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高中数学选修2-2(人教B版)第三章数系的扩充与复数3.1知识点总结含同步练习题及答案

高中数学选修2-2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 数系的扩充与复数 3.1 数系的扩充和复数的概念

一、学习任务 1. 了解数系的扩充过程;理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件. 2. 了解复数的几何意义;了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

二、知识清单
复数的概念 复数的几何意义 共轭复数

三、知识讲解
1.复数的概念 描述: 复数的概念 为了把数的范围进一步扩充,人们引入了一个新的数 i,叫虚数单位,且规定:① i 2 = ?1 ;② i 可与实数进行四则运算,且原有的加、乘运算律仍成立.

我们把集合 C = {a + bi | a, b ∈ R} 中的数,即形如 a + bi(a ,b ∈ R )的数叫做复 数(complex number),其中 i 叫做虚数单位(imaginary unit).全体复数所成的集合 C 叫 做复数集(set of complex numbers). 复数通常用字母 z 表示,即 z = a + bi (a ,b ∈ R ),这一表示形式叫做复数的代数形式 (algebraic form of complex number).对于复数 z = a + bi ,都有 a ,b ∈ R ,其中的 a 与 b 分别叫做复数 z 的实部(real part)与虚部(imaginary part). 对于复数 a + bi,当且仅当 b = 0 时,它是实数;当且仅当 a = b = 0 时,它是实数 0 ;当 b ≠ 0 时,叫做虚数;当 a = 0 且 b ≠ 0 时,叫做纯虚数. 复数相等的充要条件 在复数集 C = {a + bi | a, b ∈ R} 中任取两个数 a + bi,c + di(a ,b ,c ,d ∈ R ), a + bi 与 c + di 相等的充要条件是 a = c 且 b = d . 复数的分类 复数 z = a + bi(a ,b ∈ R )可以分类如下: ? ? 实数(b = 0) 复数a + bi(a, b ∈ R) ? 纯虚数(a = 0) ? 虚数(b ≠ 0) { ? 非纯虚数(a ≠ 0)

例题: 下列命题中,正确的个数是( ) ①若 x, y ∈ C,则 x + yi = 1 + i 的充要条件是 x = y = 1 ; ②若 a, b ∈ R,则 a + i > b + i ; ③若 x 2 + y 2 = 0 ,则 x = 0,y = 0. A.0 B.1 C.2 D.3 解:A ①由于 x, y ∈ C,所以 x + yi 不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,故①不 正确; ②由于两个虚数不能比较大小,所以②不正确; ③当 x = 1,y = i 时,x 2 + y 2 = 0 成立,所以③不正确. 已知 z1 = ?3 ? 4i,z2 = (n2 ? 3m ? 1) + (n2 ? m ? 6) i (m, n ∈ R),若 z1 = z2 ,则 nm =______. 解:4

2 根据复数相等的充要条件,得 { n ? 3m ? 1 = ?3, 整理得 2m = 4 ,所以 m = 2 ,将其代入 2

n2

n ? m ? 6 = ?4, ? 3m ? 1 = ?3,得 n2 = 4,所以 n = ±2 ,所以 nm = (±2)2 = 4 .

实数 k 为何值时,复数 (1 + i)k2 ? (3 + 5i)k ? 2(2 + 3i) 分别是 (1)实数;(2)虚数; (3)纯虚数;(4)零. 解:由题复数 z 可整理为 z = (k2 ? 3k ? 4) + (k2 ? 5k ? 6)i. (1)当 k2 ? 5k ? 6 = 0 时,z ∈ R ,即 k = 6 或 k = ?1 . (2)当 k2 ? 5k ? 6 ≠ 0 时,z 是虚数,即 k ≠ 6 且 k ≠ ?1 .
2 (3)当 { k ? 3k ? 4 = 0, 时, z 是纯虚数,解得 k = 4. 2

k ? 5k ? 6 ≠ 0, 2 (4)当 { k ? 3k ? 4 = 0, 时,z = 0,解得 k = ?1 . k2 ? 5k ? 6 = 0,

2.复数的几何意义 描述: 根据复数相等的定义,任何一个复数 z = a + bi,都可以由一个有序实数对 (a, b) 唯一确定.因 为有序实数对 (a, b) 与平面直角坐标系中的点一一对应,所以复数集与平面直角坐标系中的点集 之间可以建立一一对应. 点 Z 的横坐标是 a ,纵坐标是 b ,复数 z = a + bi 可用点 Z (a, b) 表示,这个建立了直角坐标系 来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数; 除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.

设复平面内的点 Z 表示复数 z = a + bi ,连结 OZ ,显然向量 OZ 由点 Z 唯一确定;反过

?→ ?

?→ ?

