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09【数学】2.5《等比数列的前n项和》课件(新人教A必修5)_图文


等差数列 {an} 定义 通项
⑴公式

等比数列 {an} ) an+1 / an = q (
不为零的常数

an+1 - an = d (

常数

)

an = a1 + ( n – 1 ) d

an = a1 qn-1 an / am = qn-m
①归纳猜想验证法 ②首尾相咬累乘法 若 m+n=r+s , m、n、r、s∈N* 则 am · an = ar · as

an - am = ( n – m ) d
①归纳猜想验证法 ②首尾相咬累加法 若 m+n=r+s , m、n、r、s∈N* 则 am + an = ar + as ( a1 + a n ) n Sn = 2 = na1 + n(n – 1) d 2 化零为整法

⑵推导 方法

性质

前n项 和Sn
⑴公式 ⑵推导 方法

问题:等比数列{an},如果已知a1 , q , n 怎样表示Sn?

解:Sn = a1 + a2 + ···+ an = a1 + a1q + a1q2 + ···+ a1 qn-1 = a1 ( 1 + q + q2 + ···+ qn-1 )

尝试: 讨论q≠1时 a1 ( 1 – q1 ) S1 = a1 = 1 - q

a1 ( 1 – q2 ) S2 = a1 + a1q = a1 ( 1 + q ) = 1 - q a1 ( 1 – q3 ) 2 2 S3 = a1 + a1q + a1q = a1 ( 1+ q + q ) = 1-q

a1 ( 1 – qn ) 猜想: Sn = 1 - q

验证: 当n≥2时
n ) a ( 1 – q 1 an = Sn - Sn-1 = 1 - q

a1 ( 1 – q n-1 ) 1 - q

a1 (q n-1 – qn ) n-1 = = a q 1 1 - q
当n=1时 a1 = S1

∴ an = a1 qn-1

亦满足上式 a1 ( 1 – qn ) ∴ Sn = 1-q

( q≠1 )

当 q≠1 时 Sn = a1 + a2 + ···+ an = a1 + a1q + a1q2 + ···+ a1 qn-1 = a1 ( 1 + q + q2 + ···+ qn-1 ) a1 ( 1 – qn ) = 1-q n 1 – q … … … …(*) 即 1 + q + q2 + ···+ qn-1 = 1-q 证明(*)式 ( 1 + q + q2 + ···+ qn-1 ) ( 1 - q ) = 1 + q + q2 + ···+ qn-1

- ( q + q2 + ···+ qn-1 + qn )
= 1 - qn ∴ (*)式成立

错项相减法:
Sn = a1 + a1q + a1q2 + ···+ a1 qn-1 相减

q Sn = a1q + a1q2 + ···+ a1 qn-1 + a1qn

( 1 – q ) Sn = a1 - a1 qn = a1 ( 1 – qn )

∴当 1 – q ≠ 0 , 即 q ≠ 1 时,
当 q = 1 时, Sn = n a1

a1 ( 1 – qn ) Sn = 1-q

等比数列{an}前n项和公式为
当q≠1时 a1 ( 1 – qn ) Sn = 1-q = 当q=1时 a1 - an q 1-q

Sn = n a1

练习:

(1) 1+2+4+ … +263 =
(2)1-2+4 + … +(-2)n-1 = (3)等比数列 {an} 中,a1 = 8 , q =

264-1
1–(-2)n 3
1 2

, an =

1 2

, 则Sn=

31 2

(4)等比数列 {an} 中,a1 = 2 ,S3=26 , 则 q =

-4或3

例1 : 求通项为

an = 2n + 2n -1

的数列的前n项和

解:设 bn = 2n , 且对应的前n项和为 S′ n Cn=2n-1 , 对应的前n项和为 S″n 则

an = bn +Cn ,Sn = S′ n + S″n
2 ( 1–2n ) 1–2 1 + ( 2n - 1 ) 2
= 2 ( 2n – 1 ) n = n2

∴ S′ n = ∴ S″n =

∴ Sn = S′ n + S″n = 2n+1 + n2 - 2

1 1 1 例2:求和 ( x + y ) + ( x2 + 2 ) + ( x3 + 3 ) + … +( xn + y y

1 ) yn

(1) 当 x ≠ 0 , y ≠1 时

( 2) 当 x ≠ 0 时

解: 1 1 1 2 n (1) Sn = ( x + x + … + x ) + ( y + y2 + … + yn ) 当x=1时 1 (1- 1 ) n -1 y n y y =n+ Sn = n + n+1 - yn 1 y 1- y 当x≠1时 1 (1- 1 ) n x (1 - x ) n y y Sn = + 1-x 1- 1
y

x ( 1 - xn ) = 1-x

+

yn - 1 yn+1 - yn

( 2 ) 只须注意再讨论y是否等于1的取值情况

例3: 求数列:1 , 2x , 3x2 , … ,nxn-1 ,… (x≠0) 的前n项和 n(n+1) 解:当 x = 1 时 Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = 2 当 x ≠1 时 Sn = 1 + 2 x+ 3x2 + … + nxn-1 错项相减 ( 1 – x ) Sn = 1 + x + x2 + … + xn-1 - nxn 1 - xn - nxn = 1-x n + xn+1 1 - xn nxn 1 – ( 1 + n ) x ∴ Sn = 2 1-x = (1 - x) ( 1 – x )2 n(n+1) 综上所述:当 x = 1 时 Sn = 2 1 – ( 1 + n ) xn + xn+1 当 x ≠1 时 Sn = ( 1 – x )2 x Sn = x+ 2x2 + … + (n-1)xn-1 + nxn

等差数列 {an} 定义 通项
⑴公式

等比数列 {an} ) an+1 / an = q (
不为零的常数

an+1 - an = d (

常数

)

an = a1 + ( n – 1 ) d

an = a1 qn-1 an / am = qn-m
①归纳猜想验证法 ②首尾相咬累乘法 若 m+n=r+s , m、n、r、s∈N* 则 am · an = ar · as
a1( 1 – qn ) a1 - an q = 当q≠1时 Sn = 1-q 1-q 当q=1时 Sn = n a1

an - am = ( n – m ) d
①归纳猜想验证法 ②首尾相咬累加法 若 m+n=r+s , m、n、r、s∈N* 则 am + an = ar + as ( a1 + a n ) n Sn = 2 = na1 + n(n – 1) d 2 化零为整法

⑵推导 方法

性质

前n项 和Sn
⑴公式 ⑵推导 方法

①归纳猜想验证法 ②错项相减法

方法三: Sn = a1 + a2 + ···+ an = a1 + a1q + a1q2 + ···+ a1 qn-1

= a1 + q ( a1 + a1q + ···+ a1 qn-2 )
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an ) ∴ ( 1 – q ) Sn = a1 – q an a1 - an q Sn = ∴当q≠1时 1-q 当q=1时 Sn = n a1 a1 ( 1 – qn ) = 1-q

方法四:

an a3 a2 ?q ? …? ? ∵ an?1 a2 a1

a2 ? a3 ? ? an ? ?q a1 ? a2 ? ? an ?1

sn ? a1 ? ?q sn ? an
∴当q≠1时 Sn = a1 - an q 1-q a1 ( 1 – qn ) = 1-q

当q=1时

Sn = n a1


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