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江西省赣中南五校联考2017届高三(上)期末数学试卷(解析版)

2016-2017 学年江西省赣中南五校联考高三(上)期末数学试卷
一、填空题(每题 5 分,共 20 分) 1.在等比数列{an}中,已知 a1+a2+…+an=2n﹣1,则 a12+a22+…+an2= 2.在数列{an}及{bn}中,an+1=an+bn+ b1=1.设 cn= ,bn+1=an+bn﹣ . . ,a1=1,

,则数列{cn}的前 2017 项和为

3.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学生,为了解 学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调 查,应在丙专业抽取的学生人数为 .

4.已知某人连续 5 次投掷飞镖的环数分别是 8,9,10,10,8,则该组数据的 方差 s2 .

5.正三角形 ABC 的边长为 2,D,E,F 分别在三边 AB,BC,CA 上,D 为 AB 的 中点,DE⊥DF,且 DF= DE,则∠BDE= .

6.已知实数 x,y 满足

,则 y﹣2x 的最小值为



7.如图,在正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是 BC 的 中点,F 是 C1D 的中点,P 是棱 CC1 所在直线上的动点.则下列三个命题: (1)CD⊥PE (2)EF∥平面 ABC1 (3)V =V .

其中正确命题的个数有

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二、选择题(每题 5 分,共 60 分) 8.已知集合 A={x|1<2x<4},B={x|x﹣1≥0},则 A∩B=( )

A.{x|1≤x<2} B.{x|0<x≤1} C.{x|0<x<1} D.{x|1<x<2} 9.已知集合 H={1,2,3,4},集合 K={1,1.5,2,0,﹣1,﹣2},则 H∩K 为 ( ) D.{1.5,0} )

A.{1,2} B.{1,2,0,﹣1} C. (﹣1,2]

10.已知函数 y=f(2x)+x 是偶函数,且 f(2)=1,则 f(﹣2)=( A.2 B.3 C.4 D.5

11.已知函数 f(x)的定义域为(3﹣2a,a+1) ,且 f(x+1)为偶函数,则实数 a 的值可以是( A. B.2 ) C.4 D.6

12.如图,一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的侧 面积为( )

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A.2

B.6

C.2(

+



D.2(

+

)+2 + = 成立的是

13.设 、 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使 ( A. ) =﹣ B. ∥ C. =2 D. ⊥

14.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确定 的是( A. ) B. C. D.

15.在一次案件中,公民 D 谋杀致死.嫌疑犯 A、B、C 对簿公堂.嫌疑犯 A 说: “我没有去 D 家,我和 C 去了 B 家”;嫌疑犯 B 说:“C 去了 A 家,也去了 D 家”; 嫌疑犯 C 说:“我没去 D 家”.由此推断嫌疑最大的是( A.A B.B C.C D.A 和 C 的图象大致为( ) )

16.函数 f(x)=

A.

B.

C



D. 17 .在△ ABC 中, a , b , c 分别为∠ A ,∠ B ,∠ C 所对应三角形的边长,若
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,则 cosB=( A.﹣ B. C. D.﹣



18.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a,b,c,如果 sin2B=sinAsinC, 且 c=2a 则 cosB 的值等于( A. B. C. D. )

19.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次,使得点 A(0,2)与点 B(4,0) 重合,若此时点 C(7,3)与点 D(m,n)重合,则 m+n 的值为( A.6 B. C.5 D. )

20.若将圆 x2+y2=π2 内的正弦曲线 y=sinx 与 x 轴围成的区域记为 M,则在网内随 机放一粒豆子,落入 M 的概率是( A. B. C. D. 在区间[﹣1, )

21.在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,则函数 1]上有且仅有一个零点的概率为( A. B. C. D. )

22.已知点 A(0,2) ,抛物线 C:y2=ax(a>0)的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,MK 垂直准线于点 K,若|KM|:|MN|=1: ,则 a 的值等于( A. B. C.1 ) D.4 sin ,若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x02+[f(x0)]2< )

23.设函数 f(x)=

m2,则 m 的取值范围是(

A. (﹣∞,﹣6)∪(6,+∞) B. (﹣∞,﹣4)∪(4,+∞) C. (﹣∞, ﹣2) ∪(2,+∞) D. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)

三、简答题(17-21 每题 12 分,22 题 10 分;共 70 分) 24.知函数 f(x)=cos2ωx﹣sin2ωx+2 有相邻两个对称轴间的距离为 cosωxsinωx+t(ω>0) ,若 f(x)图象上

