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重庆市巫山中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学(理)试题


巫山中学 2014-2015 学年期末考试 数学试题(理)
命题人:李素俊 审题人:杨增勇 本试卷共 4 页,22 题,满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回。 一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1.已知集合 A={1,3,5,6},集合 B={2,3,4,5},那么 A∩B=( ) A. {3,5} B.{1,2,3,4,5,6} C.{1,3,5} D.{3,5,6} 2.已知直线 l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l2 : mx ? y ? 0 平行,则实数 m 的值为( A. ?2




B. ?


1 2

C.

1 2


D. 2 )


3.实验测得四组(x,y)的值为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),则 y 与 x 之间的回归直线方程为( A. y=x-1 B.y=x+2
x 2

C.y=2x+1

D. y=x+1

4.已知函数 f(x)=e ﹣x +8x,则在下列区间中 f(x)必有零点的是( ) A. (﹣2,﹣1) B. (﹣1,0) C. (0,1) D. (1,2) 5. 要得到函数 A.向左平移 C.向左平移 6.在等比数列 A ?8 个单位长度 个单位长度 的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象上的所有点( B.向右平移 D.向右平移 单位长度 个单位长度 ) D 64 ) )

?an ? 中,若 a
B 4

3

? 4, a7 ? 16 , a5 的值为(
C 8

7.阅读下图程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(

A.7

B. 9

C. 11

D. 13

8. 已知 ?ABC 中, ?A ?

?
6

, AB ? 3 3 , AC ? 3 ,在线段 BC 上任取一点 P,则线段 PB 的

长大于 2 的概率为( A.



1 3

B.

2 3

C.

1 2

D.

3 5

9. 已 知 ?A B C是腰长为 2 等腰直角三角形,D 点是斜边 AB 的中点,点 P 在 CD 上,且

??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? CP ? PD ,则 PA?PB ? ( 2 3 10 A. ? B. ? 4 9

) C. 0 D. 4 ) D. 4 ? 2 3

10.设 a ? 0, b ? 1 ,若 a ? b ? 2,则 A. 2 3 B.8

3 1 ? 的最小值为( a b ?1
C. 4 3

11.等比数列{an}中,首项 a1 ? 2015,公比 q ? ? n 的值为( A.9 ) B.11 C.12

1 ,记 Tn 为它的前 n 项之积,则 Tn 最大时, 2
D.13

2 2 2 12.已知关于 x 的函数 f ( x ) = x ? 2m log 2 ( x ? 2) ? m ? 3, (m ? 0) 有唯一的零点,且正实数
2 2 3 3 3 a , b 满足 a ? b ? m ,且 a ? b ? 1 ? t (a ? b ? 1) ,则 t 的最小值是(

) .

A.

3 2 ?4 2

B.

3 3?4 2

C.

2 2 ?4 2

D.

2 3?4 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.已知变量 x , y 满足 ? y ? 2, ? 14.已知 sin(α +
? x ? 1,

则 x ? y 的最小值为__________.

? x ? y ? 0. ?

)= ,α ∈(﹣

,0) ,则 sinα =__________.

15. 若非零向量 a、 b 满足 a ? 16.若 c ? 2 , ?C ?
?
3

2 2 b, 且 (a ? b) ? (3a ? 2b) , 则 a 与 b 的夹角为__________. 3

且 ?ABC 是锐角三角形,则 ?ABC 周长的取值范围__________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 4 , (n ? N ) 且 a1 ? 1 ,
*

(Ⅰ)求证:数列 ?an ? 2? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和 S n .

18. (本小题满分 12 分) 某校从参加 2015 年高考的学生中随机抽取 60 名 学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100), [100,110),?,[140,150]后得到部分频率分布直方 图(如右图所示) .观察图中数据,回答下列问题. (Ⅰ)求分数在[120,130)内的频率; (Ⅱ) 用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学 生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一个总体,从中任取 2 人,求至多有 1 人在分数段[120,130)内的概率.

19. (本小题满分 12 分) 已知 a ? ( 3sin x,cos x), b ? (cos x,cos x) , f ( x) ? 2a ? b ? 2m ? 1 ( x , m ? R ). (Ⅰ)求 f ( x ) 的对称轴方程; (Ⅱ)若 x ? [0 ,

?

?

? ?

?
2

] 时, f ( x) 的最小值为 5,求 m 的值.

20. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=a -(k-1)a
x ?x

(a>0,a ? 1 )是定义域为 R 的奇函数

(Ⅰ)若 f(1)>0,试求使不等式 f x ? tx +f ?2 x ? 1? >0 在定义域上恒成立的 t 的取值范围
2

?

