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高一数学圆的一般方程教案

高一数学课堂设计方案

4.1.2 圆的一般方程
学习目标 1、知识与技能:

课时:2

(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确 定圆的圆心半径.掌握方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件. (2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方程。 会求动点 M 的坐标 ( x, y ) 满足的关系式。 2、过程与方法:通过对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探究,培养学生探索发现 及分析解决问题的实际能力。 3、情感态度价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激 励学生创新,勇于探索。 教学重点掌握圆的一般方程,以及用待定系数法求圆的一般方程 教学难点二元二次方程与圆的一般方程的关系及求动点的轨迹方程 教学过程 1、本节教材的理论知识有问题提出、探索研究、思考交流三个板块组成。编写形式 上采用了特殊到一般,由具体到抽象的认知方式。 第一板块 问题提出 解读 对给出的方程通过配方,化成圆的标准方程的形 方 程 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 式, 第一个方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 , 它表示以 表 示 什 么 图 形 ? 方 程 (1,-2)为圆心,2 为半径的圆; 第二个方程为: x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0 表示什 么图形? 第二板块 探索研究 方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

解读 (1) (2) (3) 关于 x, y 的二元二次方程

在什么条件下表示圆?

Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 成为圆 2 2 方程的充要条件是(1) x 和 y 的系数相同且不等于 0,即 A=C ? 0;(2)没有 xy 这样的二次项,即 B=0;
(3) D ? E ? 4 AF ? 0 。 对于圆的一般方程,要熟练地通过配方法,求 出圆的圆心坐标和半径。 根据已知条件求圆的方程,仍然采用待定系数 法,但要注意的是待定的方程是设标准方程还是设一 般方程,这要根据已知条件而定。 解读
2 2

第三板块 思考交流

1、圆的标准方程和圆的一般方 1、圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小,几 程各有什么特点? 何特征明显;圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊 2、 课本 P.122 例 4 解完后, 问: 的二元二次方程,代数特征明显。圆的一般方程与圆 与 P.119 例 2 的方法比较,你有什 的标准方程可以相互转化。 么体会? 总 结 在 圆 的 一 般 方 程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 中 , 系 数 D 、 E 、 F 必 须 满 足

D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 。
2、典型例题 例 2:求经过三点 A(1,-1) 、B(1,4) 、C(4,-2)的圆的方程。

2 例 3、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆上 ? x ? 1? ? y ? 4 运动,求线 2

段 AB 的中点 M 的轨迹方程。

总结 1、 “轨迹”与“轨迹方程”是不同的两个概念,前者是图形,要指出形状、位置、 大小(范围)等特性;后者是方程(等式) ,不仅要给出方程,还要指出变量的取值范围。 3、学法指导 1、 用待定系数法求圆方程的大致步骤是: (1)根据题意, 选择标准方程或一般方程; (2) 根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组;(3)解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准方 程或一般方程。 2、求动点的轨迹方程的常用方法有:直接法、代入法: 4、当堂练习 2 2 2 2 1、若(2m +m-1)x +(m -m+2)y +m+2=0 的图形表示一个圆,则 m 的值是___。 2、已知 ? ABC 的顶点坐标分别是 A(1,1)、B(3,1)、C(3,3),求 ? ABC 外接圆的方程。

3、过圆外一点 Q ( a, b) 向圆 O: x ? y ? r (r ? 0) 作割线,交圆于 A、B 两点,求弦 AB
2 2 2

中点 M 的轨迹。

课后作业:


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