,且当 x∈[0,π]时,函数 f(x)的最小值为
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0. (1)求函数 f(x)的表达式; (2)在△ABC 中,若 f(B)=1,且 2sin2C=cosC+cos(A﹣B) ,求∠B 与 sinA 的 值. 25.某市在“国际禁毒日”期间,连续若干天发布了“珍爱生命,原理毒品”的电视 公益广告, 期望让更多的市民知道毒品的危害性,禁毒志愿者为了了解这则广告 的宣传效果,随机抽取了 100 名年龄阶段性在[10,20) ,[20,30) ,[30,40) , [40,50) ,[50,60)的市民进行问卷调查,由此得到样本频率分布直方图如图 所示. (Ⅰ)求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数; 60) (Ⅱ) 从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 5 人, 求[50, 年龄段抽取的人数; (Ⅲ)从(Ⅱ)中方式得到的 5 人中再抽取 2 人作为本次活动的获奖者,记 X 为年龄在[50,60)年龄段的人数,求 X 的分布列及数学期望.

26. 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区 调查了 500 位老年人,结果如表: 性别 是否需要志愿 需要 不需要 40 30 男 女

160 270

(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有 关?
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(3)根据(2)的结论,能 否提供更好的调查方法来估 计该地区老年人中,需要志 愿帮助的老年人的比例?说 明 理 由 . 附 :

0.0

0.010

0.001

P(k2>k) k 3.841 6.635 10.828

27.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥面 ABCD.底面 ABCD 为直角梯形,∠ABC= ∠BAD=90°,PA=AB=BC= AD=1.E 为 PD 的中点. (1)求证:CE∥平面 PAB; (2)求异面直线 AB 与 PC 所成的角的正切值.

28.已知椭圆 E: 的四边形的面积为 4 .

=1(a>b>0)的离心率为 ,以 E 的四个顶点为顶点

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 A,B 分别为椭圆 E 的左、右顶点,P 是直线 x=4 上不同于点(4,0) 的任意一点,若直线 AP,BP 分别与椭圆相交于异于 A,B 的点 M、N,试探究, 点 B 是否在以 MN 为直径的圆内?证明你的结论. 29.设 ,g(x)=x3﹣x2﹣3.

(1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程; (2)如果存在 x1,x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立,求满足上述 条件的最大整数 M;
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(3)如果对任意的 范围.

,都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值

30.已知函数 f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[﹣1,1]. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a,b,c∈R,且 =m,求证:a+2b+3c≥9. ?A.

31.设不等式|x﹣2|<a(a∈N*)的解集为 A,且 ∈A, ①求 a 的值; ②求函数 f(x)=|x+a|+|x﹣2|的最小值.

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2016-2017 学年江西省赣中南五校联考高三(上)期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(每题 5 分,共 20 分) 1. 在等比数列{an}中, 已知 a1+a2+…+an=2n﹣1, 则 a12+a22+…+an2= 【考点】数列的求和;等比数列的前 n 项和. 【分析】根据条件等比数列{an}中,已知 a1+a2+…+an=2n﹣1,可知 a1=1,公比为 2,从而有{an2}是以 1 为首项,4 为公比的等比数列,故可求. 【解答】解:由等比数列{an}中,已知 a1+a2+…+an=2n﹣1,可知 a1=1,公比为 2 ∴{an2}是以 1 为首项,4 为公比的等比数列 ∴a12+a22+…+an2= 故答案为: = . .

2.在数列{an}及{bn}中,an+1=an+bn+ b1=1.设 cn=

,bn+1=an+bn﹣ .

,a1=1,

,则数列{cn}的前 2017 项和为 4034

【考点】数列递推式;数列的求和. 【 分 析 】 由 已 知 可 得 an+1bn+1= 数列{cn}为常数数列得答案. 【解答】解:∵an+1=an+bn+ ∴an+1+bn+1=2(an+bn) ,a1+b1=2. ∴an+bn=2n. 另一方面:an+1bn+1= ∴anbn=2n﹣1.
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an+1+bn+1=2 ( an+bn ) , a1+b1=2 , ,即 anbn=2n﹣1.代入 cn= ,求得

,bn+1=an+bn﹣

,a1=1,b1=1.



∴cn=

=

=



则数列{cn}的前 2017 项和 S2017=2017×2=4034. 故答案为:4034.

