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专题二:函数与导数的交汇题型分析及解题策略(1)


专题二:函数与导数的交汇题型分析及解题策略
【命题趋向】
函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程,又是学习高等数学的基础,是高考数学中极为重要的 内容,纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题,函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年都 有试题,分值 26 分左右,如 08 年福建文 11 题理 12 题(5 分)为容易题,考查函数与导函数图象之间的关 系、08 年江苏 14 题(5 分)为容易题,考查函数值恒成立与导数研究单调性、08 年北京文 17 题(12 分)为中 档题考查函数单调性、奇偶性与导数的交汇、08 年湖北理 20 题(12 分)为中档题,考查利用导数解决函数 应用题、08 年辽宁理 22 题(12 分)为中档题,考查函数利用导数确定函数极值与单调性问题等.预测 2009 年关于函数与导数的命题趋势,仍然是难易结合,既有基本题也有综合题,函数与导数的交汇的考查既有 基本题也有综合题,基本题以考查基本概念与运算为主,考查函数的基础知识及函数性质及图象为主,同 时考查导数的相关知识,知识载体主要是三次函数、指数函数与对数函数综合题.主要题型:(1)利用导数研 究函数的单调性、极值与最值问题;(2)考查以函数为载体的实际应用题,主要是首先建立所求量的目标函 数,再利用导数进行求解.

【考试要求】
1.了解函数的单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法. 2.了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些简单函数的反函数. 3.掌握有理指数幂的运算性质.掌握指数函数的概念、图象和性质. 4.掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质. 5.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 6.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等) ;掌握函数在一点 处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念. 7.熟记基本导数公式(c,xm(m 为有理数) ,sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax 的导数) ;掌握两个函数 和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. 8. 理解可导函数的单调性与其导数的关系; 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 (导 数在极值点两侧异号) ;会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.

【考点透视】
高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题,充分与函数相结合.其主要考点: (1)考查利用导数研究函数的性质(单调性、极值与最值) ; (2)考查原函数与导函数之间的关系; (3)考查利用导数与函数相结合的实际应用题.从题型及考查难度上来看主要有以下几个特点:①以 填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值;②与导数的几何意 义相结合的函数综合题,利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最值或极值,属于中档题;③利用导 数求实际应用问题中最值,为中档偏难题.

【典例分析】
题型一 导函数与原函数图象之间的关系

如果原函数定义域内可导,则原函数的图象 f(x)与其导函数 f?(x)的图象有密切的关系: 1.导函数 f?(x)在 x 轴上、下方图象与原函数图象上升、下降的对应关系: (1)若导函数 f?(x)在区间 D 上恒有 f?(x)>0,则 f(x)在区间 D 上为增函数,由此进一步得到导函数 f?(x) 图象在 x 轴上方的图象对应的区间 D 为原函数图象中的上升区间 D; (2)若导函数 f?(x)在区间 D 上恒有 f?(x)<0,则 f(x)在区间 D 上为减函数,由此进一步得到导函数 f?(x) 图象在 x 轴下方的图象对应的区间为原函数图象中的下降区间. 2.导函数 f?(x)图象的零点与原函数图象的极值点对应关系:导函数 f?(x)图象的零点是原函 数的极值点.如果在零点的左侧为正,右侧为负,则导函数的零点为原函数的极大值点; 如果在零点的左侧为负,右侧为正,则导函数的零点为原函数的极小值点. 【例 1】 如果函数 y=f(x)的图象如右图,那么导函数 y=f?(x)的图象可能是 ( )

【分析】 根据原函数 y=f(x)的图象可知,f(x)有在两个上升区间,有两个下降区间,且第一个期间 的上升区间,然后相间出现,则反映在导函数图象上就是有两部分图象在 x 轴的上方,有两部分图象在 x 轴的下方,且第一部分在 x 轴上方,然后相间出现. 【解】 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,只有答案 A 满足. 【点评】 本题观察图象时主要从两个方面:(1)观察原函数 f(x)的图象哪些的上升区间?哪些下降区 间?;(2)观察导函数 f?(x)的图象哪些区间在大于零的区间?哪些部分昌小于零的区间?

