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椭圆性质2 椭圆及其性质的研究_图文

椭圆的简单几何性质(二 椭圆的简单几何性质 二 )

直线与椭圆的位置关系

1、直线与椭圆的位置关系 、

种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)

2、 直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法 Ax+By+C=0
由方程组:

x2 y2 + 2 =1 2 a b

mx2+nx+p=0(m≠ 0) = n2-4mp >0 =0 <0
方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交点 相交 相切 相离

3、弦长公式: 、弦长公式: 若直线AB与椭圆相交于 两点, 若直线 与椭圆相交于 A( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ) 两点,则

1 AB = 1 + k x1 ? x2 = 1 + 2 y1 ? y2 k
2

关于弦长计算: 关于弦长计算:直线与二次曲线相交所得的弦长 直线的斜率为 k ,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为

A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,则它的弦长 则它的弦长

1 ?(x1 + x2 )2 ? 4x1x2 ? = 1 + 2 ? y1 ? y2 AB = 1+ k x1 ? x2 = (1+ k ) ? ? k
2 2

注 :实质上是由两点间距离公式推导 出来的 只是 用了 交点坐标 实质上是由两点间距离公式推导出来的 只是用了 实质上是由两点间距离公式推导 出来的,只是 用了交点坐标 设而不求的技巧而已 因为 设而不求的技巧 而已(因为 y1 ? y2 = k ( x1 ? x2 ) , 运用韦达定理来进行 而已 计算. 计算 当直线斜率不存在是,则 当直线斜率不存在是 则 AB = y1 ? y2 .

例 1:
x2 y2 + = 1 ,直线 4x ? 5 y + 40 = 0 ,椭圆上是 已知椭圆 25 9 否存在一点, 的距离最小?最小距离是多少? 否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?

分析: 是椭圆上任一点, 分析:设 P ( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 的距离的表达式. 试求点 P 到直线 4 x ? 5 y + 40 = 0 的距离的表达式.

42 + 52 尝试遇到困难怎么办? 尝试遇到困难怎么办?
及椭圆, 作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考 观察图形,数形结合思考.

d=

4 x0 ? 5 y0 + 40

=

4 x0 ? 5 y0 + 40


x0 2 25
m

41
l

+

y0 2 9
m

=1

x 2 y2 练习:直线y=x+1 与椭圆 + = 1 练习:直线 5 m

恒有公共点, 恒有公共点

的取值范围。 求m的取值范围。 的取值范围

变式: 变式:
x 2 y2 + =1 直线y=kx+1 与椭圆 直线 5 m

恒有公共点, 恒有公共点

的取值范围。 求m的取值范围。 的取值范围

x + y 2 = 1 的两个焦点坐标 F1 ( ? 1, 0 ), F 2 (1, 0 ) 解:∵椭圆 2

x2 y2 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 + = 1 的左、右 的左、 2 1 π 焦点, 的直线, 的面积. 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线,求 △F1 AB 的面积. 4 2

∴直线 AB 的方程为 y = x ?1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
?y = x ?1 ? 由 ? x2 消去 y 并化简整理得 2 + y =1 ? ? 2
2

3x ? 4x = 0

4 ∴ AB = ( x1 ? x2 )2 + ( y1 ? y2 )2 = 2( x1 ? x2 )2 = 2 ?( x1 + x2 )2 ? 4 x1 x2 ? = ? ? 3 2

4 ∴ x1 + x 2 = , x1 x 2 = 0 3
0 ? ( ?1) + 1 2

∵点 F1 到直线 AB 的距离 d =
∴ S F1 AB =

= 2

1 1 4 4 4 ? d ? AB = ? 2 ? 2= . 的面积等于 答: △F1 AB 的面积等于 2 2 3 3 3

x2 y2 例3. M ( x0,y0 )是椭圆 2 + 2 = 1上一点, F1 ( ? c,)、F2 (c,) 上一点, 0 0 设 a b c 分别是椭圆两焦点, 分别是椭圆两焦点, e = 为离心率 . y a l1 求证: MF MF 求证: 1 = a + ex0, 2 = a ? ex0 . M

l

a2 证明: 0 证明:与 F1 ( ? c,)对应的准线为 x = ? , c 2 2 a a MF1 = ed1 = e( x0 + ) = ex0 + e ? = ex0 + a, c c a2 0 又与F2 (c,)对应的准线为 x = , c

