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山东省济宁市某教育咨询有限公司2015届高三数学人教A版一轮复习课件:第11章 第5节 数系的扩充与复数的引入_图文

抓 住 3 个 基 础 知 识 点

挖 掘 1 大 技 法

第五节

数系的扩充与复数的引入

掌 握 3 个 核 心 考 向

课 堂 限 时 检 测

[考情展望] 以客观题的形式考查复数的有关概念、 复数相等 的充要条件及复数代数形式的运算.有时与集合、充分必要条件 等知识结合命题,考查对复数基本概念的理解.

一、复数的有关概念 1.定义: 实部 ,b 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中 a 叫做______ 虚部 .(i 为虚数单位) 叫做______ 2.分类: 满足条件(a,b 为实数) 复数的 分类

b=0 a+bi 为实数?_______ b≠0 a+bi 为虚数?_______

a=0且b≠0 a+bi 为纯虚数?_______________

a=c,b=d (a,b,c,d∈R). 3.复数相等:a+bi=c+di?_____________ a=c,b=-d 4. 共轭复数: a+bi 与 c+di 共轭?_________________ (a, b,
c,d∈R). 5.模:

|z| , → 的长度叫做复数 z=a+bi 的模, |a+bi| 或____ 向量OZ 记作_______
2 2 a + b 即|z|=|a+bi|=__________(a,b∈R).

二、复数的几何意义 →= Z(a,b) 及平面向量OZ 复数 z=a+bi 与复平面内的点_________ (a,b)(a,b∈R)是一一对应关系.

复数的几何意义 除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外,还要注 意 (1)|z|=|z-0|=a(a>0)表示复数 z 对应的点到原点的距离为 a; (2)|z-z0|表示复数 z 对应的点与复数 z0 对应的点之间的距离.

三、复数的运算 1.运算法则:设 z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R

2.几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法 则进行. 如图 11- 5- 1 给出的平行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映出

→ -OZ → → +OZ → ,Z → = ___________ → OZ OZ 复数加减法的几何意义,即OZ 2 1 1 2 1Z2= _________.

图 11- 5- 1

1.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A, B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( )

A.4+8i
C.2+4i 【解析】

B.8+2i
D.4+i ∵A(6,5),B(-2,3),

∴线段AB的中点C(2,4),则点C对应的复数为z=2+4i. 【答案】 C

i 2.复数 (i 是虚数单位)的实部是( 1+2i A. 2 5 B.- 2 5

)

1 C. 5

1 D.- 5

i?1-2i? 2+i 2 1 i 【解析】 = = = + i,故选 A. 5 5 5 1+2i ?1+2i??1-2i?

【答案】

A

1+2i 3.若 z= ,则复数 z =( i A.-2-i C.2-i

)

B.-2+i D . 2+ i
1+2i ?1+2i?i ∵z= = =2-i,∴ z =2+i. i -1

【解析】

【答案】

D

4.若a,b∈R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则

(

)
A.a=1,b=1 C.a=-1,b=-1 【解析】 B.a=-1,b=1 D.a=1,b=-1

(a+i)i=-1+ai=b+i,

故应有a=1,b=-1.

【答案】

D

?2-i?2 5. (2013· 山东高考)复数 z= (i 为虚数单位), 则|z|=( i A.25 B. 41 C.5 D. 5

)

【解析】

?2-i?2 4-4i+i2 3-4i z= = = =-4-3i, i i i

∴|z|= ?-4?2+?-3?2= 25=5.

【答案】

C

10 6.(2013· 安徽高考)设 i 是虚数单位,若复数 a- (a∈R) 3-i 是纯虚数,则 a 的值为( A.-3
【解析】

) C. 1 D. 3

B.-1

10?3+i? 10?3+i? 10 因为 a- = a- = a- =(a 10 3-i ?3-i??3+i?

-3)-i,由纯虚数的定义,知 a-3=0,所以 a=3.