【例 2】 设 f?(x)是函数 f(x)的导函数,y=f?(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象最有 可能是 ( )

【分析】 先观察所给出的导函数 y=f?(x)的图象的正负区间,再观察所给的选项的增减区间,二者结 合起来即可作出正确的选择.本题还可以通过确定导函数 y=f?(x)的图象零点 0、2 对应原函数的极大或极小 值点来判断图象. 【解法 1】 由 y=f?(x)的图象可以清晰地看出,当 x∈(0,2)时,y=f?(x)<0,则 f(x)为减函数,只有 C 2 项符合,故选 C. 0 【解法 2】 在导函数 f?(x)的图象中,零点 0 的左侧函数值为正,右侧为负,由可知原函数 f(x)在 x= 0 右侧为正, 0 时取得极大值.又零点 2 的左侧为负, 由此可知原函数 f(x)在 x=0 时取得极小值, 只有 C 适合, 9 故选 C. 0 【点评】 (1)导函数值的符号决定函数的单调性为“正增、负减”,导函数的零点确定原函数的极值点; 3 (2)导函数的增减性与函数增减性之间没有直接的关系,但它刻画函数图象上的点的切线斜率的变化趋势. 1 题型二 利用导数求解函数的单调性问题 8 若 f(x)在某区间上可导,则由 f?(x)>0(f?(x)<0)可推出 f(x)为增(减)函数,但反之则不一定,如:函数

f(x)=x3 在 R 上递增,而 f?(x)≥0.f(x)在区间 D 内单调递增(减)的充要条件是 f?(x0)≥0(≤0),且 f?(x)在(a,b)的任 意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型: (1)根据函数解析式,求函数的单调区间; (2) 根据函数的单调性函数求解参数问题;(3)求解与函数单调性相关的其它问题,如函数图象的零点、不等式 恒成立等问题. 【例 3】 (08 全国高考)已知函数 f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R.(Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调区间;(Ⅱ)设函 2 1 数 f(x)在区间(-3,-3)内是减函数,求 a 的取值范围. 【分析】 第(Ⅰ)小题先求导函数 f?(x),由于含有参数 a,根据判别式确定对 a 的分类标准,进而 确定单调区间;第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果,建立关于 a 的不等式组,由此可确定 a 的范围. 【解】 (Ⅰ)由 f(x)=x3+ax2+x+1,求导得 f?(x)=3x2+2ax+1, 当 a2≤3 时,△=4(a2-3)≤0,f?(x)≥0,f(x)在 R 上递增, -a± a2-3 当 a2>3,f?(x)=求得两根为 x= ,则 3 -a- a2-3 -a- a2-3 -a+ a2-3 函数 f(x)在区间(-∞, )上递增,在区间( , )上递减, 3 3 3 -a- a2-3 在区间( ,+∞)上递增. 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

? ? ?