3.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学生,为了解 学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调 查,应在丙专业抽取的学生人数为 【考点】分层抽样方法. 【分析】根据四个专业各有的人数,得到本校的总人数,根据要抽取的人数,得 到每个个体被抽到的概率, 利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率,得到 丙专业要抽取的人数. 【解答】解:∵高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学 生 ∴本校共有学生 150+150+400+300=1000, ∵用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查 ∴每个个体被抽到的概率是 ∵丙专业有 400 人, ∴要抽取 400× 故答案为:16 =16 = , 16 .

4.已知某人连续 5 次投掷飞镖的环数分别是 8,9,10,10,8,则该组数据的 方差 s2 =0.8 .

【考点】极差、方差与标准差. 【分析】先计算数据的平均数,然后利用方差公式直接计算即可. 【解答】解:8,9,10,10,8 的平均分为 9 ∴该组数据的方差 s2=
2

[(8﹣9)2+(9﹣9)2+(10﹣9)2+(10﹣9)2+(8﹣9)

]=

=0.8
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故答案为:0.8

5.正三角形 ABC 的边长为 2,D,E,F 分别在三边 AB,BC,CA 上,D 为 AB 的 中点,DE⊥DF,且 DF= DE,则∠BDE= 60° .

【考点】三角形中的几何计算. 【分析】设出∠BDE=θ,分别在△BDE 和△ADF 中利用正弦定理表示出 DF 和 DE, 根据已知的关系式求得 tanθ 的值,进而求得答案. 【解答】解:设∠BDE=θ,在△BDE 中,由正弦定理知 ∴DE= , , ,整理得 tanθ= , = ,

同理在△ADF 中,DF= ∴ = =

∴θ=60°. 故答案为:60°

6.已知实数 x,y 满足 【考点】简单线性规划.

,则 y﹣2x 的最小值为

1



【分析】画出约束条件表示的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最小值即 可. 【解答】解:根据方程组获得可行域如下图,令 z=y﹣2x,可化为 y=2x+z, 因此,当直线过点(1,3)时,z 取得最小值为 1. 故答案为:1.

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7.如图,在正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是 BC 的 中点,F 是 C1D 的中点,P 是棱 CC1 所在直线上的动点.则下列三个命题: (1)CD⊥PE (2)EF∥平面 ABC1 (3)V =V ①②③ .

其中正确命题的个数有

【考点】棱柱的结构特征. 【分析】根据标榜的结构特征,结合线面垂直的判定与性质,面面平行的判定与 性质,锥体的体积公式等知识点,分别判断 3 个结论的真假,可得答案. 【解答】解:由 CD⊥平面 BCC1B1,PE? 平面 BCC1B1,故①CD⊥PE 正确; 连接 ED1,则 EF∥BD1,故 EF∥平面 ABC1D1,故②EF∥平面 ABC1 正确; ③V =V 正确; 故正确命题的序号为:①②③,
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=

,V

=

,故③V

故答案为:①②③.

二、选择题(每题 5 分,共 60 分) 8.已知集合 A={x|1<2x<4},B={x|x﹣1≥0},则 A∩B=( )

A.{x|1≤x<2} B.{x|0<x≤1} C.{x|0<x<1} D.{x|1<x<2} 【考点】交集及其运算. 【分析】 分别求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B, 找出两集合的交集即可. 【解答】解:由 A 中不等式变形得:20=1<2x<4=22, 解得:0<x<2,即 A={x|0<x<2}, 由 B 中不等式解得:x≥1,即 B={x|x≥1}, 则 A∩B={x|1≤x<2}, 故选:A.

9.已知集合 H={1,2,3,4},集合 K={1,1.5,2,0,﹣1,﹣2},则 H∩K 为 ( ) D.{1.5,0}

A.{1,2} B.{1,2,0,﹣1} C. (﹣1,2] 【考点】交集及其运算. 【分析】根据交集的定义写出 H∩K 即可. 【解答】解:集合 H={1,2,3,4}, K={1,1.5,2,0,﹣1,﹣2}, 则 H∩K={1,2}. 故选:A.