【答案】

D

考向一 [210] 复数的有关概念 (1)(2013· 陕西高考)设 z 是复数, 则下列命题中的假命 题是 ( ) A.若 z2≥ 0,则 z 是实数 B.若 z2<0,则 z 是虚数 C.若 z 是虚数,则 z2≥ 0 D.若 z 是纯虚数,则 z2<0 (2)若 z1=(m2+ m+ 1)+ (m2+ m- 4)i, m∈ R, z2= 3- 2i,则 m= 1 是 z1= z2 的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 A.充分不必要条件 C.充要条件

2 (3)(2012· 课标全国卷)下面是关于复数 z= 的四个命题: -1+i p1:|z|=2; p2:z2=2i; p3:z 的共轭复数为 1+i; p4:z 的虚部为-1. 其中的真命题为( A.p2,p3 C.p2,p4 ) B.p1,p2 D.p3,p4

【思路点拨】 (1)设 z=a+bi(a, b∈R), 结合选项逐一判断. (2)分别验证“充分性”和“必要性”; (3)把复数 z 化成 m+ni(m,n∈R)的形式,然后根据复数的相 关概念判断命题是否正确.

【尝试解答】
2

(1)设 z=a+bi(a,b∈R),
2 2 2

选项 A,z =(a+bi) =a -b

? ?ab=0, +2abi≥0,则? 2 2 ? a ≥ b , ?

故 b=

0 或 a,b 都为 0,即 z 为实数,正确. 选项
? ?a=0, ? ? ?b≠0, ? ?ab=0, 2 2 2 2 B , z = (a + bi) = a - b + 2abi<0 , 则 ? 2 2 ? ?a <b ,



故 z 一定为虚数,正确.

选项 C,若 z 为虚数,则 b≠0,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,

由于 a 的值不确定,故 z2 无法与 0 比较大小,错误. 选项 D,若 z
? ?a=0, 为纯虚数,则? ? ?b≠0,

则 z2=-b2<0,正确.

(2)若 m=1,则 z1=3-2i,从而 z1=z2. 若
2 ? ?m +m+1=3, z1=z2,则? 2 ? ?m +m-4=-2,

∴m=-2 或 m=1.

从而“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件.

2 (3)∵z= =-1-i, -1+i ∴|z|= ?-1?2+?-1?2= 2, ∴p1 是假命题; ∵z2=(-1-i)2=2i,∴p2 是真命题; ∵ z =-1+i,∴p3 是假命题; ∵z 的虚部为-1,∴p4 是真命题. 其中的真命题共有 2 个:p2,p4.

【答案】

(1)C

(2)A

(3)C

规律方法 1

1.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化

为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数 形式,列出实部、虚部满足的方程?不等式?组即可. 2.求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数 z, 然后利用复数模的定义求解.

考向二 [211]

复数的代数运算

(1)(2013· 广东高考)若 i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则 复数 x+yi 的模是( A. 2 ) B.3 C. 4 D.5 )

(2)(2014· 武汉模拟)i A.-i
【思路点拨】

?1+i? ?2 015 为虚数单位,则? =( ?1-i? ? ?

B.-1

C. i

D. 1

(1)先求 x+yi,再求模;也可直接求模.

1+i (2)先化简 ,再根据 in 的周期性求值. 1-i

【尝试解答】 (1)法一

因为 i(x+yi)=3+4i,所以 x+yi=

3+4i ?3+4i??-i? = =4-3i,故|x+yi|=|4-3i|= 42+?-3?2=5, i i?-i? 故选 D. 法二 因为 i(x+yi)=3+4i, 所以-y+xi=3+4i, 所以 x=4,

y=-3,故|x+yi|=|4-3i|= 42+?-3?2=5,故选 D. 法三 因为 i(x+yi)=3+4i,所以(-i)i(x+yi)=(-i)· (3+4i)

=4-3i,即 x+yi=4-3i,故|x+yi|=|4-3i|= 42+?-3?2=5, 故选 D.

法四

∵|i(x+yi)|=|3+4i|,

∴|x+yi|=5.故选 D.
?1+i? ?2 011 2 011 3 (2)? = i = i =-i. ?1-i? ? ?