-a- a2-3 2 ≤-3 3 ,且 a2>3,解得 a≥2. -a+ a2-3 1 ≥-3 3

【点评】 本题是利用导数求解函数单调性问题的两类最典型的题型.由于函数解析式中含有字母参数 a,因此解答第(Ⅰ)小题时注意分类讨论.第(Ⅱ)小题的解答是根据第(Ⅰ)小题的结果,利用集合集合间的关 2 ? f?(-3)≤0 系建立不等式来求解的.第(Ⅱ)小题还是利用函数在已知区间上减函数建立不等式? 1 来求解. ? f?(- )≤0 3 题型三 求函数的极值问题 极值点的导数一定为 0,但导数为 0 的点不一定是极值点,同时不可导的点可能是极值点.因此函数的 极值点只能在导数为 0 的点或不可导的点产生.利用导数求函数的极值主要题型:(1)根据函数解析式求极 值;(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解. 【例 4】 (08· 四川)设 x=1 和 x=2 是函数 f(x)=x5+ax3+bx+1 的两个极值点.(Ⅰ)求 a 和 b 的值; (Ⅱ) 略. 【分析】 先求导函数 f?(x),然后由 x=1 和 x=2 是 f?(x)=0 的两个根建立关于 a、b 的方程组求解. 【解】 因为 f?(x)=5x4+3ax2+b, 由 x=1 和 x=2 是函数 f(x)=x5+ax3+bx+1 的两个极值点,所以 f?(1)=0,且 f?(2)=0, 4 2 ? 5×1 +3a×1 +b=0 25 ? 即 ,解得 a= 3 ,b=20. 4 2 ? 5×2 +3a×2 +b=0 【点评】 解答本题要明确极值点与导函数方程之间的关系:对于三次函数极值点的导数一定为 0, 但导数为 0 的点不一定是极值点.本题解得充分利用上述关系,通过建立方程组求得了 a 和 b 的值. kx+1 【例 5】 (08 陕西高考)已知函数 f(x)= 2 (c>0,且 c≠1,k∈R)恰有一个极大值点和一个极小值 x +c 点,其中一个是 x=-c.(Ⅰ)求函数 f(x)的另一个极值点;(Ⅱ)求函数 f(x)的极大值 M 和极小值 m,并求 M -m≥1 时 k 的取值范围. 【分析】 先求导函数 f?(x),然后令 f?(-c)=0 及一元二次方程根与系数的关系可解决第(Ⅰ)小题; 而解答第(Ⅱ)小题须对 k 与 c 进行分类讨论进行解答.

k(x2+c)-2x(kx+1) -kx2-2x+ck 【解】 (Ⅰ)f?(x)= = , (x2+c)2 (x2+c)2 2 由题意知 f?(-c)=0,即得 c2k-2c-ck=0,即 c=1+k ∵c≠0,∴k≠0.由 f?(0)=0,得-kx2-2x+ck=0, 由韦达定理知另一个极值点为 x=1.

(*)

2 (Ⅱ)由(*)式得 c=1+k,当 c>1 时,k>0;当 0<c<1 时,k<-2. (ⅰ)当 k>0 时,f(x)在(-∞,-c)和(1,+∞)内是减函数,在(-c,1)内是增函数. k+1 k -kc+1 -k2 f(1)= =2>0,m=f(-c)= 2 = <0, c+1 c +c 2(k+2) k k2 由 M-m=2+ ≥1 及 k>0,解得 k≥ 2. 2(k+2) (ⅱ)当 k<-2 时,f(x)在(-∞,-c)和(1,+∞)内是增函数,在(-c,1)内是减函数. -k2 k+1 k -k2 (k+1)2+1 k ∴M=f(1)= >0,m= =2<0,而 M-m= -2=1- ≥1 恒成立. 2(k+2) c+1 2(k+2) k+2 综上可知,所求 k 的取值范围为(-∞,-2)∪? 2,+∞). 【点拨】 第(Ⅰ)小题解答的关键是利用一元二次方程的韦达定理.第(Ⅱ)小题的是与极值相关的解决 恒成立问题,因此求函数在定义域上的极值是解答的关键. 题型四 求解函数的最值问题 函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得结果,因此函数在闭区间[a,b]上的端 点函数值一定不是极值,但它可能是函数的最值.同时,函数的极值不一定是函数的最值,最值也不一定是 极值.另外求解函数的最值问题,还可以直接结合函数的单调性来求解.利用导数求解函数最值问题的主要 题型:(1)根据函数的解析式求函数的最大值;(2)根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题. 【例 6】 (08 浙江高考)已知 a 是实数,函数 f(x)=x2(x-a).(Ⅰ)略; (Ⅱ)求 f(x)在区间[0,2]上的最大 值. 【分析】 首先求函数 f?(x),再解方程 f?(x)=0,得两个根,而两根含有参数,但不知两根的大小,因 此须分类讨论讨论函数 f(x)的单调区间,进而确定 f(x)在给定区间上的最大值. 2a 【解】 (Ⅱ)f?(x)=3x2-2ax.令 f?(x)=0,解得 x1=0,x2= 3 . 2a 当 3 ≤0,即 a≤0 时,f(x)在[0,2]上单调递增,从而 f(x)max=f(2)=8-4a. 2a 当 3 ≥2,时,即 a≥3 时,f(x)在[0,2]上单调递减,从而 f(x)max=f(0)=0. 2a 2a 2a 当 0< 3 <2,即 0<a<3,f(x)在[0, 3 ]上单调递减,在[ 3 ,2]上单调递增, ? 8-4a 0<a≤2 从而 f(x)max=? , 2<a<3 ? 0 ? 8-4a a≤2 综上所述,f(x)max=? . a>2 ? 0 【点评】 本题由于函数解析式中含有参数,因此方程 f?(x)=0 的根含有参数,在确定函数单调区间 时要注意对参数 a 的讨论.本题的解答不是通过先确定函数在区间上的极值, 再比较其与区间端点值的大小 来求解的,而是利用函数单调性来求函数在各单调区间上的最值,再比较这些最值大小来求解的. 题型五 导数与数学建模的问题 此类试题主要是利用函数、不等式与导数相结合设计实际应用问题,旨在考查考生在数学应用方面阅 读、理解陈述的材料,能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,这是高考中的一个热 点. 【例 7】 (08· 湖北)水库的蓄水量随时间而变化,现用 t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历