10.已知函数 y=f(2x)+x 是偶函数,且 f(2)=1,则 f(﹣2)=( A.2 B.3 C.4 D.5



【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】根据函数是偶函数,结合函数,令 x=1,即可得到结论. 【解答】解:∵y=f(2x)+x 是偶函数, ∴f(﹣2x)﹣x=f(2x)+x,
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∴f(﹣2x)=f(2x)+2x, 令 x=1, 则 f(﹣2)=f(2)+2=3. 故选:B

11.已知函数 f(x)的定义域为(3﹣2a,a+1) ,且 f(x+1)为偶函数,则实数 a 的值可以是( A. B.2 ) C.4 D.6

【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】函数 f(x+1)为偶函数,说明其定义域关于“0”对称,函数 f(x)的图 象是把函数 f(x+1)的图象向右平移 1 个单位得到的,说明 f(x)的定义域(3 ﹣2a,a+1)关于“1”对称,由中点坐标公式列式可求 a 的值. 【解答】解:因为函数 f(x+1)为偶函数,则其图象关于 y 轴对称, 而函数 f(x)的图象是把函数 f(x+1)的图象向右平移 1 个单位得到的,所以函 数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又函数 f(x)的定义域为(3﹣2a,a+1) ,所以(3﹣2a)+(a+1)=2,解得:a=2. 故选 B.

12.如图,一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的侧 面积为( )

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A.2

B.6

C.2(

+



D.2(

+

)+2

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 【分析】根据三视图得出空间几何体的直观图,运用几何体的性质求解侧面积.

【解答】解:

根据三视图画出直观图,

得出:PA=2,AC=2,AB=

,PB=



PA⊥面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形, ∴这个四棱锥的侧面积为 2× × 故选:C +2× × × =2( ) ,

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13.设 、 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使 ( A. ) =﹣ B. ∥ C. =2 D. ⊥

+

= 成立的是

【考点】平行向量与共线向量. 【分析】根据向量共线定理,可得若 + = 成立,则向量 、 共线且方向

相反,对照各个选项并结合数乘向量的含义,可得本题答案. 【解答】解:由 共线且方向相反, 因此当向量 、 共线且方向相反时,能使 + = 成立, + = 得若 =﹣ = ,即 ,则向量 、

对照各个选项,可得 B 项中向量 、 的方向相同或相反, C 项中向量向量 、 的方向相同, D 项中向量 、 的方向互相垂直. 只有 A 项能确定向量 、 共线且方向相反. 故选:A

14.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确定 的是( A. ) B. C. D.

【考点】等比数列的性质. 【分析】根据已知的等式变形,利用等比数列的性质求出公比 q 的值,然后分别 根据等比数列的通项公式及前 n 项和公式, 即可找出四个选项中数值不能确定的 选项. 【解答】解:由 8a2+a5=0,得到 =q3=﹣8,故选项 A 正确;
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解得:q=﹣2,则

=q=﹣2,故选项 C 正确;



=

=

,故选项 B 正确;



=

=

,所以数值不能确定的是选项 D.

故选 D

15.在一次案件中,公民 D 谋杀致死.嫌疑犯 A、B、C 对簿公堂.嫌疑犯 A 说: “我没有去 D 家,我和 C 去了 B 家”;嫌疑犯 B 说:“C 去了 A 家,也去了 D 家”; 嫌疑犯 C 说:“我没去 D 家”.由此推断嫌疑最大的是( A.A B.B C.C D.A 和 C )

【考点】进行简单的合情推理. 【分析】假设 A,B,C 中一个为嫌疑犯,分析 A,B,C 是真话还是假话,即可 得出结论. 【解答】解:假设 A 嫌疑最大,则 A,B 都是假话,C 是真话; 假设 B 嫌疑最大,则 A,C 都是真话, 假设 C 嫌疑最大,则 A,C 都是假话,B 是真话, 故选 B.

16.函数 f(x)=

的图象大致为(



A.

B.

C



D. 【考点】函数的图象.
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【分析】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近 的函数值的符号,从而即可得出正确选项. 【解答】解:此函数是一个奇函数,故可排除 C,D 两个选项; 又当自变量从原点左侧趋近于原点时,函数值为负,图象在 X 轴下方, 当自变量从原点右侧趋近于原点时, 函数值为正, 图象在 x 轴上方,故可排除 B, A 选项符合, 故选 A.

17 .在△ ABC 中, a , b , c 分别为∠ A ,∠ B ,∠ C 所对应三角形的边长,若 ,则 cosB=( A.﹣ B. C. D.﹣ )

【考点】解三角形. 【分析】 由已知及向量减法的平行四边形法则可得 4a (4a﹣3c) +(2b﹣3c) = 即

= ,根据向量的基本定理可得 a,b,c 之间的关系,

然后利用余弦定理即可求 cosB 【解答】解:∵ ∴4a ∴(4a﹣3c) ∵ ∴ , = +(2b﹣3c) =

不共线 即 a=

则 cosB= 故选 A

=

=﹣

18.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a,b,c,如果 sin2B=sinAsinC, 且 c=2a 则 cosB 的值等于( A. B. C. D. )