【答案】

(1)D

(2)A

规律方法 2 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式 运算,除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把 i 的幂写成最简形式. 2.记住以下结论,可提高运算速度 1+i 1- i ?1??1± i? =± 2i;?2? =i;?3? =-i; 1-i 1+ i
2

3.熟知“in”的周期性.,in 的周期性,i4n=1; i4n 1=i; i4n 2=-1;
+ +

i4n+3=-i?n∈N+?.

对点训练

(2013·山东高考)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为
) B.2-i D.5-i
5?2+i? 5 由(z-3)(2-i)=5,得 z= +3= + 2-i ?2-i??2+i?

虚数单位),则z的共轭复数为( A.2+i C.5+i
【解析】

5?2+i? 3= +3=5+i,∴ z =5-i.故选 D. 5

【答案】

D

考向三 [212]

复数及其运算的几何意义

如图 11-5-2,平行四边形 OABC,顶点 O、A、C 分别表示 0,3+2i,-2+4i,试求: → 对应的复数,BC → 对应的复数; (1)AO → 对应的复数. (2)CA

图11-5-2

→ =-OA → ,BC → =AO → ,然后根据复数的几 【思路点拨】 (1)AO 何意义求解; → =OA → -OC → 求解. (2)根据复数减法的几何意义及CA
【尝试解答】 → =-OA →, (1)AO

→ 对应的复数为-3-2i. ∴AO → =AO → ,∴BC → 对应的复数为-3-2i. ∵BC → =OA → -OC →, (2)CA → 对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. ∴CA

规律方法 3

复数与复平面内的点是一一对应的,复数和复

平面内以原点为起点的向量也是一一对应的,因此复数加减法的 几何意义可按平面向量加减法理解,利用平行四边形法则或三角 形法则解决问题.

对点训练

(1)若 i 为虚数单位,图中 11-5-3 复平面内点 Z )

z 表示复数 z,则表示复数 的点是( 1+i A. E C. G B.F D. H

图11-5-3 (2)(2013· 湖北高考)i 为虚数单位,设复数 z1,z2 在复平面内对
应的点关于原点对称,若 z1=2-3i,则 z2=________.

【解析】

(1)由图可得 z=3+i,

3+i ?3+i??1-i? 4-2i z ∴ = = = =2-i. 2 1+i 1+i ?1+i??1-i? 对应的点为(2,-1),即点 H. (2)(2,-3)关于原点的对称点是(-2,3), ∴z2=-2+3i.

【答案】

(1)D

(2)-2+3i

思想方法之二十六 解决复数问题的根本方法——实数化 复数集是实数集的推广和发展,在解决复数问题时,将复数 问题转化为熟悉的实数问题,有助于解决问题.复数问题向实数 问题的转化,主要用于求实数、虚数、纯虚数、对应点在复平面 的某一位置等,其转化的关键在于利用复数相等的条件解题. 复数转化为实数化的有效途径有以下四种: (1)复数的概念及分类; (2)复数的相等; (3)复数的模; (4)z 与 z 的关系:z· z ∈R.

————[1 个示范例]————[1 个对点练]———— (2013· 天津高考)已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若(a +i)(1+i)=bi,则 a+bi=________.
【解析】 由(a+i)(1+i)=bi 可得(a-1)+(a+1)i=bi,因此

a-1=0,a+1=b,解得 a=1,b=2,故 a+bi=1+2i.

3+bi (2012· 湖北高考)若 =a+bi(a, b 为实数, i 为虚数单位), 1-i 则 a+b=________.
3+bi ?3+bi??1+i? 1 3-b 【解析】 = = [(3-b)+(3+b)i]= + 2 2 2 1-i 3+b i. 2 ? 3-b ?a= 2 , ∴? ?3+b=b, ? 2
? ?a=0, 解得? ? ?b=3.

∴a+b=3.

【答案】

3

课堂限时检测(七十一)

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