年数据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为

? (-t2+14t-40)e4t+50 0<t≤10 V(t)=? , ? 4(t-10)(3t-41)+50 10<t≤12
(Ⅰ)该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期.以 i-1<t<i 表示第 1 月份(i=1,2,…,12),同一年 内哪几个月份是枯水期? (Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取 e=2.7 计算). 【分析】 根据解答分段函数“对号入座”的解题原则,分别利用两段函数表达式建立不等式可求得第 (Ⅰ)小题;而第(Ⅱ)小题则须先求函数 V?(t),然后利用导数与函数最值关系求解. 1 2 t 【解】 (Ⅰ)①当 0<t≤10 时,V(t)=(-t2+14t-40)e4 +50<50,化简得 t2-14t+40>0, 0 解得 t<4 或 t>10,又 0<t≤10,故 0<t<4. 0 ②当 10<t≤12 时,V(t)=4(t-10)(3t-41)+50<50,化简得(t-10)(3t-41)<0, 9 41 0 解得 10<t< 3 ,又 10<t≤12,故 10<t≤12. 3 综合得 0<t<4,或 10<t≤12;故知枯水期为 1 月,2 月,3 月,11 月,12 月共 5 个月. 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知:V(t)的最大值只能在(4,10)内达到. 1 1 8 1 3 1 t t 由 V?(t)=e4 (-4t+2t+4)=-4e4 (t+2)(t-8) 令 V?(t)=0,解得 t=8(t=-2 舍去). 当 t 变化时,V?(t)与 V(t)的变化情况如下表: t V?(t) V(t) (4,8) + ↗ 8 0 极大值 (8,10) - ↘

1

由上表,V(t)在 t=8 时取得最大值 V(8)=8e2+50=108.32(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米. 【点评】 本题第(Ⅰ)主要是根据题设条件给出的函数建立不等式,再解不等式,但要注意分段求解. 第(Ⅱ)主要是通过求导取得极值,最后再求得最值的,但要注意要根据第(Ⅰ)确定函数定义域.

