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一类三角形问题的两种常规解法

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 一类三角形问题的两种常规解法 作者: 来源:《数学金刊· 高考版》2014 年第 10 期 三角形的问题一直是高考的重点,纵观多年的高考试卷,很多题目都是围绕三角形的角和 边进行拓展,如何解决这一类的问题,严谨踏实不丢分,作者凭借多年的经验提出精彩的阐 述,希望对同学们有所帮助. 题:△ ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,tanC=, (1)求角 C 的大小; (2)若△ ABC 外接圆的直径为 1,求 a2+b2 的取值范围. 这是一道高三复习三角知识时常选的一例,解决第一个问题时首先从条件出发求出角 C 的 大小,有如下两种常用方法: 方法 1:化角:由已知条件 tanC=得=,故 sinC(cosA+cosB)=cosC(sinA+sinB),所以 sinC· cosA+sinC· cosB=cosC· sinA+cosC· sinB,不难得到 sin(C-A)=sin(B-C). 因为 A,B, C∈(0,π),所以 C-A∈(-π,π),B-C∈(-π,π),所以 C-A=B-C 或 C-A=π-(B-C)或 C-A= -π-(B-C),即 C=或 B-A=π(舍)或 A-B=π(舍),故 C=. 方法 2:化边:由 tanC=变形得 sinC· cosA+sinC· cosB=cosC· sinA+cosC· sinB. 同时使用正 弦、余弦定理得:c· +c· =a· +b· ,经整理得:ac3+bc3-a3c-b3c=0,进一步可化为 c2(a+b) =a3+b3,故有 c2(a+b)=(a+b)(a2-ab+b2),?摇所以 c2=a2-ab+b2,所以 a2+b2-c2=ab, 故有==cosC. 因为 c∈(0,π),所以 c=. 这是对第(1)问的两种处理方案,显然方法 1 较为容易. 但本文所要介绍的重点是第 (2)问的处理方法. 方法 1:由(1)知 c=,又外接圆直径 2R=1,所以 c=2RsinC=. 又由余弦定理知 c2=a2+b22abcosC,即 c2=a2+b2-ab=,所以 ab=a2+b2-. 又由基本不等式知 ab≤,所以 a2+b2-≤,所以 a2+b2≤,当且仅当 a=b 时取等号. 再由 a2+b2-ab=c2 知 a2+b2>c2=,所以 a2+b2 的取值范围是,. 这一方法是利用了余弦定理及基本不等式求出了 a2+b2 的最大值,又抓住 a2+b2-ab=c2 得出 a2+b2 的下限是. 所用知识广而不深,处理得灵活便捷. 方法 2:由(1)知 c=,外接圆直径 2R=1,所以根据正弦定理 a2+b2=(2RsinA)2+ (2RsinB)2=4R2· sin2A+4R2sin2B=sin2A+sin2B=+. 又 A+B+C=π,C=,B=π-A 且 A∈0, π,?摇所以原式=+=1-·cos2A+cosπ-2A=1-· cos2A-· cos2A-· sin2A=1-· cos2A-· sin2A=1+sin2A-. 因 为 A∈0,π,所以 2A-∈-,,所以 1+sin2A-∈,. 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 方法 2 与方法 1 的风格截然不同,它是利用正弦定理,通过消元将目标式 a2+b2 逐步化成 Asin(ωx+φ)+k 的形式,再根据角的取值范围求出目标式的取值范围,这一做法虽没有方法 1 快捷,但能把不少的三角公式——两角和差、降幂公式、辅助角公式作了考查,也不失为一 个好方法. 细细体会本题,其实质是已知三角形的一角及其对边,再求相关目标式的取值范围,这类 问题笔者认为均可利用类似前面的方法 1、方法 2 加以解决. 不妨请看下面两道变式题. 变式 1:已知 C=,c=,求△ ABC 周长 l 的取值范围. 分析:为求周长的取值范围,只需求出 a+b 的取值范围. 方法 1:c2=a2+b2-2abcosC,所以 (下转 37 页) a2+b2-ab=,所以(a+b)2-3ab=,所以 3ab=(a+b)2-. 又因为 ab≤,所以(a+b)2-≤ (a+b)2,a+b≤,当且仅当 a=b 时取“=”. 同时在△ ABC 中,根据两边之和大于第三边得 a+b>c,所以 方法 2:因为 C=,c=,所以 2R==1,所以 a+b=2RsinA+2RsinB=sinA+sinB=sinA+sinA=sinA+· cosA=· sinA+cosA=· sinA+. 因为 A∈0,π,所以 A+∈,π,所以 a+b∈,.所以周长 l 的 取值范围是, 变式 2:已知 C=,c=,求△ ABC 面积 S 的取值范围. 分析:S=absinC,即只需要求出 ab 的取值范围. 方法 1:由 c2=a2+b2-2abcosC 得 a2+b2-ab=,所以 a2+b2=ab+. 又 a2+b2≥2ab,所以 ab+≥2ab,ab≤. 所以 S=absinC≤××=(当且仅当 a=b 时,取“=”). 又 S=absinC=ab>0(当 a,b 两 边中一边趋向于 0 时,S 趋向于 0),所以 0 方法 2:同样的,已知 ab=2RsinA·2RsinB=sinA·sinB=sinA·sinπA=sinA· cosA+sinA=· sinAcosA+sin2A=sin2A+× =+sin2A-· cos2A=+sin2A-. 因为 A∈0,π,2A-∈,,所以 ab∈0,,所以 S=absinC∈0,. 类似的例子还有许多,在此不一一赘述,两种方法各有优劣. 方法 1 需对基本不等式能正 确应用,对目标式的下限能灵活应对;方法 2 则需对三角表达式的变形严谨踏实,不在符号、 数字上出差错.

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