【考点】正弦定理;余弦定理.
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【分析】由正弦定理可得 sin2B=sinAsinC,转化成 b2=ac,由 c=2a,代入即可求得 b2=2a2,根据余弦定理,代入即可求得 cosB 的值; 【解答】解:在△ABC 中由正弦定理: ∵sin2B=sinAsinC, ∴b2=ac, ∵c=2a, ∴b2=2a2, 由余弦定理可知:cosB= 故选:B. = = . =2R,

19.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次,使得点 A(0,2)与点 B(4,0) 重合,若此时点 C(7,3)与点 D(m,n)重合,则 m+n 的值为( A.6 B. C.5 D. )

【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程. 【分析】根据题意,得到折痕为 A,B 的对称轴;也是 C,D 的对称轴,求出 A, B 的斜率及中点,求出对称轴方程,然后求出 C,D 的斜率令其等于对称轴斜率 的负倒数,求出 C,D 的中点,将其代入对称轴方程,列出方程组,求出 m,n 的值,得到答案. 【解答】解:根据题意,得到折痕为 A,B 的对称轴;也是 C,D 的对称轴, AB 的斜率为 kAB=﹣ ,其中点为(2,1) , 所以图纸的折痕所在的直线方程为 y﹣1=2(x﹣2) 所以 kCD= =﹣ ,① , ) ,

CD 的中点为( 所以 ﹣1=2(

﹣2)② ,

由①②解得 m= ,n= 所以 m+n= ,

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故选:D.

20.若将圆 x2+y2=π2 内的正弦曲线 y=sinx 与 x 轴围成的区域记为 M,则在网内随 机放一粒豆子,落入 M 的概率是( A. B. C. D. )

【考点】几何概型;定积分在求面积中的应用. 【分析】 先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积,再利用积分知识可得正 弦曲线 y=sinx 与 x 轴围成的区域记为 M 的面积,代入几何概率的计算公式可求. 【解答】解:构成试验的全部区域为圆内的区域,面积为 π3,正弦曲线 y=sinx 与 x 轴围成的区域记为 M, 根据图形的对称性得:面积为 S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4, 由几何概率的计算公式可得,随机往圆 O 内投一个点 A,则点 A 落在区域 M 内 的概率 P= 故选:B. ,

21.在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,则函数 1]上有且仅有一个零点的概率为( A. B. C. D. )

在区间[﹣1,

【考点】几何概型. 【分析】 由题意知本题是一个几何概型,根据所给的条件很容易做出试验发生包 含的事件对应的面积,而满足条件的事件是函数 f(x)= x3+ax﹣b 在区间[﹣1, 1]上有且仅有一个零点,求出导函数,看出函数是一个增函数,有零点等价于在 自变量区间的两个端点处函数值符号相反,得到条件,做出面积,根据几何概型
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概率公式得到结果. 【解答】解:由题意知本题是一个几何概型, ∵a∈[0,1], ∴f'(x)=1.5x2+a≥0, ∴f(x)是增函数若在[﹣1,1]有且仅有一个零点,则 f(﹣1)?f(1)≤0∴(﹣ 0.5﹣a﹣b) (0.5+a﹣b)≤0,即(0.5+a+b) (0.5+a﹣b)≥0 a 看作自变量 x,b 看作函数 y,由线性规划内容知全部事件的面积为 1×1=1,满足条件的面积为 ∴概率为 故选 C. = ,

22.已知点 A(0,2) ,抛物线 C:y2=ax(a>0)的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,MK 垂直准线于点 K,若|KM|:|MN|=1: ,则 a 的值等于( A. B. C.1 ) D.4

【考点】直线与抛物线的位置关系. 【分析】作出 M 在准线上的射影,根据|KM|:|MN|确定|KN|:|KM|的值,进 而列方程求得 a. 【解答】解:依题意 F 点的坐标为( ,0) , 设 M 在准线上的射影为 K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|, ∴|KM|:|MN|=1: 则|KN|:|KM|=2:1, ∵kFN= ∴ =﹣ ,kFN=﹣2, ,解得 a=4. ,

故选:D.

