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高中数学完整讲义——排列与组合8.排列组合问题的常用方法总结2


高中数学讲义

排列组合问题的常用方法总 结2

知识内容
1.基本计数原理 ⑴ 加法原理 分类计数原理:做一件事,完成它有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第二类办法中 有 m2 种方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? mn 种 不同的方法.又称加法原理. ⑵ 乘法原理 分步计数原理:做一件事,完成它需要分成 n 个子步骤,做第一个步骤有 m1 种不同的方法,做第二个 步 骤 有 m2 种 不 同 方 法 , …… , 做 第 n 个 步 骤 有 mn 种 不 同 的 方 法 . 那 么 完 成 这 件 事 共 有 N ? m1 ? m2 ? ? mn 种不同的方法.又称乘法原理. ⑶ 加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的, 那么计算完成这件事的方法数时, 使用分类计数原理. 如 果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计算完成 这件事的方法数时,使用分步计数原理. 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、组合问题的 基本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用. 2. 排列与组合 ⑴ 排列:一般地,从 n 个不同的元素中任取 m(m ≤ n) 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (其中被取的对象叫做元素) 排列数:从 n 个不同的元素中取出 m(m ≤ n) 个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出
m 个元素的排列数,用符号 A m n 表示.
(n ? m ? 1) , m ,n ? N? ,并且 m ≤ n . 排列数公式: Am n ? n(n ? 1)(n ? 2) 全排列:一般地, n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的一个全排列. n 的阶乘:正整数由 1 到 n 的连乘积,叫作 n 的阶乘,用 n ! 表示.规定: 0! ? 1 .

⑵ 组合:一般地,从 n 个不同元素中,任意取出 m (m ≤ n) 个元素并成一组,叫做从 n 个元素中任取
m 个元素的一个组合. 组合数:从 n 个不同元素中,任意取出 m (m ≤ n) 个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素

中,任意取出 m 个元素的组合数,用符号 Cm n 表示. 组合数公式: Cm n ?
n(n ? 1)(n ? 2) (n ? m ? 1) n! ? , m, n ? N? ,并且 m ≤ n . m! m !(n ? m)!

n?m m m?1 组合数的两个性质:性质 1: Cm ;性质 2: Cm . (规定 C0 n ? Cn n ?1 ? Cn ? Cn n ? 1)

⑶ 排列组合综合问题

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解排列组合问题,首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排 列还是组合,同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法: 1.特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素; 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置; 2. 分类分步法: 对于较复杂的排列组合问题, 常需要分类讨论或分步计算, 一定要做到分类明确, 层次清楚,不重不漏. 3.排除法,从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法. 4. 捆绑法: 某些元素必相邻的排列, 可以先将相邻的元素“捆成一个”元素, 与其它元素进行排列, 然后再给那“一捆元素”内部排列. 5.插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空. 6. 插板法:n 个相同元素, 分成 m(m ≤ n) 组, 每组至少一个的分组问题——把 n 个元素排成一排,
m?1 从 n ? 1 个空中选 m ? 1 个空,各插一个隔板,有 Cn ?1 .

7.分组、分配法:分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别.一般地平均 分成 n 堆(组),必须除以 n !,如果有 m 堆(组)元素个数相等,必须除以 m ! 8.错位法:编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里,每个盒子放一个小球,要求 小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别当 n ? 2 ,3,4,5 时的错位数各为 1,2, 9,44.关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位 排列的问题. 1.排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题通常有三种途径: ① 元素分析法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素; ② 位置分析法:以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置; ③ 间接法:先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数. 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题; 再通过分析确定运用分类计数原理还是 分步计数原理;然后分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;最后列出式子计算作答. 2.具体的解题策略有: ① 对特殊元素进行优先安排; ② 理解题意后进行合理和准确分类,分类后要验证是否不重不漏; ③ 对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排,以防出现重复; ④ 对于元素相邻的条件,采取捆绑法;对于元素间隔排列的问题,采取插空法或隔板法; ⑤ 顺序固定的问题用除法处理;分几排的问题可以转化为直排问题处理; ⑥ 对于正面考虑太复杂的问题,可以考虑反面. ⑦ 对于一些排列数与组合数的问题,需要构造模型.

典例分析
挡板法(名额分配或者相同物品的分配问题) 【例1】 某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一 所学校人数较多,要安排连续参观 2 天,其余只参观一天,则植物园 30 天内不同的安排 方法有 种.

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【例2】 某校准备组建一个由 12 人组成篮球队,这 12 个人由 8 个班的学生组成,每班至少一人,名额分 配方案共 种.

【例3】

15 ? a ? b ? c ? d ? 有多少项?

【例4】 有 20 个不加区别的小球放入编号为 1,2,3 的三个盒子里,要求每个盒子内的球数不少

编号数,问有多少种不同的方法?

【例5】 不 定 方 程 x1 ? x2 ? x3 ?... ? x5 0 ?100 中不同的正整数解有

组,非负整数解有

组.

【例6】 5 个人参加秋游带 10 瓶饮料,每人至少带 1 瓶,一共有多少种不同的带法.

【例7】 将 7 个完全相同的小球任意放入 4 个不同的盒子中,共有多少种不同的放法?

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【例8】 一个楼梯共 18 个台阶 12 步登完,可一步登一个台阶也可一步登两个台阶,一共有多少种不同 的走法.