【例 8】

(2006 年福建卷)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y(升)关于行

1 3 驶速度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:y=128000x2-80x+8 (0<x≤120).已知甲、乙两地相距 100 千米.(Ⅰ )当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(Ⅱ )当汽车以多大的 速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 【分析】 第(Ⅰ)小题直接根据所给函数的解析式进行计算;第(Ⅱ)小题须根据条件建立耗油量 为 h(x)关于行驶速度 x 的函数关系式,再利用导数的知识进行解答. 100 【解】 (I)当 x=40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 40 =2.5 小时, 1 3 要耗没(128000×403-80×40+8)×2.5=17.5(升). 答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升. 100 (II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 x 小时,设耗油量为 h(x)升,

1 3 100 1 800 15 依题意得 h(x)=(128000x3-80x+8)· x =1280x2+ x - 4 (0<x≤120), x 800 x3-803 h?(x)=640- x2 = 640x2 (0<x≤120),令 h?(x)=0 得 x=80, 当 x∈ (0,80)时,h?(x)<0,h(x)是减函数;当 x∈ (80,120)时,h?(x)>0,h(x)是增函数, ∴ x=80 时,h(x)取到极小值 h(80)=11.25,因为 h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值. 当 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升. 【点评】 解答类似于本题的问题时,可从给定的数量关系中选取一个恰当的变量,建立函数模型, 然后根据目标函数的结构特征(非常规函数),确定运用导数最值理论去解决问题.

【专题训练】
一、选择题 1.函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)有两个极值点 x1,x2,则 x1· 2= x A.9 B.-9 C.1 D.-1 ( )

1 2.函数 f(x)=3x3+ax+1 在(-∞,-1)上为增函数,在(-1,1)上为减函数,则 f(1)为( 7 A.3 B.1 1 C.3 D.-1 ( 1 D.0<a< 2 )



3.函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为 A.0≤a<1 B.0<a<1 C.-1<a<1

4.已知函数 f(x)=x2(ax+b)(a,b∈ R)在 x=2 时有极值,其图象在点(1,(1))处的切线与直线 3x+y=0 平 行,则函数 f(x)的单调减区间为 ( ) A.(-∞,0) B.(0,2) C.(2,+∞) D.(-∞,+∞) 3 5.函数 y=f(x)在定义域(-2,3)内可导,其图像如图所示.记 y=f(x)的导函数为 y=f?(x),则不等式 f?(x)≤0 的解集为 1 A.[-3,1]∪ [2,3) 1 4 8 B.[-1,2]∪3,3] [ 3 1 C.[-2,2]∪ [1,2) ( )

3 1 1 4 4 D.(-2,-3]∪2,3]∪ ,3) [ [3 ? 6.设函数 f(x)=sin(ωx+6)-1(ω>0)的导数 f?(x)的最大值为 3,则 f(x)的图象的一条对称轴的方程是 ( ? A.x=9 ? B.x=6 ? C.x=3 ) ? D.x=2

7.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f?(x)在(a,b)内的图象如下图所示.则函数 f(x)在开区间(a,b) 内有极小值点 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 8.函数 f(x)(x∈ R)的图象如图所示,则函数 g(x)=f(logax)(0<a<1)的单调减区间是( 1 A.[0,2] 1 B.(-∞,0)∪ ,+∞) [2 ) )

C.[ a,1] D.[ a, a+1] 8.函数 y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数( ? 3? A.(2, 2 ) 3? 5? C.( 2 , 3 ) B.(π,2π)

D.(2π,3π)

1 9.下列图象中,有一个是函数 f(x)= x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈ R,a≠0)的导函数 f?(x)的图象,则 f(-1)等 3 于 ( )

1 A. 3

1 B.- 3

7 C. 3

1 5 D.- 或 3 3

11.已知对任意实数 x ,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时,f?(x)>0,g?(x)>0,则 x<0 时 ( ) A.f?(x)>0,g?(x)>0 B.f?(x)>0,g?(x)<0 C.f?(x)<0,g?(x)>0 D.f?(x)<0,g?(x)<0 12.若函数 y=f(x)在 R 上可导,且满足不等式 xf?(x)>-f(x)恒成立,且常数 a,b 满足 a>b,则下列不等 式一定成立的是 ( ) A.af(b)>bf(a) B.af(a)>bf(b) C.af(a)<bf(b) D.af(b)<bf(a) 二、填空题 13.右图是一个三次多项式函数 f(x)的导函数 f?(x)的图象, 则当 x=______时,函数取得最小值. 1 a 14.已知函数 f(x)=3x3-2x2+2x+1,且 x1,x2 是 f(x)的两

个极值点,0<x1<1<x2<3,则 a 的取值范围_________. 15.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 在区间[-1,2]上是减函数,那么 b+c 最大值为___________. 16.曲线 y=2x4 上的点到直线 y=-x-1 的距离的最小值为____________.