来,点 Z (相对于原点来说)也可以由向量 OZ 唯一确定.因此,复数集 C 与复平面内的向 量所成的集合也是一一对应的(实数 0 与零向量对应).我们常把复数 z = a + bi 说成点 Z 或 说成向量 OZ ,并且规定,相等的向量表示同一个复数.

?→ ?

?→ ?

设复数 a + bi(a ,b ∈ R )对应的向量 OZ ,则向量 OZ 的长度叫做复数 a + bi ? ? ? ? ? ? 的模(或绝对值),记作 |a + bi| .计算公式为 |a + bi| = √a2 + b 2 ,如果b = 0 ,则 |a + bi| = |a|. 例题: 设复数 z = a + bi (a, b ∈ R) 和复平面上的点 Z (a, b) 对应,求 a ,b 满足什么条件才能使点 Z (a, b) 分别位于: (1)实轴上; (2)虚轴上(不含原点); (3)上半平面(含实轴); (4)左半平面(不含虚轴). 解:(1)当 b = 0 时,z = a ∈ R,则 Z 在实轴上. (2)当 a = 0 且 b ≠ 0 时,z = bi (b ≠ 0) ,则 Z 在虚轴上(不含原点). (3)当 b ? 0 时,Z 位于上半平面(含实轴). (4)当 a < 0 时, Z 位于左半平面(不含虚轴). 复数 z =

?→ ?

?→ ?

A.第一象限 解:D

3 ? 4i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( 5
B.第二象限 C.第三象限

) D.第四象限

复数 z = a + bi =

3 4i 3 4 ,可得 a = ,b = ? ,所以位于第四象限. ? 5 5 5 5

1 ? √2 i 的模,并比较模的大小. 2 ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 2 3 ? ? ? ? ? ? 1 2 2 解:|z1 | = √3 + 4 = 5 ,|z2 | = √(? ) + (?√2 )2 = . 2 2 3 又 5 > ,所以 |z1 | > |z2 | . 2
求复数 z1 = 3 + 4i 及 z2 = ? 设 z 为纯虚数,且 |z ? 1| = | ? 1 + i| ,求复数 z . 解:因为 z 为纯虚数,所以设 z = ai (a ∈ R且a ≠ 0 ),则

? ? ? ? ? |z ? 1| = |ai ? 1| = √a2 + 1,
又 | ? 1 + i| = √2 ,由 |z ? 1| = | ? 1 + i| ,得

? ? ? ? √? a2 + 1 = √2 ,
解得 a = ±1 ,所以 z = ±i .

3.共轭复数 描述: 一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数(conjugate complex number).记复数 z = a + bi 的共轭复数为 z ? = a ? bi .虚部不等于 0 的两个共轭 复数也叫做共轭虚数.任一实数的共轭复数仍是它本身. 两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方,即 z ? z ? = |z| 2 = |z ?| 2 . 例题: 已知 x, y ∈ R,若 x 2 + 2x + (2y + x)i 和 3x ? (y + 1)i 是共轭复数,求复数 z = x + yi 和 ?. z
2 解:根据共轭复数的定义得 { x + 2x = 3x,

解得 { x = 0, 或 { x = 1,

2y + x = y + 1.

所以 z = i, z ? = ?i 或 z = 1,z ? = 1. 设 z 的共轭复数为 z ? ,若 z + z ? = 4 ,z ? z ? = 8 ,则

y = 1,

y = 0.

A.i B.?i C.±1 解:D 设 z = x + yi (x, y ∈ R),则 z ? = x ? yi . 2 2 由题意知 2x = 4 且 x + y = 8 ,所以 x = 2,y = ±2,所以

? z 等于( z D.±i



(2 ± 2i)2 ? ?2 z z = = = ±i. ? z z?z 8

四、课后作业

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1. 复数 i ? 2 的虚部是 ( A.i
答案: C

)
B.?2 C.1 D.2

2. 复数 4 ? 3a ? a2 i 与复数 a2 + 4ai 相等,则实数 a 的值为 ( A.1
答案: C

)
D.0 或 ?4

B.1 或 ?4

C.?4

3. 在复平面内,复数 6 + 5i , ?2 + 3i 对应的点分别为 A , B .若 C 为线段 AB 的中点,则点

C 对应的复数是 (
A.4 + 8i
答案: C 解析: 据题意可得复数

)
B.8 + 2i C.2 + 4i D.4 + i

6 + 5i ,?2 + 3i 对应点的坐标分别为 A (6, 5) , B (?2, 3) ,故其中点坐标为 C (2, 4) ,点 C 对应的复数为 2 + 4i .

4. 已知 0 < a < 2,复数 z 的实部为 a ,虚部为 1 ,则 |z| 的取值范围是 ( A.(1, 5)
答案: C 解析:

)
D.(1, √3 )

B.(1, 3)

C.(1, √5 )

? ? ? ? ? |z| = √a2 + 1 ,而 0 < a < 2,所以 1 < |z| < √5 .

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