积为 n,其和为零。 (十八届全苏中学生竞赛) 2. 设 a,b,c 是三个互不相等的正整数,求证:在 a b ? ab , b c ? b c , c a ? ca 三个数中,至
3 3 3 3 3 3

少有一个数能被 10 整除。 (86. 全国初中联赛,二试,四) 3. 把 19,20,?,79,80 诸数连写成数 A=192021?7980,试证 1980 | A。 (全苏 14 届 1980.8.1) 4. 试求所有能被 11 整除的三位数,且除得之商等于被除数中各数字的平方和。 (二届 IMO 1960)

不定方程
若方程或方程组中未知数的个数多于方程的个数,它们的解又限制为正整数、整数、有理数或其它类 别的数,则称此方程或方程组为不定方程。不定方程常联系到一些有趣的问题。竞赛中也时有所见。 例 1 在等式 x 5 ? 3 yz ? 7 8 5 0 中还原数学 x, y, z。 (1987 年全俄中学生竞赛题) 例 2 解方程 xyz ? zyx ? xzyyx 。 (1978 年广东省中学数学竞赛题) 例 3 求方程 2 + 2 + 2 + 2 = 20.625 满足条件: w > x > y > z 的整数解。 (1979 年湖南省中学数学竞赛 题)
w x y z

14

数论函数
定义 1 设 x 为任一实数, 函数

? x ? 表示不超过 x 的最大整数。

? x ? 称数论函数,也称高斯函数、阶梯函数等。数论问题是竞赛中的热门课题,而 ? x ? 则是热门

中的热门。 由定义,显然有① 定义 2

? x ? ? Z ;② ? x ? ?

x ? ?x? ? 1


0 ? ? x? ? 1

? x? ?

x ? ?x?

称为 x 的小数部分,显然



例 1 计算 ? 例2

? 429 ? ?。

? 3 n3 ? n2 ? n ? 1? , n ? N ? 求? 。

例 3 解方程

?x? ?

x

2


2x ? 1 2 ,求所有根的和。 (1987 年初中联考)

例 4 已知方程

? 3 x ? 1? ?

习题
? 5 ? 6 x ? 15 x ? 7 ? 8 ? ? 5 ? ? 。
2 x ? ? 5x? ?1 ? 0 ? ? 。

1. 2. 3.

x ? ?x? ? 3
3

。 (英斯科第 20 届奥林匹克数学竞赛题)
? ? 0,1 ?

有时也常令

? x ? =x ? ? ,?

通过对 ? 的讨论来解题。

例 5 方程 (A) 0 ; 例6 记

4 x ? 40 ? x ? ? 51 ? 0
2

的实数解的个数是( (D) 3 ;

)(1985 美国数学竞赛题) 。 (E) 4 .

(B) 1 ;

(C) 2 ;

? x ? 表示不超过 x 的最大整数,设 n 是自然数,且
2

I= ? n ? 1 ? ? n ?

? ? ?

? n ? 1?

2

? ? n ? 1?

? ? ?

2

,那么(

)(1986 年全国初中联考) 。

(A)I > 0 ;

(B)I < 0 ;

(C)I = 0 ;

(D)当 n 取不同的值时,以上三种情况都有可能出现
15

? x? 例 7 求正数 x ,使得
性质 1 性质 2

2

? x ? ? x?



? x ? 是不减函数。 ? x ? m ? ? ? x ? ? m 当且仅当 m ? Z 时成立。 ? x?+ ? y? ? ?x ? y? ? ?x? ? ? y? ? 1 。

性质 3 对任意实数 x 、y ,有

性质 4 定理

?n ? ? ? 设 m 、n 为正整数,在数列 1,2,?, (n-1) 中,m 的倍数有 ? m ? 个。 ,n

设 p 为一素数,在 n! 中 p 的方次数等于 ? ?
r ?1

?

? n ? ?n? ? n ? ? ? ? ? ? 2 ? ?? r ? ? p ? ? p? ? p ?

例 8 在 1000 ! 的十进制展开中,以多少个 0 为结尾?

例 9 求证方程

? x ? ? ? 2 x ? ? ? 4 x ? ? ? 8 x ? ? ?1 6 x ? ? ? 3 2 x ? ? 1 2 3 4 5 无实数解。

例 10

x ? ? x ? ? ? x ? ? x ?? ? ? 设 N 为一正整数,问方程 在区间 1 ? x ? N 中有多少个解?(1982 年瑞
2 2 2

典数学竞赛题) 例 11 题)
? 12 ? ? 2 2 ? ?1980 2 ? , ,? ? , ? ? ? ? ? ? ? 1980 ? ?1980 ? ? 1 9 8 0 ? 中,含有多少个互不相等的自然数?(1980 苏联列宁 在整数列 ?

? 试决定

2?

3

?