三、解答题 17.设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1. (Ⅰ )求f(x)的单调区间; (Ⅱ )讨论f(x)的极值.

18.已知定义在 R 上的函数 f(x)=x2(ax-3),其中 a 为常数.(Ⅰ x=1 是函数 f(x)的一个极值点,求 a 的值; )若 (Ⅱ )若函数 f(x)在区间(-1,0)上是增函数,求 a 的取值范围.

19. 已知函数 f(x)=x3+bx2+ax+d 的图象过点 P (0, , 2) 且在点 M (-1, -1) 处的切线方程为 6x-y+7=0. ( f ) (Ⅰ )求函数 y=f(x)的解析式; (Ⅱ )求函数 y=f(x)的单调区间.

20.设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立,求实数 a 的取值范围.

21.已知函数 f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m. (Ⅰ )求 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值 h(t); (Ⅱ )是否存在实数 m,使得 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出 m 的取值范围; ,若不存在,说明理由。

22.已知函数 f(x)=logax+2x 和 g(x)=2loga(2x+t-2)+2x(a>0,a≠1,t∈ R)的图象在 x=2 处的切线互相平 行. (Ⅰ t 的值; )求 (Ⅱ F(x)=g(x)-f(x),当 x∈ )设 [1,4]时,F(x)≥2 恒成立,求 a 的取值范围.

【专题训练】参考答案 一、选择题 1.D 【解析】f?(x)=3x2+2ax+3,则 x1· 2=1. x 1 1 2.C 【解析】∵ f?(x)=x2+a,又 f?(-1)=0,∴ a=-1,f(1)=3-1+1=3. 3.B 【解析】f?(x)=3x2-3a,由于 f(x)在(0,1)内有最小值,故 a>0,且 f?(x)=0 的解为 x1= a,x2= - a,则 a∈ (0,1),∴ 0<a<1.

4.B

2 2=0 ? 3a× +2b× ? a=1 ? 【解析】∵ f(x)=ax +bx ,f′(x)=3ax +2bx,∴ ,即? ,令 f?(x)=3x2-6x ? 3a+2b=-3 ? b=-3
3 2 2

2

<0,则 0<x<2,即选 B. 5.A 【解析】由条件 f?(x)≤0 知,选择 f(x)图象的下降区间即为解. 2 ? ? ? ? ? 6.A 【解析】f?(x)=ωcos(ωx+6),则 ω=3,则由 3x+6=2kπ+2,即 x=3kπ+9(k∈ Z),由此可知 x=9为 f(x)的图象的一条对称轴. 7.A 【解析】f?(x)的图象与 x 轴有 A、B、O、C 四个交点. 其中在 A、C 处 f?(x)的值都是由正变负,相应 的函数值则由增变减,故 f(x)点 A、C 处应取得极大值;在 B 处 f?(x)的值由负变正,相应的函数值则由 减变增, f(x)在点 B 处应取得极小值.点 O 处 f?(x)的值没有正负交替的变化, 故 故不是极值点, 这就是说, 点 B 是唯一的极值点. 1 8. 【解析】 C 因为 u=logax(0<a<1)在 (0, +∞) 上是减函数, 根据函数的单调性的复合规律得 0≤logax≤2, 即 a≤a≤1,故选 C. 8.B 【解析】y?=(cosx-xsinx)=-xsinx,令-xsinx>0,则 xsinx<0,各选项中 x 均为正,只须 sinx<0, 故 x∈ (π,2π). 9.B 【解析】∵ f?(x)=x2+2ax+a2-1=(x+a)2-1,又 a≠0,∴ f′(x)的图象为第三个,知 f?(0)=0,故 a 1 1 =-1,f(-1)=- +a+1=- . 3 3 11.B 【解析】依题意得 f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,故在(-∞,0)上是增函数,即当 x<0 时,f?(x)>0;g(x)是偶函数,在(0,+∞)上是增函数,故在(-∞,0)上是减函数,即当 x<0 时,g?(x) <0. 12.B 【解析】令 F(x)=xf(x),则 F?(x)=xf?(x)+f(x),由 xf?(x)>-f(x),得 xf?(x)+f(x)>0,即则 F?(x)>0, 所以 f(x)在 R 上为递增函数.因为 a>b,所以 af(a)>bf(b). 二、填空题 13.4 【解析】根据导函数对应方程 f?(x)=0 的根与极值的关系及极值的定义易得结果. 11 ? f?(1)=1-ax+2<0 11 14.3<a< 3 【解析】f?(x)=x2+ax+2,由题知:? ,解得 3<a< 3 . ? f?(3)=9-3a+2>0 15 15.- 2 【解析】f?(x)=3x2+2bx+c ∵ f(x)在[-1,2]上减,∴ f?(x)在[-1,2]上非正. 由?
? f?(-1)≤0 ? f?(2)≤0

