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24.2.2.1 直线与圆的位置关系


复习:点和圆的位置关系有哪几种?
A
d C
O

B r

设点到圆心距离为d, ⊙O半径为r
点A在圆内 点B在圆上

(1)d<r (2)d=r (3)d>r

点C在圆外

位置关系与数量关系之间可以互相转化

把太阳轮廓看成一个圆,海平面看成一条直 线,注意观察直线与圆的公共点的个数:
● ● ● ● ●

O

O
● ●

O

l(海平面)

● ●

O

O

?这个现象反映出直线和圆的公共点个数有 三 种情况, ?直线和圆的位置关系有 三 种情况。

把钥匙环看作一个圆,把直尺边缘看成一条直线. 固定圆,平移直尺, ?直线和圆分别有几个公共点?
两个公共点 ●O 一个公共点


O

没有公共点 ●O

相交

相切

相离

1.直线和圆有两个公共点,这时我们就说这条直线和 圆相交,这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点; 2.直线和圆只有一个公共点,这时我们就说这条直 线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点; 3.直线和圆没有公共点,这时我们就说这条直线和圆 相离.

总结(一)
1.直线和圆的位置关系有 三种 ,可以 通过直线与圆的 公共点的个数 来判断 2.用图形表示如下:
有两个公共点

有一个公共点

没有公共点
.o

.

.o

.

l

.
相切

.o

l

l

相交

相离

快速判断下列各图中直线与圆的位置关系
(从直线与圆公共点的个数) l

l



l O

.O
1) 相离 2)

.



.O
3)



相交

相切

.O
l

1

.O2
● ●

4)

直线l与O1相离 直线l与 O2相交

忆一忆: 过直线外一点作这条直线的垂线段 垂线段的长度叫点到直线的距离。

.A

d
l B

研究点与圆的位置关系时我们提 到位置关系和数量关系可以互相转化.

类比:
C

A d
O

B

点到圆心距离d与 ⊙O半径r之间的

数量关系

点和圆的位置关系

同样:
圆心到直线的距 离d与⊙O半径r的
数量关系 直线和圆 的位置关系

直线与圆的位置关系量化
? 如图,圆心O到直线的距离d与⊙O的半径r的大小有什么关系? r r




O ┐d

O

r


O

相交

d ┐ 相切

d ┐ 相离

1) 直线和圆相交 2) 直线和圆相切 3) 直线和圆相离

d < r;
d = r; d > r.

总结(二)
?

你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗?
r r




O ┐d

O

r


O

d ┐

d ┐

3) 直线和圆 1) 直线和圆 2) 直线和圆

相离 ; 相交 ; 相切 ;

d > r;; d < r; d = r.

1、已知⊙O的半径为6cm, 圆心O与直线AB 的距离为d, 根据 条件填写d的范围: 1)若AB和⊙O相离, 则
2)若AB和⊙O相切, 则

3)若AB和⊙O相交,则

d>6 ; d=6 ; 0≤ d < 6 .

总结
两 种: 判定直线 与圆的位置关系的方法有____
直线与圆的公共点 (1)根据定义,由______________________
的个数来判断; 圆心到直线的距离d与半径r (2)由_________________________ 的大小关系来判断。 在实际应用中,常采用第二种方法判定。

典型例题
例1 在Rt △ABC中,斜边AB=5cm,AC=3cm. (1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C 相切? (2)以点C为圆心,以2 cm为半径作圆,则这个圆与 AB有怎样的位置关系? (3)以点C为圆心,以4 cm为半径作圆,则这个圆与 AB有怎样的位置关系?
A D

C

B

典型例题
例2如图:∠AOB = 30°,M是OB上的一点,且OM =5 cm 以M为圆心,以r 为半径的圆与直线OA有怎样的关系?为 什么?(1)r = 2 cm ; (2) r = 4 cm ; (3) r = 2.5 cm . 解: 过 M 作 MC⊥OA 于 C, 在 Rt △OMC 中, ∵∠AOB = 30° O 1 1 ∴MC=2 OM=2 x5=2.5 即圆心 M 到OA的距离 d = 2.5 cm.
C
2.5
30°

A

5

M

B

(1) 当 r = 2 cm 时,有 d > r, 因此⊙M 和直线OA 相离. (2) 当 r = 4 cm 时,有 d < r, 因此⊙M 和直线O A 相交. (3) 当 r = 2.5cm 时, 有d=r, 因此⊙M 和直线 OA 相切.

例3如图,直线AB、CD相交于点O,∠AOC=30°, 半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上,开始时, PO=6cm.如果⊙P以1cm/s的速度沿由点A向B的方向移 动,那么当⊙P的运动时间t(s)满足什么条件时, (1)⊙P与直线CD相切; (2)⊙P与直线CD相离; (3)⊙P与直线CD相交.
D

A

P’ ’’ P

.
C

O

B

综合练习题 设⊙O的圆心O到直线的距离为d,半径为 r.d、r是方程(m+9)x2- (m+6) x +1=0的两根, 且直线与⊙O相切时,求m的值?

课堂小结

谈谈本节课你学习到了哪些知识 或者是哪些数学方法


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