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23.设函数 f(x)=

sin

,若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x02+[f(x0)]2< )

m2,则 m 的取值范围是(

A. (﹣∞,﹣6)∪(6,+∞) B. (﹣∞,﹣4)∪(4,+∞) C. (﹣∞, ﹣2) ∪(2,+∞) D. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 【考点】正弦函数的定义域和值域. 【分析】由题意可得,f(x0)=± ,且 =kπ+ ,k∈z,再由题意可得当

m2 最小时,|x0|最小,而|x0|最小为 |m|,可得 m2 > m2+3,由此求得 m 的 取值范围. 【解答】解:由题意可得,f(x0)=± m. 再由 x02+[f(x0)]2<m2,可得当 m2 最小时,|x0|最小,而|x0|最小为 |m|, ∴m2 > m2+3,∴m2>4. 求得 m>2,或 m<﹣2, 故选:C. ,且 =kπ+ ,k∈z,即 x0=

三、简答题(17-21 每题 12 分,22 题 10 分;共 70 分) 24.知函数 f(x)=cos2ωx﹣sin2ωx+2 有相邻两个对称轴间的距离为 0.
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cosωxsinωx+t(ω>0) ,若 f(x)图象上

,且当 x∈[0,π]时,函数 f(x)的最小值为

(1)求函数 f(x)的表达式; (2)在△ABC 中,若 f(B)=1,且 2sin2C=cosC+cos(A﹣B) ,求∠B 与 sinA 的 值. 【考点】两角和与差的正弦函数. 【分析】 (1)利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角 函数的形式,根据题意求出周期,然后求 ω 的值,由 x 的范围,利用正弦函数 的性质可求 t,即可得解表达式; (2)通过 f(B)=1,求出 B 的值,利用诱导公式化简可得 sin2A+sinA﹣1=0,进 而可求 sinA 的值. 【解答】解: (1)∵f(x)=cos2ωx﹣sin2ωx+2 =cos2ωx+ sin2ωx+t )+t, =3π= ,且 ω>0, cosωxsinωx+t

=2sin(2ωx+

∵由题意可得:T=2×

∴ω= ,f(x)=2sin( x+ 当 0≤x≤π 时, ∴ ≤sin( x+ ≤ x+ )≤1,

)+t, ≤ ,

∴f(x)min=2× +t=0,解得:t=﹣1, ∴函数 f(x)的表达式为:f(x)=2sin( x+ (2)在△ABC 中,∵f(B)=2sin( B+ ∴sin( B+ )=1, B+ = ,解得 B= , )﹣1.

)﹣1=1,

又∵0<B<π,可得:

∵2sin2C=cosC+cos(A﹣B) , ∴2sin2( ﹣A)=cos( ﹣A)+cos(A﹣ ) , 或 (舍去) ,

∴2cos2A=2sinA,可得:sin2A+sinA﹣1=0,解得:sinA= ∴sinA= .
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25.某市在“国际禁毒日”期间,连续若干天发布了“珍爱生命,原理毒品”的电视 公益广告, 期望让更多的市民知道毒品的危害性,禁毒志愿者为了了解这则广告 的宣传效果,随机抽取了 100 名年龄阶段性在[10,20) ,[20,30) ,[30,40) , [40,50) ,[50,60)的市民进行问卷调查,由此得到样本频率分布直方图如图 所示. (Ⅰ)求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数; 60) (Ⅱ) 从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 5 人, 求[50, 年龄段抽取的人数; (Ⅲ)从(Ⅱ)中方式得到的 5 人中再抽取 2 人作为本次活动的获奖者,记 X 为年龄在[50,60)年龄段的人数,求 X 的分布列及数学期望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其 分布列. 【分析】 (I)由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的频 率,由此能求出随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数. (II)由频率分布直方图得不小于 40 岁的人的频数是 25 人,由此能求出在[50, 60)年龄段抽取的人数. (III)由已知 X=0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列及数学 期望. 【解答】解: (I)由频率分布直方图知,随机抽取的市民中年龄段在[30,40) 的频率为: 1﹣10×(0.020+0.025+0.015+0.010)=0.3, 即随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数为 100×0.3=30 人. …
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(II)由(I)知,年龄段在[40,50) ,[50,60)的人数分别为 100×0.15=15 人, 100×0.1=10 人, 即不小于 40 岁的人的频数是 25 人, ∴在[50,60)年龄段抽取的人数为 10× (III)由已知 X=0,1,2, P(X=0)= , =2 人. …

P(X=1)=



P(X=2)= ∴X 的分布列为 X P ∴EX=0×



0

1

2

+1× +2×

= . …

26. 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区 调查了 500 位老年人,结果如表: 性别 是否需要志愿 需要 不需要 40 30 男 女

160 270

(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有 关? (3)根据(2)的结论,能 否提供更好的调查方法来估 计该地区老年人中,需要志
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0.0