,即?

? 3-2b+c≤0

? 12+4b+c≤0

15 ,∴ 15+2(b+c)≤0,∴ b+c≤- 2 .

5 16.16 2 【解析】设直线 L 平行于直线 y=-x-1,且与曲线 y=2x4 相切于点 P(x0,y0),则所求最小值 1 1 |-2+8+1| 1 1 5 d,即点 P 到直线 y=-x-1 的距离,y?=8x3=-1,∴0=-2,x0=8,∴ x d= =16 2. 2 三、解答题 17. 【解】 由已知得f?(x)=6x[x-(a-1)],令f?(x)=0,解得 x1=0,x2=a-1,. (Ⅰ )当 a=1 时,f?(x)=6x2,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增 当 a>1 时,f?(x)=6x[x-(a-1)],f?(x),f(x)随 x 的变化情况如下表: x 0 (-∞,0) (0,a-1) a-1 f?(x) f(x) + ↗ 0 极大值

?

(a-1,+∞)

0 极小值

?




从上表可知,函数 f(x)在(-∞,0)上单调递增;在(0,a-1)上单调递减;在(a-1,+∞)上单调递增.

(Ⅱ )由(Ⅰ )知,当 a=1 时,函数 f(x)没有极值.;当 a>1 时,函数 f(x)在 x=0 处取得极大值,在 x =a-1 处取得极小值 1-(a-1)3. 18. 【解】 (Ⅰ )f(x)=ax3-3x,f?(x)=3ax2-6x=3x(ax-2), ∵ x=1 是 f(x)的一个极值点,∴ f?(1)=0,∴ a=2; 2 (Ⅱ 当 a=0 时,f(x)=-3x 在区间(-1,0)上是增函数,∴ )① a=0 符合题意; 2 2 ② a≠0 时,f?(x)=3ax(x-a),由 f?(x)=0,得 x=0,x=a 当 当 a>0 时,对任意 x∈ (-1,0),f?(x)>0,∴ a>0 符合题意; 2 2 当 a<0 时,当 x∈ ,0)时,由 f?(x)>0,得a≤-1,∴ (a -2≤a<0 符合题意; 综上所述,a≥-2. 19. 【解】 )由 f(x)的图象经过 P(0,2) (Ⅰ ,知 d=2,则 3 2 2 f(x)=x +bx +cx+2,f?(x)=3x +2bx+c, 由在 M(-1,f(-1))处的切线方程是 6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即 f(-1)=1,且 f?(-1)=6,
? 3-2b+c=6 ? 2b-c=3 ? ∴ -1+b-c+2=1,即? b-c=0 ,解得 b=c=-3, ? ?