1980

的小数点前一位数字和后一位数字。 (1980 年芬兰等欧洲四国数学竞赛

例 12

格勒中学生数学竞赛试题)

习题
? ?
N=? x? ? ? , ? x? ? ?

1. 设

M =

(其中 x ? 1 ) 。则一定有(



(1985 年北京市中学生数学竞赛高一年试题) (A)M>N ;
? ?

(B) M=N ;
? ? ? ?

(C) M<N ;
? ?

(D) 以上答案都不对
? ?

2.设 S ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 1 9 8 8 ? ,那么 ? S ? 的值是

? x? ? ?
3. ①找出一个实数 x,满足

?1? ? ?1 ?x? ;
16

②证明,满足上述等式的 x 都不是有理数。
? n+2k ? ? ? k +1 ? ?。 n ? N ,计算和 k = 0 ? 2 4. 设 (1968 第十届 IMO)
?

? ? b ? 1? a ? ? a ? 1? ? b ? 1? ? a ? ? 2a ? + + ??? + ? ? ? ?b ? ? b ? b 2 ? ? ? ? ? ? 5. 设 a , b 为互素的正整数,求证: 。

? 2 ? n ?? ? n ? n m in ? k ? ? 1991 ?k2 ?? ?k2 ? 2 ? ?? ? 6. 求所有自然数 n , 使得 ,这里 ? ? 表示不超过 k 的最大整数,N 是自

然数集。 (1991 年中国数学奥林匹克)

不定方程
若方程或方程组中未知数的个数多于方程的个数,它们的解又限制为正整数、整数、有理数或其它类 别的数,则称此方程或方程组为不定方程。不定方程联系到一些有趣的问题。竞赛中也时有所见。

例 1.在等式中还原数字 x,y,z.(1987 全俄中学生竞赛题)

例 2.解方程:

例 3.求方程 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 20.625 满足条件: w ? x ? y ? z 的整数解。
w x y z

(1979 年湖南省中学数学竞赛题)

线性不定方程

ax + by = c

定理 1 设 a , b , c ? Z , ( a , b ) ? d , a ? a ' d , b ? b ' d ,则线性不定方程 ax + by = c 有整数解的充要条件是
d c

。在有整数解的情形下,如果

x ? x0



y ? y0

是一组整数解,那么该方程的一切整数解(简称通解)

可以写成
? x = x 0 + b 't , t ? 0, ? 1, ? 2, ...... ? ? y = y 0 ? a 't

例 4 求方程 7 x ? 19 y ? 213 的整数解。 例 5 今有物,不知其数(百个以下) 。三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二。问物几
17

何?(该题目出自 1600 年前的《孙子算经》 )

“韩信点兵”或“秦王暗点兵”的歌诀:
“三岁孩儿七十稀,五留廿一事尤奇,七度上元重相会,寒食清明便可知。 ” 注:该诀出自宋朝周密, “上元”指 15, “寒食清明”指 105,每年冬至至次年清明正好 105 天。

“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆月正半,除百零五便得知。 ” 注:该诀出自明朝程大位《算法统宗》 。
2 2 2 x ? 0、 y ? 0、 z ? 0 、 x , y ? ? 1 z | y ? 定理 2 勾股不定方程 x ? y ? z 满足 , 的一切整数解可表示为

?x ? a2 ? b2 ? a ? b ? 0 , ? a , b ? ? 1 , a , b 中一个为奇数,另一个为偶数。 ? y ? 2 a b ,这里 ?z ? a2 ? b2 ?

例 6 设 n ? N ,证明方程 x ? y ? z 有正整数解。
2 2 n

例 7 证明不定方程 x ? y ? z 没有正整数解。
4 4 4

费马猜想:整数 n ? 2 时,方程 x ? y ? z
n n

n

无正整数解是数论中的一个著名的难题。1760 年欧拉证

明了 n = 3 的情形。1828 年勒让德余狄里赫勒各自证明了 n = 5 的情形。1840 年拉梅证明 n = 7 的情形。 库莫尔于 1844 年首创“理想数论” ,并利用这个工具一举证明了 n 是小于 100 的奇素数但除去 n=37,59,67 的情形.1892 年米利曼诺夫证明了 n=37 的情形。 1978 瓦格斯塔夫借助大型电子计算机证明了 2 < n < 125000 的情形。????29 岁的讲师又对此做出了重大发展,然而至今还无法宣布此猜想是一条定理。

例 8 确定(并加以证明)方程 a ? b ? c ? a b 所有的整数解。 (1976 年美国竞赛题)
2 2 2 2 2

例 9 证明方程 x ? 3 y ? 9 z ? 9 xyz ? 0 只有唯一的有理数解。
3 3 3

例 10 正整数 a 与 b 使得 ab ? 1 整除 a ? b 。求证
2 2

a ?b
2

2

ab ? 1

是某个正整数的平方。 (1988 年第 29 届

IMO) 习题 1. 不定方程 5 m ? 6 m n ? 7 n ? 1987 是否有整数解?
2 2

18

2. 方程 x ? y ? z ? n 有多少组正整数解? 3. 求方程 p q ? q r ? rp ? p q r ? 2 的整数解( p , q , r ? 0 ) 。
xy z xz y yz x

4. 求方程

?