0.010

0.001

愿帮助的老年人的比例?说 明 理 由 . 附 :

P(k2>k) k 3.841 6.635 10.828

【考点】简单随机抽样;独立性检验. 【分析】 (1)由列联表可知调查的 500 位老年人中有 40+30=70 位需要志愿者提 供帮助,两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算 值. (2)根据列联表所给的数据,代入随机变量的观测值公式,得到观测值的结果, 把观测值的结果与临界值进行比较, 看出有多大把握说该地区的老年人是否需要 帮助与性别有关. (3)从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异,调查时,可以先确定该 地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比 采用简单随机抽样方法更好. 【解答】解: (1)∵调查的 500 位老年人中有 40+30=70 位需要志愿者提供帮助, ∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为 .

(2)根据列联表所给的数据,代入随机变量的观测值公式, . ∵9.967>6.635, ∴有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.

(3)由(2)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数 据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异, 因此在 调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采 用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好.

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27.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥面 ABCD.底面 ABCD 为直角梯形,∠ABC= ∠BAD=90°,PA=AB=BC= AD=1.E 为 PD 的中点. (1)求证:CE∥平面 PAB; (2)求异面直线 AB 与 PC 所成的角的正切值.

【考点】异面直线及其所成的角;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)取 AD 的中点 F.连接 EF,CF.由题设条件推导出 EF∥PA,CF∥AB, 得到面 EFC∥面 PAB,由此能够证明 CE∥面 PAB. (2)由 CF∥AB,知∠PCF 为异面直线 AB 与 PC 所成的角,利用题设条件推导出 CF⊥面 PAD,由此能够求出异面直线 AB 与 PC 所成的角的正切值. 【解答】解: (1)取 AD 的中点 F.连接 EF,CF. ∵PA⊥面 ABCD.底面 ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,BC= AD,E 为 PD 的中点. ∴EF∥PA,CF∥AB, ∴面 EFC∥面 PAB, 所以 CE∥面 PAB.… (2)∵CF∥AB, ∴∠PCF 为异面直线 AB 与 PC 所成的角, ∵∠BAD=90°,CF∥AB,∴CF⊥AD, ∵PA⊥面 ABCD,CF? 平面 ABCD,∴CF⊥PA, 又∵PA∩AD=A,∴CF⊥面 PAD. ∵PA=AB=BC= AD=1, ∴PF= ,CF=1,

∴在直角△PCF 中,
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tan∠PCF=

=

. .…

故异面直线 AB 与 PC 所成的角的正切值为

28.已知椭圆 E: 的四边形的面积为 4 .

=1(a>b>0)的离心率为 ,以 E 的四个顶点为顶点

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 A,B 分别为椭圆 E 的左、右顶点,P 是直线 x=4 上不同于点(4,0) 的任意一点,若直线 AP,BP 分别与椭圆相交于异于 A,B 的点 M、N,试探究, 点 B 是否在以 MN 为直径的圆内?证明你的结论. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)依题意得 = , 可得出. (Ⅱ)点 B 在以 MN 为直径的圆内.分析如下: 方法 1:由(Ⅰ)得 A(﹣2,0) ,B(2,0) .设 M(x0,y0) .又点 M 异于顶点 A、B,可得﹣2<x0<2.由 P、A、M 三点共线可以得 P.可得 证明. 方法 2:由(Ⅰ)得 A(﹣2,0) ,B(2,0) .设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,依题 意,计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差.|BQ|2﹣ |MN|2=(x1﹣2) (x2﹣2) +y1y2,两直线 AP 与 BP 的交点 P 在直线 x=4 上,可得 |BQ|2﹣ |MN|2<0,即可证明.
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?2a?2b=4

,又 a2=b2+c2,由此解得 a,b.即

?

>0,即可

=

,化简后可得

【解答】解: (Ⅰ)依题意得 = , b= . =1.

?2a?2b=4

,又 a2=b2+c2,由此解得 a=2,

所以椭圆 E 的方程为

(Ⅱ)点 B 在以 MN 为直径的圆内.证明如下: 方法 1:由(Ⅰ)得 A(﹣2,0) ,B(2,0) .设 M(x0,y0) . ∵M 点在椭圆上,∴y02= (4﹣x02) . 又点 M 异于顶点 A、B,∴﹣2<x0<2. 由 P、A、M 三点共线可以得 P . ①

从而

=(x0﹣2,y0) ,

=





?

=2x0﹣4+

= ?

(x02﹣4+3y02) . = (2﹣x0) .



将①代入②,化简得 ∵2﹣x0>0,∴ ?

