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2019年人教版必修五高中数学2.5第1课时等比数列的前n项和优质课课件_图文

2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和 1.记住等比数列的前n项和公式,能够 利用公式求等比数列的前n项和. 2.掌握前n项和公式的推导方法. 自学导引 1.在等比数列{an}中,若公比q=1,则 其前n项和Sn=________. 答案:na1 2.在等比数列{an}中,若公比q≠1,则 其前n项和Sn=________=________. a1? 1-qn? 答案: 1-q a1-anq 1-q 自主探究 1.等比数列的前n项和公式与函数有哪些关 系? 答案:(1)当公比 q≠1 时,等比数列的前 n 项和公 a1?1-qn? a1 n a1 式是 Sn= , 它可以变形为 Sn=- · q+ , 1- q 1- q 1-q 设 A= a1 , 上式可写成 Sn=-Aqn+A.由此可见, 非常 1-q 数列的等比数列的前 n 项和 Sn 是由关于 n 的一个指数式 与一个常数的和构成的,而指数式的系数与常数项互为 相反数. 当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1, 是n的正比例函数(常数项为0的一次函数). (2)当q≠1时,数列S1,S2,S3,…, Sn,…的图象是函数y=-Aqx+A图象上的 一群孤立的点.当q=1时,数列S1,S2, S3,…,Sn,…的图象是正比例函数y=a1x 图象上的一群孤立的点. 2.数列a,a2,a3,…,an,…一定是等 比数列吗? 答案:不一定,例如当a=0时,数列就 不是等比数列. 预习测评 ( 1.等比数列1,a,a2,a3,…的前n项和为 ) n- 1 n a? 1-a ? A.1+ 1-a an+1-1 C. a-1 1-a B. 1-a D.以上皆错 【解析】要考虑到公比为1的情况,此时Sn=n. 答案:D 【解析】a1=1,q=2, 2.数列{2n-1}的前99项和为 ( ) A.2100-1 B.1-2100 C.299-1 D.1-299 1×?1-299? ∴S99= =299-1. 1-2 答案:C 3.若等比数列{an}的前3项的和为13,首 项为1,则其公比为__________. 1-q3 【解析 】由题知 = 13,1 + q + q2 = 13, q2 + q 1-q -12=0,所以 q=3 或 q=-4. 答案:3或-4 15 1 4.若一个等比数列的前 4 项的和为 ,公比为 , 8 2 则其首项为________. ? ?1?4? a1?1-?2? ? ? ? ? ? 【解析】由题知 1 1- 2 15 = .所以 a1=1. 8 答案:1 要点阐释 1.等比数列前n项和公式的推导 设等比数列a1,a2,a3,…,an,…它的 前n项和是Sn=a1+a2+…+an. 由等比数列的通项公式可将Sn写成 Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1. ① ①式两边同乘以q得, qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn. ② ①-②,得(1-q)Sn=a1-a1qn,由此得 q≠1时, a1? 1-qn? Sn= . 1-q ∵an=a1q n-1 a1-anq ,所以上式可化为 Sn= . 1-q 当q=1时,Sn=na1. 以上的推导方法叫做“错位相减 法”.这是中学数学里比较重要的一种求和 方法,要多用心体会. 特别提示:(1)等比数列的前n项和的公式及通 项公式涉及五个量:a1,q,n,an,Sn,只要知道其 中任意三个量,都可以通过建立方程(组)等手段求出 其余两个量,俗称“知三求二”. (2)在应用公式求和时,应注意到公式的使用条 件为q≠1,当q=1时应按常数列求和,即Sn=na1.在 解含字母参数的等比数列求和问题时,应分别讨论 q≠1与q=1两种情况. (3)等比数列前 n 项和公式的另一种形式是: ?na1?q=1?, ? Sn=?a1-anq ?q≠1?. ? ? 1-q 2.等比数列的判定方法 (1)an+1=anq(an≠0,q是不为0的常数, n∈N*)?{an}为等比数列. (2)an=cqn(c,q均是不为0的常数, n∈N*)?{an}是等比数列. (3) = a n· an+2(an· an+1· an+2≠0, a2 n+ 1 n∈N*)?{an}是等比数列. 典例剖析 题型一 等比数列前n项和公式的基本运算 【例1】 在等比数列{an}中, (1)S2=30,S3=155,求Sn; 5 (2)a1+a3=10,a4+a6= ,求 S5; 4 (3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q. ? ?a1?1+q?=30, 解:(1)由题意知? 2 ? a ? 1 + q + q ?=155, ? 1 ? ?a1=5, 解得? ? ?q=5 a =180, ? ? 1 或? 5 q=- ’ ? 6 ? 1 ? ? 5 ?n ? 080×?1-?-6? ? ? ? ? ? 1 5 n+ 1 从而 Sn= ×5 - 或 Sn= 4 4 11 . a1+a1q2=10, ? ? (2)解法一:由题意知? 3 5 5 a q +a1q = , ? 4 ? 1 a = 8, ? ? 1 a1?1-q5? 31 解得? 从而 S5= = . 1 2 1 - q q= , ? 2 ? 解法二:由(a1+a3)q3= a4+a6, 1 1 得 q = ,从而 q= . 8 2 3 又 a1+a3=a1(1+ q2)=10, 所以 a1=8, a1?1-q5? 31 从而 S5= = . 2 1-q (3)因为 a2an-1=a1an=128, 所以,a1,an 是方程 x2-66x+128=0 的两根. ? ?a1=2, 从而? ? ?an=64 ? ?an=2, 或? ? ?a1=64. a1-anq 又 Sn= =126, 1- q ? ?q=2,

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