?

(Ⅱ)若 f(1)=

8 2x ?2 x ,且 g(x)=a +a -2mf(x)在 ?1,??? 上的最小值为-2,求 m 的值. 3

21. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 1 ? an ? n ? N *? . (Ⅰ)试求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)设 cn ?

1 1 1 ? ,求证:数列 ?cn ? 的前 n 项和 Pn ? 2n ? . 1 ? an 1 ? an ?1 5

22. (本小题满分 10 分) 在△ABC 中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角. (Ⅰ)求最大角的余弦值; (Ⅱ)求以此最大角为内角,夹此角的两边之和为 4 的平行四边形的最大面积.

2015 年(春)巫山中学期末考试数学试题(理)答案 一、选择题 1-5:ACDBC 6-10:CBABD 11-12:CA

2 2 2 12.解: ∵ f ( x ) 是偶函数,且 f ( x ) = x ? 2m log 2 ( x ? 2) ? m ? 3, (m ? 0) 有唯一的零点.
2 2 ∴ f (0) ? 0 ,解得, m ? 1 或 ?3 ,又 m ? 0 ,∴ m ? 1 ∴ a ? b ? 1

令 a ? cos ? , b ? sin ? , 0 ? ? ?

?
2

,则

t?

cos3 ? ? sin 3 ? ? 1 (cos ? ? sin ? )(cos 2 ? ? cos? sin ? ? sin 2 ? ) ? 1 ? . (cos ? ? sin ? ? 1)3 (cos ? ? sin ? ? 1)3

? x 2 ?1 令 x ? cos ? ? sin ? ,则 x ? 2 sin( . ? ? ) ? (1, 2 ] ,且 cos? sin? ? 4 2
于是 t ?
x(1 ? x2 ? 1 ) ?1 2 ? 3x ? x 3 2 ? x ? x 2 2? x 3 1 2 ? ? ? ? ? . ( x ? 1)3 2( x ? 1)3 2( x ? 1) 2 2( x ? 1) 2( x ? 1) 2

因为函数 f ( x) ? 二、填空题 13、__2_ 三、解答题 14、 ?

3 1 3 2 ?4 ? 在 (1, 2 ] 上单调递减,因此, t 的最小值为 f ( 2 ) ? . 2( x ? 1) 2 2

2 2 3

15、

? 4

16、 ? 2 ? 2 3, 6?

an?1 ? 2 3an ? 6 * 17、 (Ⅰ)证明: ? a ? 2 ? a ? 2 ? 3,(n ? N ) n n

? ?an ? 2? 是公比为 3 等比数列.

?????6 分

(Ⅱ)? a1 ? 2 ? 3?an ? 2 ? 3n ?an ? 3n ? 2 ???9 分

Sn ?

3(1 ? 3n ) 3n?1 ? 3 ? 2n ? ? 2n ???12 分 1? 3 2

18、 (本小题满分 12 分) (Ⅰ)[120,130)内的频率为 1 ? (0.1 ? 0.15 ? 0.15 ? 0.25 ? 0.05) ? 1 ? 0.7 ? 0.3 ;?5 分 (Ⅱ)由题意, [110,120) 分数段的人数为 60×0.15= 9( 人 ) . [120,130) 分数段的人数为 60×0.3=18(人). ????????7 分

∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本, ∴需在[110,120)分数段内抽取 2 人,并分别记为 m 、 n ; ????????8 分

在[120,130)分数段内抽取 4 人,并分别记为 a 、 b 、 c 、 d ; ????????9 分

设“从样本中任取 2 人,至多有 1 人在分数段 [120,130)内”为事件 A,则基本事件共有

(m,n) , (m,a), ?, (m,d ),, (n a), ?,, (n d ),, (a b), ?,, (c d ) 共 15 种.??10 分
则事件 A 包含的基本事件有 (m ,n), (m,a), (m,b), (m,c), (m,d ),, (n a),, (n b),, ( n c) ,

(n,d ) 共 9 种. ???????11 分
∴ P ? A? ?

9 3 ? . 15 5

????12 分

19、 (Ⅰ) f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2m ? 2sin(2 x ? 令 2x ?

?
6

) ? 2m ???4 分

?
6

?

?
2

? k? , k ? z

k? , k ? z ???6 分 6 2 ? ? ? 7? ] ???8 分 (Ⅱ)? x ? [0, ] ? 2 x ? ? [ , 2 6 6 6 ? 7 当 2 x ? ? ? 时 f ( x) min ? ?1 ? 2m ? 5 ? m ? 3 ???12 分 6 6

? 对称轴方程为: x ?