故所求的解析式是 f(x)=x3-3x2-3x+2. (Ⅱ )f?(x)=3x2-6x-3,令 3x2-6x-3=0,即 x2-2x-1=0, 解得 x1=1- 2,x2=1+ 2,当 x<1- 2或 x>1+ 2时,f?(x)>0; 当 1- 2<x<1+ 2时,f?(x)<0, 故 f(x)=x3-3x2-3x+2 在(-∞,1- 2)内是增函数,在(1- 2,1+ 2)内是减函数,在(1+ 2,+∞)内是增函 数. 20. 【解】令 g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,对函数 g(x)求导数:g′ (x)=ln(x+1)+1-a a-1 令 g′ (x)=0,解得 x=e -1, (1)当 a≤1 时,对所有 x>0,g′ (x)>0,所以 g(x)在[0,+∞)上是增函数, 又 g(0)=0,所以对 x≥0,都有 g(x)≥g(0), 即当 a≤1 时,对于所有 x≥0,都有 f(x)≥ax. - - (2)当 a>1 时,对于 0<x<ea 1-1,g′ (x)<0,所以 g(x)在(0,ea 1-1)是减函数, - 又 g(0)=0,所以对 0<x<ea 1-1,都有 g(x)<g(0), 即当 a>1 时,不是对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立. 综上,a 的取值范围是(-∞,1]. 21. 【解】 (I)∵ f(x)是二次函数,且 f(x)<0 的解集是(0,5),∴ 可设 f(x)=ax(x-5)(a>0), ∴ f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 f(-1)=6a, 由已知,得 6a=12,∴ a=2,∴ f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈ R). 37 (II)方程 f(x)+ x =0 等价于方程 2x3-10x2+37=0, 设 h(x)=2x3-10x2+37,则 h?(x)=6x2-20x=2x(3x-10), 10 10 当 x∈ (0, 3 )时,h?(x)<0,h(x)是减函数;当 x∈ 3 ,+∞)时,h?(x)>0,h(x)是增函数, ( 10 1 ∵ h(3)=1>0,h( 3 )=-27<0,h(4)=5>0, 10 10 ∴ 方程 h(x)=0 在区间(3, 3 )、( 3 ,4)内分别有惟一实数根,而在(0,3),(4,+∞)内 没有实数根,

37 所以存在惟一的自然数 m=3,使得方程 f(x)+ x =0 在区间(m,m+1)内有且只有两个 不同的实数根. 1 4 22.解析:(Ⅰ )f?(x)=x logae+2,g?(x)= log e+2, 2x+t-2 a ∵ 函数 f(x)和 g(x)的图象在 x=2 处的切线互相平行, 1 4 f?(2)=g?(2),∴logae= log e,t=6. 2 t+2 a (2x+4)2 (Ⅱ t=6,∴ )∵ F(x)=g(x)-f(x)=2loga(2x+4)-logax=loga x ,x∈ [1,4], 2 (2x+4) 16 16 4(x-2)(x+2) 令 h(x)= x =4x+ x ,x∈ [1,4],∴ h?(x)=4- x2 = ,x∈ [1,4], x2 ∴ 1≤x<2 时,h?(x)<0,当 2<x≤4 时,h?(x)>0, 当 ∴ h(x)在?1,2)是单调减函数,在(2,4?是单调增函数, ∴ min=h(2)=32,h?(x)max=h(1)=h(4)=36, h?(x) ∴ 0<a<1 时,有 F(x) min=loga36,当 a>1 时,有 F(x) max=loga32. 当 ∵ x∈ 当 [1,4]时,F(x)≥2 恒成立,∴ min≥2, F(x) ∴ 满足条件的 a 的值满足下列不等式组?
? 0<a<1 ? loga36≥2

① ? ,或

? a>1 ? loga32≥2



不等式组① 的解集为空集,解不等式组② 1<a≤4 2, 得 综上所述,满足条件的 a 的取值范围是:1<a≤4 2.


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