?

? 3 的整数解。

19


相关文章:
高中数学竞赛资料-数论部分.doc
高中数学竞赛资料-数论部分 - 初等数论简介 绪言:在各种数学竞赛中大量出现数论
高中数学竞赛资料-数论部分 (1).doc
高中数学竞赛资料-数论部分 (1) - 初等数论简介 绪言:在各种数学竞赛中大量
高中数学竞赛数论.doc
高中数学竞赛数论_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛数论知识点及习题讲解 高中数学竞赛 数论 剩余类与剩余系 1.剩余类的定义与性质 (1)定义 1...
全国高中数学联赛数论真题整理.doc
全国高中数学联赛数论真题整理 - 数论真题 3l 3m 3n } ? { } ?
高中数学竞赛专题讲座---竞赛中的数论问题.doc
高中数学竞赛专题讲座---竞赛中的数论问题 - 竞赛中的数论问题的思考方法 一. 条件的增设 对于一道数论命题,我们往往要首先排除字母取零值或字母取相等值等“平凡...
高中数学联赛数论专题.doc
高中数学联赛数论专题 - 全国高中数学联赛辅导 《高中数学联赛》 课程简介:全国高中数学联赛是中国高中数学学科的最高等级的数学竞赛,其地位远高于各省自行 组织的...
高中数学竞赛资料收集.doc
高中数学竞赛资料收集_学科竞赛_高中教育_教育专区。收集了许多人介绍推荐的高中...参考《初等数论》 , 《数论 导引》 , 《华南师大附中习题集》数论部分, 《题...
高中数学竞赛辅导-初等数论(不定方程).doc
高中数学竞赛辅导-初等数论(不定方程)_学科竞赛_高中教育_教育专区。不定方程不
2015年寒假高中数学联赛预习材料(数论).pdf
QBXT/JY/YXCL2015/1-1-4 (2015 年寒假集中培训课程使用) 2015 年寒假高中数学联赛预习材料(数论部分) 资料说明 本导学用于学员在实际授课之前,了解授课方向及...
高中数学联赛数论题目汇编.doc
高中数学联赛数论题目汇编 - 联赛数论题目汇编 1.(81 年)组装甲、乙、丙三
数学竞赛中的数论问题 (习题部分).doc
数学竞赛中的数论问题 (习题部分) - 数学竞赛中的数论问题 第二部分 数论题的范例讲解 主要讲几个重要类型:奇数与偶数,约数与倍数(素数与合数) ,平方数,整除,...
高中数学竞赛专题讲座---竞赛中的数论问题.doc
高中数学竞赛专题讲座---竞赛中的数论问题 - 竞赛中的数论问题的思考方法 一. 条件的增设 对于一道数论命题,我们往往要首先排除字母取零值或字母取相等值等“平凡...
近五年全国高中数学联赛选编数论.doc
近五年全国高中数学联赛选编数论 - 近五年全国高中数学联赛选编数论 20
高中数学竞赛常用知识汇集.pdf
高中数学竞赛常用知识汇集 - 1 竞赛常用知识手册 《中等数学》 资料室 鹏博奥数网(www.omaths.com)提供下载 数论部分 1 整除 1. 定义 对于整数a、b(b = 0...
初等数论的重要定理--高中数学竞赛.doc
初等数论的重要定理--高中数学竞赛 - 初等数论的重要定理 基础知识 定义(欧拉
高一数学竞赛培训资料(专题、试题)-数论初步数的整除性.doc
高中数学竞赛资料-数论部分... 19页 2财富值 初等数论 第三章 数的表示.
数学竞赛数论问题.doc
数学竞赛数论问题 - 高中数学竞赛数论问题的常用方法 数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系 .数论问题解法灵活 ,题型丰富,它 是中学数学...
高中数学竞赛专题讲座---学会从特殊角度入手解决有关数....doc
高中数学竞赛专题讲座---学会从特殊角度入手解决有关数论竞赛题 - 学会从特殊角度入手解决有关数论的赛题 一. 例题选讲 例 1. 设整数 a , b 满足 2a 2...
高二数学竞赛辅导-初等数论.doc
高二数学竞赛辅导-初等数论_高二数学_数学_高中教育_教育专区。定义1 (带余除
高中数学竞赛中数论问题的常用方法.doc
高中数学竞赛数论问题的常用方法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学.
更多相关标签: