当前位置:首页 >> 高一数学 >>

点击高中数学竞赛中的递推数列问题


KeYuLanSheng

课余揽胜

递推数列, 千姿百态, 富藏玄机, 品评领略, 倍 感 其 奥 妙 无 穷.研 究 递 推 数 列 和 应 用 递 推 数 列 来 解 决相关问题是历年高中数学竞 赛的一个热点, 也是 一 个 难 点.解 题 时 需 要 运 用 递 推 思 想 , 根 据 递 推 式 的结构特征, 首先求出它的一个通项公式, 进而解 决 相 关 的 其 他 问 题.求 通 项 公 式 的 常 用 思 想 是 递 推 思想、 化思想 其手段有构造新数列、 元、 倒 转 ( 换 取 数 、 比 等) 、 试 归 纳 猜 想 验 证 思 想 , 常 用 方 法 有 类 尝 累加法 叠加法) 、 ( 累乘法、 迭代法、 待定系数法等 .

竞 赛 天 地

点击高中 数学竞赛 中的递推 数列问题

一、 试值—— —猜测—— —推证
例1 ( 2007 全国高中数学联赛江西 预 赛 卷) 设 ( x) = 1+x , 又 记 f( x) =f x) , fk+1 x) =f f( x) ) , k= ( ( ( k f 1 1- x ( 1 , 2 , …, 则 f2007 x) 等于 ( )

A. 1+x 1- x C.x
分析

B. x- 1 x+1 D.- 1 x
由 题 设 条 件 , 将 " x) # 前 m m 为 有 的 ( f( n



江西

廖东明

限 数) 分 别 求 出 , 总 结 规 律 、 胆 猜 想 , 进 而 得 到 大

&1 2a



- 1 + 1 = n- 1) +2=n+1 ( 或从而数列 1 ( nan a1 a1

(

" $

新 课 标 人 教

f( x) 的一般式, 即可得解 . n

1 f( x) = 1+x , f( x) = 1+f( x) =- 1 , 1 2 1- x 1- f( x) x 1

是首项为 1

=2 , 公差 为 1 的 等 差 数 列 , 所 以 1 a 1×1 nan

专 业 S
精心策划

( =2+ n- 1) × 1=n+1) . 所 以 an=


k k

2 f( x) = 1+f( x) = x- 1 , f( x) = 1+f3( x) =x, 3 4 1- f( x) x+1 1- f3( x) 2

1 - 1 1 , xk=% ai=% i i+1 ( n n+1) i = 1 i = 1

&


=1- (



据 此 , f4n+1 ( x) = 1+x , f4n+2 ( x) =- 1 , f4n+3 ( x) =

1- x



1 = k ; k+1 k+1


x- 1 , f ( x) =x, 因 2007 为 4n+3 型, 故选 B. 4n x+1

yk =

i = 1

%

1 = ai



k 2

%i
i = 1

( i +1) =

i = 1

%i +%i=
i = 1

二、 察式—— —变形—— —取倒数 转化) (
例2 ( 2007 全国高中数学联赛江西 预 赛 卷)

( ( ( k k+1)( 2k+1) + k k+1) = k k+1)( k+2) . 6 2 3

nan 数列 "$ . 令 xk=a1+ an 满足: a1= 1 , an+1= ( n+1)( nan+1) 2 a2+… +ak, yk= 1 + 1 +… + 1 , k=1 , 2 …, 求 %xkyk. a1 a 2 ak k =1
分析 观察递推式的结构特征, 可取倒数, 从


1 %x y = 3 %k
k k k =1 k =1







( k+2) = 1



( n + & n+1) ( 2 ? 2 3


( ( n n+1)( 2n+1) = n n+1)( 3n2+11n+4) . 6 36

三、 察式—— —变形—— —换元 转化) (
例 3 正 项 数 列 "$ 足 )anan- 2 - )an- 1an- 2 = an 满

而可构造等差数列, 之后采用裂项相消求和以及裂 项分组求和而完成解题 . 解

an 的通项公式 . 2an- 1, 又 a0=a1=1 , 求数列 "$
分析 如何去掉根号是解决本题的关键, 审 察

1 改写条件式为 - 1 =1 , 则 1 ( n+1) an+1 nan nan 1
( n- 1) an-1



&1 na




1 + ’&n- 1) a (


n- 1


( n- 2) an- 2

+ (… +

递 推 式 的 结 构 特 征 , 两 边 同 除 以 )an- 1an- 2 , 再 使 用 换元法即可实现转化 .