F1 O F2

x

a2 a2 MF2 = ed 2 = e( ? x0 ) = e ? ? ex0 = a ? ex0 c c

M 注:MF1 = a + ex0, F2 = a ? ex0 是椭圆上的点到焦点的距
焦半径。 离,常把它们叫做焦半径。 常把它们叫做焦半径

例4:求椭圆 :

x 2 y2 + =1 4 9

上一点P,使得点 与椭圆 上一点 使得点P与椭圆 使得点

两焦点连线互相垂直. 两焦点连线互相垂直

引申:当点 与两焦点连线成钝角时 引申 当点P与两焦点连线成钝角时 求P点的横坐标 当点 与两焦点连线成钝角时,求 点的横坐标 的取值范围. 的取值范围

x y 思考: 思考: 椭圆 + = 1 的焦点为F 、F2 ,点 P 为其上的 1 9 4 动点, 为钝角时, 则点P 动点, ∠F PF2 为钝角时, 当 1 则点 P 的横坐标的取值范围 ____________. 是____________.
5 5 P(x, ) 则 x, PF2 |= a + ex = 3 + | x 设 P( ,y), | PF1 |= a ? ex = 3 ? = = 3 3 5 2 x ?1 2 2 2 | PF1 | + | PF2 | ? | F1F2 | 由余弦定理, 由余弦定理,有 cos∠F1PF2 = ∠ = 9 5 2 2 | PF1 | ? | PF2 | 2(9 ? x ) 9 5 2 x ?1 Q∠FPF2为钝角∴?1 < cos∠F1PF2 < 0 ,即?1 < 9 <0 1 2 5x 2(9 ? ) 9 35 35 解 得 <x< . 之? 法二 5 5

2

2

法二:(数形结合) 法二:(数形结合)以 F1 F2 为直径的圆交椭圆于 P1,P2 :(数形结合

? x2 + y2 = 5 ? 2 2 ∴ xP1 < xP < xP2,而P1、P2 的坐标可由 ? x y =1 ? + 4 ? 9

3 5 3 5 解得x P1 = ? ,x P2 = 5 5

练习巩固: 练习巩固: 巩固
x2 y2 1.过椭圆 引一条弦, 1.过椭圆 + = 1 内一点 M (2,1) 引一条弦, 使弦被点 M 16 4 平分,求这条弦所在的直线方程. 平分,求这条弦所在的直线方程. x + 2 y ? 4 = 0 x2 y2 2.椭圆 2. 椭圆 + = 1 上的点到直线 x + 2 y ? 2 = 0 最大距离 16 4 是________. 3.已知椭圆的焦点 3.已知椭圆的焦点 F1 ( ?3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x ? y + 9 = 0 有 2 2 公共点,则其中长轴最短的椭圆方程为______. 公共点,则其中长轴最短的椭圆方程为______.

10

x y + =1 45 36

x2 y2 例5. M ( x0,y0 )是椭圆 2 + 2 = 1上一点, F1 ( ? c,)、F2 (c,) 上一点, 0 0 设 a b c 分别是椭圆两焦点, 分别是椭圆两焦点, e = 为离心率 . y a l1 求证: MF MF 求证: 1 = a + ex0, 2 = a ? ex0 . M

l

a2 证明: 0 证明:与 F1 ( ? c,)对应的准线为 x = ? , c 2 2 a a MF1 = ed1 = e( x0 + ) = ex0 + e ? = ex0 + a, c c a2 0 又与F2 (c,)对应的准线为 x = , c

F1 O F2

x

a2 a2 MF2 = ed 2 = e( ? x0 ) = e ? ? ex0 = a ? ex0 c c

M 注:MF1 = a + ex0, F2 = a ? ex0 是椭圆上的点到焦点的距
焦半径。 离,常把它们叫做焦半径。 常把它们叫做焦半径

小结
1、判断直线与椭圆位置关系的方法: 判断直线与椭圆位置关系的方法: 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 △= 0 △> 0 弦长公式: 2、弦长公式: 相离 相切 相交

与椭圆C 设直线 l与椭圆 相交于 x1 ,y1) ,B( x2,y2 ), 与椭圆 相交于A( , 则 |AB|= =

1 + k2 | x1 ? x2 | , 其中 k 是直线的斜率

弦中点问题: 点差法” 3、处理弦中点问题:“点差法”、“韦达定 理”

x2 y2 3:已知椭圆 思考 3:已知椭圆 + = 1 的焦点为 F1 , F2 ,在 9 5 直线 l : x + y ? 6 = 0 上找一点 M ,求以 F1 , F2 为 焦点, 且长轴最短的椭圆方程. 焦点,通过点 M 且长轴最短的椭圆方程. 2 2

分析:∵椭圆的焦点为 ( ?2, 0),(2, 0) 分析:

x y + =1 20 16

怎样求 关键是怎样求出椭圆的长轴大小.

思维挑战题 思维挑战题: 1、试确定实数 m 的取值范围,使得椭圆 x2 y2 + = 1 上 存 在 关 于 直 线 y = 2x + m 对 称 的 4 3 点. 1 1

?

2

< m <

2

2、已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为 , 、已知椭圆 ,椭圆的右焦点为F, (1)求过点 且斜率为 的直线被椭圆截得的弦长 求过点F且斜率为 的直线被椭圆截得的弦长. 求过点 且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长 (2)判断点 判断点A(1,1)与椭圆的位置关系 并求以 为中点 与椭圆的位置关系,并求以 判断点 与椭圆的位置关系 并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程. 椭圆的弦所在的直线方程


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