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2009年高考试题——全国卷2(数学理)word版


2009 年全国卷 2 理科数学
参考公式: 如果事件互斥,那么 球的表面积公式

P ? A ? B? ? P ? A? ? ? B?
如果事件 A、B 相互独立,那么

S =4? R 2
其中 R 表示球的半径

P ? A? B? ? P ? A? ? ? B?
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p , 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k k Pn ? k ? ? Cn P ?1 ? p ? n?k

球的体积公式

4 V ? ? R3 3 其中 R 表示球的半径

? k ? 0,1, 2...n ?

本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合 题目要求的。 一、 选择题: 1.

10i ? 2-i A. -2+4i

B. -2-4i

C. 2+4i

D. 2-4i

2. 设集合 A ? ? x | x ? 3? , B ? ? x | A. ?

? ?

x ?1 ? ? 0? ,则 A B = x?4 ?
C. ? ?2,1? D.

B.

? 3, 4?

? 4. ? ??

3. 已知 ?ABC 中, cot A ? ? A.

12 13

12 , 则 cos A ? 5 5 B. 13

C. ?

5 13

D. ?

12 13

4.曲线 y ?

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 2x ?1
B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 4 y ? 5 ? 0 D. x ? 4 y ? 5 ? 0

A. x ? y ? 2 ? 0

E 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成 5. 已知正四棱柱 ABCD ? A , 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 2 AB
的角的余弦值为 A.

10 10

B.

1 5

C.
- 1 - / 10

3 10 10

D.

3 5

2009 年全国卷 2 理科数学
6. 已知向量 a ? ? 2,1? , a ? b ? 10,| a ? b |? 5 2 ,则 | b |? A.

5

B.

10
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

C. 5

D. 25

7. 设 a ? log3 ? , b ? log2 ? , c ? log3 2 ,则 A. a ? b ? c B. a ? c ? b

C. b ? a ? c

D. b ? c ? a

8. 若 将 函 数 y ? tan ? ? x ?

? ?

??

? ? ?? ? 0 ? 的 图 像 向 右 平 移 6 个 单 位 长 度 后 , 与 函 数 4?

?? ? y ? tan ? ? x ? ? 的图像重合,则 ? 的最小值为 6? ?
A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

9. 已知直线 y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 与抛物线 C : y 2 ? 8x 相交于 A、B 两点, F 为 C 的焦点,若

| FA |? 2 | FB |,则 k ?
1 3

A.

B.

2 3

C.

2 3

D.

2 2 3

10. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种 11. 已知双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F , 过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于 b2
w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

A、B 两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为
A.

6 5

B.

7 5

C.

5 8

D.

9 5

12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、 北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到 右侧的平面图形,则标“ ? ”的面的方位是 A. 南 B. 北 C. 西 D. 下

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二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡上。 13.

?x

y ? y x 的展开式中 x3 y3 的系数为
S4 ? S5

?

4

。 .

14. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 5a3 则

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

15.设 OA 是球 O 的半径, M 是 OA 的中点,过 M 且与 OA 成 45°角的平面截球 O 的表面得到圆

C 。若圆 C 的面积等于

7? ,则球 O 的表面积等于 4

16. 已知 AC、BD 为圆 O : x2 ? y 2 ? 4 的两条相互垂直的弦, 垂足为 M 1, 2 ,则四边形 ABCD 的面积的最大值为 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17(本小题满分 10 分) 设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c , cos( A ? C ) ? cos B ?

?

?

3 , 2

b2 ? ac ,求 B 。
18(本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC, D 、 E 分别 为 AA1 、 B1C 的中点, DE ? 平面 BCC1 (I)证明: AB ? AC (II)设二面角 A ? BD ? C 为 60°,求 B1C 与平面 BCD 所成的角 的大小。 19(本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。 20(本小题满分 12 分) 某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人,其中有 3 名女工人,现采用 分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核。 (I)求从甲、乙两组各抽取的人数;
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m w.w.w.k.s.5.u. c.o. m w.w.w.k.s .5.u. c.o. m

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(II)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (III)记 ? 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 ? 的分布列及数学期望。 (21) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A 、 2 a b 3

B 粮店,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为
(I)求 a , b 的值;

2 2

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

(II) C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。 22.(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? x2 ? aIn ?1 ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2 (I)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (II)证明: f ? x2 ? ?

1 ? 2 In 2 4

w.w.w.k.s.5. u.c.o. m

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