数学爱好者 ! # "

课余揽胜


KeYuLanSheng

显 然 !an- 1an- 2 ≠0 , 原 递 推 式 两 边 同 除 以

数字为





!an- 1an- 2 , 得

!

an - 1=2 an- 1

!

an- 1 , 令 b = n an- 2

!

an ( n= an- 1

A.1 C.3
分析

B.2 D.4
审察题给式子的特征,

1 , 2 , 3 , …) , 则 b1=

!a

a1 =1 , b =2b +1 , 所 以 b +1=2 n n- 1 n


5 a + 3 a =2a . n n n 4 4

( bn- 1+1) , 利用递推思想与累乘 法 , 得 bn+1= bn+1 ?

由取整函数 高斯函数) 的定义, 对于任意实数 x, 均 ( 有 x- 1< x] ≤x< x] +1 , 所 以 要 设 法 把 取 整 符 号 脱 [ [ 去, 这必须通过放缩来寻找到数列 #. an 的不带取整 符号的递推式, 从而求得通项公式, 进而确定 a1+a2+ … +a2007 的个位数字 . 解 由 an+1=

bn- 1+1

bn- 1+1 ? bn- 2+1 ?…? b2+1 ? b +1) =2n- 1× 1+1) =2n, ( 1 ( bn- 2+1 bn- 3+1 b1+1
所以 bn=2n- 1. 所以 an= an ?an- 1 ?…?a2 ? 1= 2n- 1) 2 ? a (

an- 1

an- 2

a1

( 2 - 1) ?…? 2 - 1) . (
n- 1 2 2 2

四、 察式—— —联想—— —类比 转化) (
例4 已知数列
#$ , a 中


5 + a+3 4 4


!an2- 2 ( n∈N*) 知 数 列

,

a1 =1 , an+1 = ! 3 an- 1 an+ ! 3

是 个 整 数 列 , 且 为 递 增 的 . 对 于 任 何 an≥2 n∈N*) , ( 都 有 0≤an- 2< !an2- 2 <an, 所 以 5 an+ 3 ( an- 2) <





( n∈N*) , 则 a2004=_______. 分 析
新 课 标 人 教

由 an +1 = ! 3 an- 1 变 形 得 an +1 = an+ ! 3

5 3 + a+4 4


!an2- 2 !an2- 2

< 5 ,4 <2a , .


an + 3 an, 4

即 2an - 3 <



专 业 S
精心策划

an- ! 3 3 1+an×! 3 3

3 5 + a+4 4


又 an 为 正 整 数 , 所 以 an+1=

- , 联 想 公 式 tan α β = tanα tanβ , 可 ( - ) 1+tanα tanβ

( 2an - 1 , 即 an =2an - 1 - 1 , 所 以 an - 1 =2 an - 1 - 1) , 即 数 列
0- 1 $ 以 是 a
n n- 1

a1- 1=5 为 首 项 , 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ,

令 an=tanθ 问题实现转化 . n, 解 由 an
+1

( an- 1=5? , 即 an=5? n- 1+1 n∈N*) , 所 以 a1+a2+ … + 2 2 ( an=5 1+2+22+… +2n- 1) +1× ? n+n- 5, 所以 a1+a2+… + n=5 2
+1

高 一

= ! 3 an- 1 变 形 得 an an+ ! 3



2 2 a2007=5×2007+2007- 5=10×2006+2002, 其个位数字为 2,
故选 B.

an- ! 3 3 1+an×! 3 3

, 令 an =tanθ 则 a1 =tanθ , θ π , 且 n, 1 =1 1=

六、 察式—— —变形—— —构造 转化) (
1. 构造等差数列
例 6 ( 第 二 届 数 学 竞 赛 南 方 杯 ” 二 试 卷) “ 高 已 知 数 列 0$ , a1=2 , 前 n 项 之 和 为 Sn. 若 n2+1) ? ( an 中 ( an+1= 2n+1)? n+n4+2n3+3n2+2n+2 , 试 求 Sn 及 an 的 表 S 达式 用关于 n 的最简式子表示) . ( 分析 观察递 推 式 , 首 先 需 要 利 用 an+1=Sn+1- Sn



