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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2第一章导数及其应用 习题课


习题课
一、基础过关 1.函数 f(x)=xcos x 的导函数 f′(x)在区间[-π,π]上的图象大致是 ( )

2.函数 y=xcos x-sin x 在下面哪个区间内是增函数 π 3π A.?2, 2 ? ? ? 3π 5π C.? 2 , 2 ? ? ? B.(π,2π) D.(2π,3π)

(

)

3.已知函数 f(x)= x+ln x,则有 A.f(2)<f(e)<f(3) B.f(e)<f(2)<f(3) C.f(3)<f(e)<f(2) D.f(e)<f(3)<f(2) 4.函数 y=f(x)的图象如下图所示,则导函数 y=f′(x)的图象可能是

(

)

(

)

5.已知函数 f(x)、g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且 f′(x)<g′(x),则 f(x)- g(x)的最大值为 ( ) B.f(b)-g(b) D.f(b)-g(a)

A.f(a)-g(a) C.f(a)-g(b)

6.已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当 x>0 时,有 f′(x)>0,g′(x)>0, 则当 x<0 时,有 A.f′(x)>0,g′(x)>0 B.f′(x)>0,g′(x)<0 C.f′(x)<0,g′(x)>0 D.f′(x)<0,g′(x)<0 7.已知函数 f(x)=x3-ax2+3x+6,若 x=3 是 f(x)的一个极值点,求 f(x)在[0,a]上的最值. ( )

二、能力提升 3 9 8.若函数 y=x3+ x2+m 在[-2,1]上的最大值为 ,则 m=________. 2 2 9.已知 a>0,函数 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上单调递增,则 a 的最大值为________. 10.设函数 f(x)=x+ax2+bln x,曲线 y=f(x)过点 P(1,0),且在 P 点处的切线斜率为 2. (1)求 a,b 的值; (2)证明:f(x)≤2x-2.

1 11.设函数 f(x)=aex+ x+b(a>0). ae (1)求 f(x)在[0,+∞)内的最小值; 3 (2)设曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y= x,求 a,b 的值. 2

三、探究与拓展 12.已知 a∈R,函数 f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,求 a 的取值范围.

答案
1.A 2.B 3.A 4.D 5.A 6.B 7.解 f′(x)=3x2-2ax+3, 由已知得 f′(3)=0, ∴3×9-6a+3=0. ∴a=5,∴f(x)=x3-5x2+3x+6. 1 令 f′(x)=3x2-10x+3=0,得 x1= ,x2=3. 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化状态如下表:

∴f(x)在[0,5]上的最大值为 f(5)=21,最小值为 f(3)=-3. 8.2 9.3 b 10.(1)解 f′(x)=1+2ax+ . x
? ?f?1?=0, 由已知条件得? ?f′?1?=2, ? ?1+a=0, ? 即? ? ?1+2a+b=2. ?a=-1, ? 解得? ? ?b=3.

(2)证明 因为 f(x)的定义域为(0,+∞), 由(1)知 f(x)=x-x2+3ln x. 设 g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3ln x, 3 则 g′(x)=-1-2x+ x ?x-1??2x+3? =- . x 当 0<x<1 时,g′(x)>0,当 x>1 时,g′(x)<0. 所以 g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减. 而 g(1)=0,故当 x>0 时,g(x)≤0,即 f(x)≤2x-2.

11.解

1 (1)f′(x)=aex- x, ae

当 f′(x)>0,即 x>-ln a 时, f(x)在(-ln a,+∞)上递增; 当 f′(x)<0,即 x<-ln a 时, f(x)在(-∞,-ln a)上递减. ①当 0<a<1 时,-ln a>0,f(x)在(0,-ln a)上递减, 在(-ln a,+∞)上递增,从而 f(x)在[0,+∞)上的最小值为 f(-ln a)=2+b; ②当 a≥1 时,-ln a≤0,f(x)在[0,+∞)上递增, 1 从而 f(x)在[0,+∞)上的最小值为 f(0)=a+ +b. a 1 3 (2)依题意 f′(2)=ae2- 2= , ae 2 1 解得 ae2=2 或 ae2=- (舍去), 2 2 1 1 所以 a= 2,代入原函数可得 2+ +b=3,即 b= , e 2 2 2 1 故 a= 2,b= . e 2 12.解 (1)当 a=2 时, f(x)=(-x2+2x)ex, f′(x)=(-x2+2)ex. 当 f′(x)>0 时,(-x2+2)ex>0,注意到 ex>0, 所以-x2+2>0,解得- 2<x< 2. 所以,函数 f(x)的单调递增区间为(- 2, 2). 同理可得,函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,- 2)和( 2,+∞). (2)因为函数 f(x)在(-1,1)上单调递增, 所以 f′(x)≥0 在(-1,1)上恒成立. 又 f′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex, 即[-x2+(a-2)x+a]ex≥0,注意到 ex>0, 因此-x2+(a-2)x+a≥0 在(-1,1)上恒成立, x2+2x 1 也就是 a≥ =x+1- 在(-1,1)上恒成立. x+1 x+1 1 1 设 y=x+1- ,则 y′=1+ >0, x+1 ?x+1?2 1 即 y=x+1- 在(-1,1)上单调递增, x+1

1 3 则 y<1+1- = , 1+1 2 3 故 a≥ . 2


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