?

?

20、 (Ⅰ)∵f(x)是定义域为 R 的奇函数,∴f(0)=0,∴1﹣(k﹣1)=0,∴k=2. 2 分 ∵函数 f ( x) ? a x ? a? x (a>0 且 a≠1) ,∵f(1)>0,∴a﹣ >0,又 a>0,∴a>1. 由于 y= a 单调递增,y= a
x
?x

单调递减,故 f ( x ) 在 R 上单调递增.
2 2

不等式化为: f ( x? ? tx) ? f (?? x ??) .∴x +tx>-2x﹣1,即 x +(t+2)x+1>0 恒 成立,∴△=(t+2) ﹣4<0,解得﹣4<t<0.????6 分 (Ⅱ)∵f(1)= , a ? ∴g(x)= ? + ?
x
2

8 3

1 8 ? a 3
x

,即 3a ﹣8a﹣3=0,∴a=3,或 a=﹣ (舍去) .
?x
x ?x

2

1 3

?x

?? x

﹣2m( ? ﹣ ? )= (?x ? ?? x )? ﹣2m( ? ? ? )+2.
x ?x

令 t= f ( x ) = ? ? ? ,由(1)可知 k=2,故 f ( x ) = ? ? ? ∵ x ? 1 ,∴ t ? f (?) = ,

?x

,显然是增函数.

8 3

令 h(t ) ? t 2 ? 2mt ? 2 ? (t ? m)2 ? 2 ? m2 ( t ? ) ???????10 分

8 3

8 ,当 t=m 时, h(t )min ? h(m) ? 2 ? m2 ? ?2 ,∴m=2 舍去 3 8 8 8 16 25 8 8 若 m ? ,当 t= 时, h(t )min ? h( ) ? ( )2 ? m ? 2 ? ?2 ,解得 m= < , 3 3 3 3 12 3 3
若m? 综上可知 m= 25 .??????? 12 分 12 21、 (Ⅰ)∵ Sn ? 1 ? an ? n ? N *? ,∴ Sn?1 ? 1 ? an?1 ,作差得: an ?1 ? 又当 n ? 1 时, a1 ?

1 an ? n ? N *? , 2

1 1 ,故 an ? n ? n ? N *? .???4 分 2 2

(Ⅱ)由已知得:当 n ? 1 时, P 1 ? 2 ? 2? 当 n ? 2 时, Pn ? ?

1 ,结论成立, 5

? 1 ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? 1 ? a1 1 ? a2 ? ? 1 ? a2 1 ? a3 ? ? 1 ? an 1 ? an?1 ?

?

n ? 1 ? 1 ? ? 1 1 1 ? 1 ? 1 2 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 1 2 ? 1 ? a1 ? 1 ? a2 1 ? a2 ? i ? 2 ? 1 ? ai ? 1 ? n ?1 ? 1 ? an 1 ? an ? 1 ? an ?1 3 2

?

n n ? 4i ? 2 2n?1 2 1 ? ? 1 ? ? ? 2? ? i ? ? n?1 ? ? 2? ?1 ? i ? ? ??? n ?1 ? 3 2 ?1 3 4 ?1 ? ? 2 ?1 ? i ?2 ? 4 ? 1 ? i ?2 ?

?

2 2 1 ? 2 2 1 ? ? 2 ? n ? 1? ? 2 ? ??? n?1 ? ? ? 2 ? n ? 1? ? 2 ? 1 ? 2n ? ,结论也成立, 3 4 ?1 ? 2 ?1 ? 3 4 ?1 5
1 都成立.??????12 分 5

综上知,对 ?n ? N * , Pn ? 2n ?

22、 (Ⅰ)设这三个数为 n,n+1,n+2,最大角为 θ, n2+?n+1?2-?n+2?2 则 cos θ= <0, 2· n· ?n+1? 化简得:n2-2n-3<0?-1<n<3. ???3 分 ∵n∈N*且 n+(n+1)>n+2,∴n=2. 4+9-16 1 ∴cos θ= =- .???5 分 4 2×2×3 (Ⅱ)设此平行四边形的一边长为 a,则夹 θ 角的另一边长为 4-a,平行四边形的面积为: 15 S=a(4-a)· sin θ= a(4-a)≤ 15.(基本不等式) 4 当且仅当 a=2 时,Smax= 15.???10 分

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