π , 所以 θ =θ π 正切函数的周 ( an+1=tanθ =tan θ n- n+1 n+1 n- 6 6

& ’

期不影响最终结果, 不防特殊化处理) , 即 θ θ =- π . n- n-1



所以 θ( θ θ1) + θ1- θ2) + … + θ θ +θ( n- 1) × ( n- n- ( 2- 1) 1= n= n- n-

- + &π (π , 6 4

即 θ nπ + π + π , 所 以 a2004 =tan n =-







( n≥1) 实 现 含 an 类 或 含 Sn 类 的 统 一 , 但 若 保 留 an 类的, 将出 现 an+1、n、n- 1, 给 构 造 新 数 列 增 加 了 难 a a 度, 所以适宜保留 Sn 类的; 其 次 , 将 n4+2n3+3n2+2n+

)

- 2004π + π + π =tan π + π =2+ ! 3 . 6 6 4 6 4

* +

,

五 、 察 式 —依 据 临 时 定 义 —放 缩 —— —— ( 转化)
例5 ( 2007 全国高中数学联赛广西 预 赛 卷)

2 能进行因式分解也是解题的关键之一, 只有分解
出因式后, 在继续观察的过程中才能发现怎样凑配 而实现构造新数列 . 解 因为 an+1=Sn+1- S( n≥1) , n

设 a1=6 , an+1=

5 ) a+3 4 4


[ !an2- 2 ( n∈N*) , 其 中 x]

,

表示不超过 x 的最大整数, 则 a1+a2+ … +a2007 的 个 位

所 以 有 ( n2 +1) ? Sn+1 - Sn) = 2n+1) ? n +n4 +2n3 + ( ( S

S S ( 3n2+2n+2 , 即 ( n2+1)? n+1-[ ( n+1) 2+1] ? n= n2+1) ?

$ # " 数学爱好者

KeYuLanSheng

课余揽胜

[ ( n+1) 2 +1] , 所 以

( n+1) 2+1

Sn+1



Sn =1 , 即 Sn n2+1 n2+1

!

"

2 知 , 将 a2007 顺 向 递 推 得 到 a2007 的 最 小 值 ; 由 a1=1 , an+3≤an+3 , 以 及 2007=669× , 知 无 法 直 接 顺 向 递 推 3
得出最大值, 又 2007=2+1+668× , 如 果 能 完 成 两 次 3 下 标 递 减 1 的 工 作 即 可 利 用 an+3≤an+3 顺 向 递 推 , 因而要将 an+2≥an+2 融入建立满足该要求的递推式 . 解 由题设, an+2≥an+2 , 则

是一个公差为 1 的等差数列 . 由 S1=a1=2 及等差数列的通项公式得

Sn = S1 + n- 1)? , ( 1=n n2+1 12+1
所以 Sn=n ( n2+1)( n=1 , 2 , 3 , …) . ? 当 n≥2 时 , an =Sn - Sn- 1 =n? n2 +1) -( n- 1) ?( n- ( [

a2007≥a2005+2≥a2003+2× … ≥a1+2× 2≥ 1003=2007.
由 an+2≥an+2 得 an≤an+2- 2 , 则 ( an+3≤an+3≤an+2- 2+3=an+2+1 n≥1) . 于 是 a2007 ≤a2006 +1 ≤a2005 +1 × ≤a2002 +3 +1 × ≤ 2 2

1) 2+1] =3n2- 3n+2.
当 n=1 时, a1=2=3× 2- 3× 1 1+2. 总之, 所求的 an=3n2- 3n+2 n=1 , 2 , 3 …) . (

2. 构造等比数列
例7 设数列 !" ( an 满足 a1=1 , an+1=3an+ 2n- 1) 2n,

a1999+3× 2+1× … ≤a1+3× 2≤ 668+1× 2=2007 ,
所以 a2007=2007. 易知数列 a1=1 , a2=2 , …, an=n 符合本题要求 .