【例9】 有 10 个三好学生名额,分配到高三年级的 6 个班里,要求每班至少 1 个名额,共有多少种不同 的分配方案.

【例10】 某中学准备组建一个 18 人的足球队,这 18 人由高一年级 10 个班的学生组成, 每个班至少一个,名额分配方案共有_____种.

【例11】 10 个优秀指标名额分配到一、二、三 3 个班,若名额数不少于班级序号数,共有多少种不同 的分配方法?

插空法(当需排的元素不能相邻时) 2, 3, , 1000 个自然数中任取 10 个互不连续的自然数,有多少种不同的取法. 【例12】 从 1,

【例13】 某会议室第一排共有 8 个座位,现有 3 人就座,若要求每人左右均有空位,那么不同的坐法 种数为( ) A. 12 B.16 C.24 D.32

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【例14】 三个人坐在一排 8 个座位上,若每个人左右两边都有空位,则坐法种数为_______.

【例15】 要排一张有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,排法 种数有____种.

【例16】 马路上有编号为 l,2,3,……,10 十个路灯,为节约用电又看清路面,可以把其中的三只 灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,在两端的灯也不能关掉的情况下,求满足条件 的关灯方法共有_____种. (用数字作答)

【例17】 为配制某种染色剂, 需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂, 其中有机染料 的添加顺序不能相邻.现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响, 总共要进行的试验次 数为 . (用数字作答)

【例18】 一排 9 个座位有 6 个人坐,若每个空位两边都坐有人,共有______种不同的坐法.

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【例19】 某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言,要求甲、乙两名同学至少有一人

参加. 当甲乙同时参加时, 他们两人的发言不能相邻. 那么不同发言顺序的种数为 ( A. 360 B. 520 C. 600 D. 720



【例20】 在一个含有 8 个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中

插入方法?

【例21】 某人连续射击 8 次有四次命中,其中有三次连续命中,按“中”与“不中”报告结果,不同的结果 有多少种.

捆绑法(当需排的元素有必须相邻的元素时) 【例22】 4 名男生和 3 名女生共坐一排,男生必须排在一起的坐法有多少种?

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【例23】 四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有

种.

【例24】 某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一

所学校人数较多,要安排连续参观 2 天,其余只参观一天,则植物园 30 天内不同的安排 方法有

【例25】 停车站划出一排 12 个停车位置, 今有 8 辆不同型号的车需要停放, 若要求剩余的 4 个空车位连 在一起,则不同的停车方法共有__________种.

2, 3, 4 的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共有 _______ 【例26】 四个不同的小球放入编号为 1 ,

种. (用数字作答)

除序法 (平均分堆问题,整体中部分顺序固定,对某些元素有顺序限制的排列,可以先不考虑顺序限制排 列后,再除去规定顺序元素个数的全排列. )

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【例27】 6 本不同的书平均分成三堆,有多少种不同的方法?

【例28】 6 本书分三份,2 份 1 本,1 份 4 本,则有不同分法?

【例29】 用 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字组成没有重复数字的七位数中,

⑴若偶数 2,4,6 次序一定,有多少个? ⑵若偶数 2,4,6 次序一定,奇数 1,3,5,7 的次序也一定的有多少个?

【例30】 一天的课程表要排入语文,数学,物理,化学,英语,体育六节课,如果数学必须排在体

育之前,那么该天的课程表有多少种排法?

【例31】 甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天 且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有( )

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A. 20 种 B. 30 种 C. 40 种 D. 60 种

【例32】 某考生打算从 7 所重点大学中选 3 所填在第一档次的 3 个志愿栏内,其中 A 校定为第一志
C 校必选,且 B 在 愿,再从 5 所一般大学中选 3 所填在第二档次的 3 个志愿栏内,其中 B ,
C 前,问此考生共有

种不同的填表方法(用数字作答) .

递推法
【例33】 一楼梯共 10 级,如果规定每次只能跨上一级或两级,要走上这 10 级楼梯,共有多少种不

同的走法?

用转换法解排列组合问题 【例34】 某人连续射击 8 次有四次命中,其中有三次连续命中,按“中”与“不中”报告结果,不 同的结果有多少种.

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【例35】 6 个人参加秋游带 10 瓶饮料,每人至少带 1 瓶,一共有多少钟不同的带法.

【例36】 从 1,2,3,?,1000 个自然数中任取 10 个不连续的自然数,有多少种不同的取法.

【例37】 某城市街道呈棋盘形,南北向大街 5 条,东西向大街 4 条,一人欲从西南角走到东北角,

路程最短的走法有多少种.

【例38】 一个楼梯共 18 个台阶 12 步登完,可一步登一个台阶也可一步登两个台阶,一共有多少种

不同的走法.

【例39】 求 ? a ? b ? c ? 的展开式的项数.
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【例40】 亚、欧乒乓球对抗赛,各队均有 5 名队员,按事先排好的顺序参加擂台赛,双方先由 1 号

队员比赛, 负者淘汰, 胜者再与负方 2 号队员比赛, 直到一方全被淘汰为止, 另一方获胜, 形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程有多少种?

【例41】 圆周上共有 15 个不同的点,过其中任意两点连一弦,这些弦在圆内的交点最多有多少个?

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