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高中数学第三章函数的应用章末复习课课件新人教A版必修1_图文

章末复习课 网络构建 核心归纳 ? ? ? 1.函数的零点与方程的根的关系 函数f(x)的零点就是方程 f(x)=0的解,函数f(x)的零点的个数与方程 f(x)=0的解的个数相等,也可以说方程f(x) =0的解就是函数f(x)的图象与x轴交点的横 坐标,即函数f(x)的函数值等于0时自变量x 的取值. 因此方程的解的问题可 以转化为函数问题来解决.讨论方程的解所 在的大致区间可以转化为讨论函数的零点所 在的大致区间,讨论方程的解的个数可以转 ? ? ? 2.函数零点的存在性定理 (1)该定理的条件是:① 函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的; ②f(a)·f(b)<0,即f(a)和f(b)的符号相反.这 两个条件缺一不可. (2)该定理的结论是“至 少存在一个零点”,仅仅能确定函数零点是 存在的,但是不能确定函数零点的个数. ? ? 3.函数应用 (1)要解决函数应用问题, 首先要增强应用函数的意识.一般来说,解 决函数应用问题可分三步:第一步,理解题 意,弄清关系;第二步,抓住关键,建立模 型;第三步,数学解决、检验模型.其中第 二步尤为关键. (2)在解题中要充分运用 数形结合、转化与化归、函数与方程等数学 思想及策略,寻求解题途径. (3)根据已知条件建立函 数解析式是函数应用的一个重要方面.一般 ? ? 要点一 函数的零点与方程的根 ?函数的零点与方程的根的关系及应用 ?1.函数的零点与方程的根的关系:方程f(x) =0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交 点?函数y=f(x)有零点. ?2.确定函数零点的个数有两个基本方法: 利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两 个函数图象的交点个数进行判断. 【例 1 】 (1) 函数 2 ? ?x -2,x≤0, f ( x) = ? ? ?2x-6+ln x,x>0 的零点个数是 ________. (2)若函数 f(x)=|2x-2|-b 有两个零点,则实数 b 的取值范 围是________. 解析 (1)①当 x≤0 时,由 f(x)=0,即 x2-2=0,解得 x= 2或 x=- 2.因为 x≤0,所以 x=- 2. ②法一 (函数单调性法)当 x>0 时,f(x)=2x-6+ln x. 而 f(1)=2× 1-6+ln 1=-4<0, f(3)=2× 3-6+ln 3=ln 3>0, 所 以 f(1)· f(3)<0,又函数 f(x)的图象是连续的,故由零点存在性定 理,可得函数 f(x)在(1,3)内至少有一个零点.而函数 y=2x-6 在(0,+∞)上单调递增,y=ln x 在(0,+∞)上单调递增,所以 函数 f(x)=2x-6+ln x 在(0,+∞)上单调递增. 故函数 f(x)=2x-6+ln x 在(0,+∞)内有且只有 1 个零点.综 上,函数 f(x)共有 2 个零点. 法二 (数形结合法)当 x>0 时,由 f(x)=0,得 2x-6+ln x=0, 即 ln x=6-2x. 如图,分别作出函数 y=ln x 和 y=6-2x 的图象. 显然,由图可知,两函数图象只有一个交 点,且在 y 轴的右侧,故当 x>0 时,f(x) =0 只有一个解. 综上,函数 f(x)共有 2 个零点. ?(2)由f(x)=0得|2x-2|=b,在同一坐标系中作 出函数y=|2x-2|和y=b的图象,如图所示,由 图可知0<b<2,即若f(x)有两个零点,则b的取 值范围是(0,2). ?答案 (1)2 (2)(0,2) ? ? ? ? ? 【训练1】 已知关于x的方程a·4x+b·2x+c =0(a≠0),常数a,b同号,b,c异号,则下 列结论中正确的是( ) A.此方程无实根 B.此方程有两个互异 的负实根 C.此方程有两个异号 实根 D.此方程仅有一个实 根 解析 由常数 a,b 同号,b,c 异号,可得 a,c 异号,令 2x= t,则方程变为 at2+bt+c=0,t>0,由于此方程的判别式 Δ=b2 c -4ac>0,故此方程有 2 个不等实数根,且两根之积为a<0,故 关于 t 的方程只有一个实数根,故关于 x 的方程只有一个实数 根. ? 答案 D 要点二 二分法求方程的近似解(或函数的零点) ? ? ? ? ? 1.二分法求方程的近似解的步骤 (1)构造函数,转化为求 函数的零点. (2)明确精确度和函数的 零点所在的区间(最好区间左右端点相差1). (3)利用二分法求函数的 零点. (4)归纳结论. ? ? ? ? 2.使用二分法的注意事项 (1)二分法的实质是通过 “取中点”,不断缩小零点所在区间的范围, 所以要选好计算的初始区间,保证所选区间 既符合条件,又使区间长度尽量小. (2)计算时注意依据给定 的精确度,及时检验计算所得的区间是否满 足精确度的要求. (3)二分法在具体使用时 有一定的局限性,首先二分法只能一次求得 一个零点,其次f(x)在(a,b)内有不变号零点 时,不能用二分法求得. ? ? ? 【例2】 设函数f(x)=x3+3x-5,其图象在 (-∞,+∞)上是连续不断的. 先求值:f(0)= ________,f(1)=________,f(2)=________, f(3)=________. 所以f(x)在区间 ________ 区间长 区间 中点m f(m)符号 内存在一个零点x0,填下表, 度 ?解 f(0)=-5,f(1)=-1, ?f(2)=9,f(3)=31, ?所以初始区间为(1,2). 中点 f(m)符 区间长 区间 m 号 度 (1,2) 1.5 + (1,1.5) 1.25 0.5 + (1,1.25) 1.125 0.25 - 1.187 (1.125,1.25) 0.125 + 5 ?因为|1.187 5-1.125|=0.062 5

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