求数列 ! " an 通项 an. 分析 观 察 an+1=3an+ 2n- 1) 2n 的 特 点 , 将 其 进 (

八、 察式—— —裂项—— —转化 简化) (
例9


行转化, 构造出能呈现等比数列特点的式子, 问题 便明朗化了 . 解 依 题 设 , 有 an+1 = 3 ? an1 +2n- 1. 令 bn= n n-

( 2007 全国高中数学 联 赛 初 赛 卷)



an=’
k =1

1 , 求证: 当正整数 n≥2 时, an+1<an. ( k n+1- k)
由于

新 课 标 人 教







证明

an , 则 可 得 b = 3 b +2n- 1 …… ① , 其 中 b = a1 = n+1 n 1 2n- 1 2 20 1. 观 察 ① 式 这 个 递 推 式 的 结 构 特 征 , 构 造 等 比 数 列
!-( b


1 = 1 ( k n+1- k) n+1

1 1 , $ + n+1- k % k

专 业 S
精心策划

( k+ n+1- k) =n+1 , 当 k 从 1 开 始 顺 次 取 到 n 时 ,( n+

, x1n+x2) "其 中 x1、2 为 常 数 , 使 得 bn+1-[ x( n+ x 1

1- k) 由 n 逐一减小到 1 , 因此 an= 2 n+1 2

’1 k
k =1





, 于是,



1) +x2] = 3 [ bn-( x1n+x2) ] …… ② , 展开并整理得 bn+1= 2 3 b - 1 x n+x - 1 x …… ③. 比 较 ① 、 得 - 1 x =2 , ③ n 1 1 2 1 2 2 2 2
( x1- 1 x2=- 1, 解得 x1=- 4, x2=- 6. 再令 cn=bn+ 4n+6) , 代 2 ( 入 ② 得 cn+1= 3 cn, 所以数列 ! " cn 是以 c1=b1+ 4+6) =

对任意的正整数 n≥2 , 有 1 ( an- an+1) = 1

n+1 1

k =1

’1 k





1 n+2

k =1

’ 1 = $1 n+1 k

n k =1

n+1

- 1 n+2

% 1 ’k
k =1





( n+1)( n+2)



( n+1)( n+2)

>0 $ 1 -1 % ’k

, 即 an+1<an.



高中数学竞赛中的递推数列与其他知识相结

3 ? 11, 公比为 3 的等比数列, 所以 cn=11 2 2
有 bn=11 ?

$ %.于是,
n- 1

合的问题, 综合性强, 题型较多, 难度较大 . 解答这类 问题的方法多样且灵活多变, 但是认真分析条 件 和

3 $ %- 4n- 6, a =2 2
n- 1 n

n- 1

? ? ? bn=11 3n- 1- n 2n+1- 3 2n.

结论的结构特征是解题立足点, 在此基础上寻 找 解 决问题的途径 . 熟知其典型问题的常用套路也是十 分必要的, 在积累经验的基础上求应变 .

七、 察式—— —递推—— —夹逼
例8 ( 2007 全国高中数学联赛江 苏 预 赛 卷)

