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《幂函数》教案及说明_图文

3.3 幂函数(1)教案 【教学目标】 【知识与技能】 1. 理解幂函数的概念. 2. 通过具体实例研究幂函数的图象和性质,并初步进行应用. 【过程与方法】 通过对幂函数的学习,使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法. 【情感、态度价值观】 1. 进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法. 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质. 3. 通过引导学生主动参与作图、分析图象,培养学生的探索精神,并在研究函数变 化的过程中渗透辩证唯物主义的观点. 【重点难点】 重点:通过六个具体的幂函数认识概念,研究性质,体会图象的变化规律. 难点:画六个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质. 【突破方式】 教师引导学生动手作图、媒体演示多个幂函数图象,深化学生对图象的直观认识;观察幂 函数图象,归纳幂函数的性质,加强学生对幂函数性质的理解和记忆. 【教学策略】 【教学顺序】 复习引入,归纳定义,研究图象,归纳性质,应用性质. 【教学方法与手段】 1.采用师生互动的方式,在教师的引导下,学生通过思考、交流、讨论,理解幂函数的 定义和性质,体验自主探索、合作交流的学习方式,充分发挥学生的积极性与主动性. 2.利用投影仪及计算机辅助教学. 超级链接到课件 3.3 幂函数(1) (个人独立制作) 【教学过程】 创设情境 前面我们学习了函数定义,研究了函数的一般性质,并且研究了指数函数和对数函数.函 数这个大家庭有很多成员,如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等.它 们在数学中的都承担着各自的任务,每个成员又都有它们各自鲜活的个性.今天,我们利用研 究指数函数、对数函数的研究方法,再来认识一位新成员. 请大家看如下问题. 请将下列问题中的 y 表示成 x 的函数. 1. 如果张红购买了每千克 1 元的水果 x 千克,那么她需要支付 y= x 元; 2. 如果正方形的边长为 x,那么正方形的面积 y= x2 ; 3. 如果立方体的边长为 x,那么立方体的体积 y= x3 ; 4. 如果一个正方形场地的面积为 x,那么这个正方形场地的边长 y= 1 3 3 x 1 2 ; x -1 s. 5. 如果某人以 x m /s 的速度向蓄水池注入了体积为 1m 的水, 那么他注水的时间 y= (板书: y ? x, y ? x , y ? x , y ? x , y ? x ?1 ,?. )抽取这几个解析式结构上的共同特 征:我们能够发现它们的右端都是幂的形式,并且底数是自变量 x,幂指数是常数. 也就是说, 2 3 1 2 它们可以写成 y ? x a 的形式,这种形式的函数就是幂函数.(板书课题:幂函数) 探究新知 幂函数的定义(形式定义) 一般地,形如 y ? x? (? ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 是常数. 自变量 x 是幂的底数,换句话说,幂的底数是单变量 x,幂指数是个常数,幂的系数是 1, 符合上述形式的函数,就是幂函数. 请同学们举出一个具体的幂函数. 从引例和同学们刚才举的例子中,我们可以发现,幂指数 ? 可以是正数、负数,也可以 是 0.幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数. 课堂练习 1.指出下列函数中的幂函数. y? 1 , y ? x 2 ? x, y ? x 2 , y ? x 5 , y ? 5 x. 2 x 探究新知 按照从特殊到一般的原则,我们先来研究几个具有代表意义的幂函数. 1 y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x 2 , y ? x ?1 , y ? x ?2 . 请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.我们在前面的课程中已经研 究过了函数 y ? x 与 y ? x 的性质,它们的图象已经呈现在坐标纸中了,在这里,我们只画出 余下四个函数的图象.(时间关系,分四组) 根据手里作出的图象,以小组为单位对照函数图象,讨论以下四个问题: 1.描点法画函数图象的步骤; (列表、描点、连线) 2.互相检查函数图象的画法,图象是否一致; 3.讨论在画图象过程中出现的问题; 4.探究幂函数图象的变化规律,归纳幂函数的性质. 通过刚才观察同学们作图,其中几个同学的图象特别规范,请看. 变化趋势. 首先可以很明显的看到,上述六个幂函数的图象都过同一个定点(1,1). (一边分析函数图象的特征,一边总结函数性质,填写表格.) 2 y ? x3 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 R R 奇函数 递增 y ? x2 R [0,+∞) 偶函数 (-∞,0)减 (0,+∞)增 y?x R R 奇函数 递增 y ? x2 [0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 [0,+∞)增 (1,1) 1 y ? x ?1 y ? x ?2 ?x | x ? 0? ?y | y ? 0? 奇函数 (-∞,0)减 (0,+∞)减 ?x | x ? 0? (0,+∞) 偶函数 (-∞,0)增 (0,+∞)减 从这些函数的图象我们可以看到,幂函数随着幂指数的取值不同,它们的性质和图象也 存在着差异,请同学们根据这个表格,寻找这 6 个幂函数的共性? 定义域不同,但有公共区间(0,+∞). 2 为了更好地观察函数图象特征,总结幂函数的性质,我们把 6 个幂函数的图象画在同一 平面直角坐标系中.(这是幂函数??的图象??) 总结性质 虽然这 6 个幂函数图象所分布的象限不同,但是我们还是不难发现它们共同的特征.这 6 个幂函数在(0,+∞)都有定义,图象都过点(1,1). 注意到这 6 个幂函数在第一象限内的单调性的差异,我们来观察当 ? ? 0 时的函数图象, (演示几何画板,隐藏 ? ? 0 时图象)很明显,它们的图象除了过点(1,1)外,还过原点, 并且在区间 [0,??) 上是增函数. 再来观察当 ? ? 0 时的函数图象, (演示几何画板,显示 ? ? 0 时图象,隐藏 ? ? 0 时图 象)幂函数在区间 (0

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