>0,于是∠MBP 为锐角,从而∠MBN 为钝角,

故点 B 在以 MN 为直径的圆内. 方法 2:由(Ⅰ)得 A(﹣2,0) ,B(2,0) .设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则﹣2<x1<2,﹣2<x2<2,又 MN 的中点 Q 的坐标为 依题意,计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差 |BQ|2﹣ |MN|2= =(x1﹣2) (x2﹣2)+y1y2 直线 AP 的方程为 y= ③ (x+2) ,直线 BP 的方程为 y= (x﹣2) , + ﹣ [(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2] ,

而两直线 AP 与 BP 的交点 P 在直线 x=4 上, ∴ = ,即 y2= ④
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又点 M 在椭圆上,则

=1,即 y12= (4﹣x12)



于是将④、⑤代入③,化简后可得|BQ|2﹣ |MN|2= (2﹣x1) (x2﹣2)<0.

29.设

,g(x)=x3﹣x2﹣3.

(1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程; (2)如果存在 x1,x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立,求满足上述 条件的最大整数 M; (3)如果对任意的 范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)根据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x=1 处的导数,从而求出切 线的斜率,最后用直线的斜截式表示即可; (2)存在 x1,x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立等价于:[g(x1)﹣ g(x2)]max≥M,先求导数,研究函数的极值点,通过比较与端点的大小从而确 定出最大值和最小值,从而求出[g(x1)﹣g(x2)]max,求出 M 的范围; (3)当 时, 恒成立等价于 a≥x﹣x2lnx 恒成立,令 ,都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值

h(x)=x﹣x2lnx,利用导数研究 h(x)的最大值即可求出参数 a 的范围. 【解答】解: (1)当 a=2 时, f'(1)=﹣1, 所以曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=﹣x+3; (2)存在 x1,x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立 等价于:[g(x1)﹣g(x2)]max≥M, 考察 g(x)=x3﹣x2﹣3,
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,f(1)=2,



由上表可知: , 所以满足条件的最大整数 M=4; (3)当 时, 恒成立



等价于 a≥x﹣x2lnx 恒成立, 记 h(x)=x﹣x2lnx,h'(x)=1﹣2xlnx﹣x,h'(1)=0. 记 m(x)=1﹣2xlnx﹣x,m'(x)=﹣3﹣2lnx, 由于 ,m'(x)=﹣3﹣2lnx<0, 上递减,

所以 m(x)=h'(x)=1﹣2xlnx﹣x 在 当

时,h'(x)>0,x∈(1,2]时,h'(x)<0, 上递增,在区间(1,2]上递减,

即函数 h(x)=x﹣x2lnx 在区间

所以 h(x)max=h(1)=1,所以 a≥1.

30.已知函数 f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[﹣1,1]. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a,b,c∈R,且 =m,求证:a+2b+3c≥9.

【考点】带绝对值的函数;不等式的证明. 【分析】 (Ⅰ)由条件可得 f(x+2)=m﹣|x|,故有 m﹣|x|≥0 的解集为[﹣1, 1],即|x|≤m 的解集为[﹣1,1],故 m=1. (Ⅱ)根据 a+2b+3c=(a+2b+3c) ( 利用基本不等式证明它大于或等于 9.
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)=1+

+

+

+1+

+

+

+1,

【解答】解: (Ⅰ)函数 f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,故 f(x+2)=m﹣|x|,由题 意可得 m﹣|x|≥0 的解集为[﹣1,1], 即|x|≤m 的解集为[﹣1,1],故 m=1. (Ⅱ)由 a,b,c∈R,且 ∴a+2b+3c=(a+2b+3c) ( =1+ =3+ + + + + +1+ + + + + + +1 ≥3+6=9,当且仅当 = = = = = =1 时, ) =1,

等号成立. 所以 a+2b+3c≥9

31.设不等式|x﹣2|<a(a∈N*)的解集为 A,且 ∈A, ①求 a 的值; ②求函数 f(x)=|x+a|+|x﹣2|的最小值. 【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】①利用已知条件,代入得到 a 的范围即可. ②利用绝对值三角不等式直接求解函数的最小值即可. 【解答】解:①因为 所以 解得 ,且 ,又因为 a∈N*,所以 a=1; ,且 ,

?A.

②因为|x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)﹣(x﹣2)|=3, 当且仅当(x+1) (x﹣2)≤0,即﹣1≤x≤2 时取得等号, 所以 f(x)的最小值为 3.

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2017 年 3 月 17 日

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