已知数列 ! " a1=1 , an+3≤an+3 , an+2≥an+2. 求 a2007. an 中, 分析 根据题给条件, 暗含了利用夹逼 法 逼 出

a2007 的 玄 机 ; 由 a1=1 , an+2≥an+2 以 及 2007=1+1003×

数学爱好者 $ & %


相关文章:
数学竞赛中的递推数列问题_图文.pdf
数学竞赛中的递推数列问题 - 维普资讯 http://www.cqvip.com 数学通讯 200 1年第 2 2期 数学竞赛中的递推数列 问题 赵小云 ...
高中数学竞赛数列问题.doc
高中数学竞赛数列问题 - 高中数学竞赛数列问题 一、 二、 高考数列知识及方法应用(见考纲) 二阶高次递推关系 1.因式分解降次。例:正项数列{an},满足 2 S n...
数学竞赛中的递推数列问题_图文.pdf
数学竞赛中的递推数列问题 - 201 5年第 6期 中学数 学研 究 ? 43?
高中数学竞赛数列问题.doc
高中数学竞赛数列问题 - 高中数学竞赛数列问题 一、 二、 高考数列知识及方法应用(见考纲) 二阶高次递推关系 1.因式分解降次。例:正项数列{an},满足 2 S n...
数学竞赛中的递推数列问题.pdf
数学竞赛中的递推数列问题 - 40 数学通讯 2001 年第 22 期 数学竞赛中的递推数列问题 赵小云 ( 杭州师范学院 , 浙江 杭州 3100...
自招竞赛课程数学讲义:竞赛中递推型数列不等式问题的求....doc
自招竞赛课程数学讲义:竞赛中递推数列不等式问题的求解策略【学生版】_数学_高中教育_教育专区。自招竞赛 数学竞赛中递推数列不等式问题的求解策略” 讲义...
自招竞赛课程数学讲义:竞赛中递推型数列不等式问题的求....doc
自招竞赛课程数学讲义:竞赛中递推数列不等式问题的求解策略【讲师版】 - 自招竞赛 数学竞赛中递推数列不等式问题的求解策略” 知识定位 递推公式背景下...
竞赛中递推型数列不等式问题的求解策略_图文.pdf
竞赛中递推数列不等式问题的求解策略 - ? 课外园地? 数学通讯 一201 2年第 11期( 下半月) 61 竞赛 中递 推数列不等 式问题 的求解策略 ...
竞赛数学的典型问题的解决---数列与递推关系(新)_图文.ppt
竞赛数学的典型问题的解决---数列递推关系(新)_初三数学_数学_初中教育_教育...点击高中数学竞赛中的递... 3页 1下载券 高中数学数列专题 递推数... 18...
高中数学:第三章:数列-递推法解题(竞赛精讲).doc
高中数学:第三章:数列-递推法解题(竞赛精讲) - §3.3 递推法解题 基础知识 对于某些与自然数有关的问题,我们有时可以用递推法解决,扎谓用递推法解题,就...
竞赛中递推型数列不等式问题的求解策略_论文.pdf
竞赛中递推数列不等式问题的求解策略 - 201 3年第 3期 5 竞赛 中递 推数 列不 等式 问题 的求解 策略 林国夫 ( 浙江省上虞市春晖中学 ,3 ...
高中数学竞赛 第31讲 数列的递推教案.doc
高中数学竞赛 第31讲 数列的递推教案 - 第 31 讲 数列的递推 a1,a2 求出. 类型Ⅲ. 如果递归数列{an}满足 an+1 ? aan ? b ,其中 c≠0,ad-bc≠0,...
例谈递推数列在竞赛数学中的特征及解法_图文.pdf
例谈递推数列竞赛数学中的特征及解法 - 第 27 卷第 1 期专辑 2008 年 6 月 数学教学研究 77 例谈递推数列竞赛数学中的特征及解法 宋四平 甘肃省天水...
竞赛中的递推数列问题_图文.pdf
竞赛中的递推数列问题_数学_高中教育_教育专区。 文档贡献者 得得的世界 贡献于2014-07-29 1 /2 相关文档推荐 点击高中数学竞赛中的递... 3页 2下载券 ...
高中数学竞赛讲义-递推数列 新人教A 版.doc
高中数学竞赛讲义-递推数列 新人教A 版 - §12 递推数列 1、 概念: 递归式: ①、 一个数列 {a n } 中的第 n 项 a n 与它前面若干项 a n ?1 ,...
【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第31讲 数列的递....doc
【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第31讲 数列的递推教案 - 第 31 讲 数列的递推 本节主要内容两个基本递推:an+1=an+d,an=qan;线性递推,二阶或高...
构建新数列巧解递推数列竞赛题.doc
本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题,基本思路是根据题设提供的信息,构建新...用不动点巧解递推数列题 暂无评价 1页 免费 点击高中数学竞赛中的递... ...
高中数学竞赛讲义-递推数列.doc
高中数学竞赛讲义-递推数列 - 高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 §12 递推数列 1、 概念: 递归式: ①、 一个数列 {a n } 中的第 n 项 a n ...
用竞赛数学的方法解高考数列通项.doc
? 四、取对数的渗透 在高中数学竞赛中,对于形如 an ? p ? an?1 的高次递推式求通项,常常采取两边取对 数,从而达到构造新数列解出 an 的表达式。 例 4...
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第31讲__数列的递推.doc
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第31讲__数列的递推 - 第 12 讲 数列的递推 本节主要内容两个基本递推:an+1=an+d,an=qan;线性递推,二阶或高阶...
更多相关标签: