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高中数学二次函数知识点总结

高中数学

安徽铜陵

姚老师:13866500720

二次函数知识点和常见题型
一. 二次函数的三种表示方法: (1)一般式 y ? ax 2 ? bx ? c
(2)顶点式 y ? a ( x ? m ) (3)两根式
2
2

? n

y ? a ( x ? x 1 )( x ? x 2 )

1 若 f ? x ? ? x ? bx ? c ,且 f ?1? ? 0 , f ? 3? ? 0 ,求 f ? ?1? 的值.
变式 1:若二次函数

f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c 的图像的顶点坐标为 ? 2, ?1? ,与 y 轴的交点坐标为(0,11),则
B. a

A.

a ? 1, b ? ? 4, c ? ? 1 1
? 3, b ? ? 6 , c ? 1 1

? 3, b ? 1 2 , c ? 1 1

C. a

D. a ? 3 , b ? ? 1 2 , c ? 1 1

变式 2:若

f ? x ? ? ? x 2 ? ? b ? 2 ? x ? 3, x ? [b , c ]
f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c
f

的图像 x=1 对称,则 c=_______.

变式 3:若二次函数

的图像与 x 轴有两个不同的交点
2

A ? x1 , 0 ?



B ? x2 ,0?



x1 2 ? x 2 2 ?

26 9 ,

试问该二次函数的图像由

?x?

? ? 3 ? x ? 1?

的图像向上平移几个单位得到?

二.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)有如下性质:
(1)顶点坐标 ( ?

b 4ac ? b 2 ;对称轴 b ; , ) x?? 2a 4a 2a
2

(2)若 a>0,且△=b -4ac≤0,那么 f(x)≥0, x (3)若 a>0,且 f(x)≥0,那么△≤0;

??

b 2a

时,

f ( x) min ?

4ac ? b 2 4a



(4)若 a>0,且存在 x0∈(-∞,+∞),使得 f(x0)≤0,那么△≥0; 若 a<0,有与性质 2、3、4 类似的性质

2 将函数 f ? x ? ? ?3 x ? 6 x ? 1 配方,确定其对称轴,顶点坐标,求出它的单调区间及最大
2

值或最小值,并画出它的图像.
f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c
?
B.

变式 1:已知二次函数

,如果

f

? x1 ? ?

f

? x 2 ? (其中 x1 ? x 2 ),则
4ac ? b 4a
? f
2

? x ? x2 ? f ? 1 ?? 2 ? ? (



?
A.

b 2a
f

b a

C.

c
f

D.

变式 2:函数 大小关系是(

?x?


? x

2

? px ? q

对任意的 x 均有

?1 ?

x

?

?1 ?

x

?

,那么

f ?0?



f

? ? 1? 、

f

?1 ?



A.

f ?1 ? ? f f ?1 ? ? f

? ? 1? ?0?

? f

?0?

B.

f

?0?

? f

? ? 1?

? f

?1 ?
y

C.

? f

? ? 1?

D.

f ? ? 1 ? ? f ? 0 ? ? f ?1 ?

1

O

x

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变式 3:已知函数

f

?x?

? ax2 ? bx ? c

的图像如右图所示,

请至少写出三个与系数 a、b、c 有关的正确命题_________.

三.二次函数的单调性:
b b 当 a ? 0 ,x∈(-∞,- ]时递减,x∈[- ,+∞) 时递增 2a 2a
当 a ? 0 ,x∈(-∞,- b b ]时递增,x∈[- ,+∞) 时递减 2a 2a
2

3. 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x , g ? x ? ? x ? 2 x ? x ? [2, 4]?
2



(1)求

f ? x?

g x , ? ? 的单调区间;(2) 求
f

f

? x ? , g ? x ? 的最小值.
)

变式 1:已知函数 A. a ? 3 变式 2:已知函数

?x?

? x2 ? 4ax ? 2
B. a

在区间

? ? ? , 6 ? 内单调递减,则 a 的取值范围是(
? ?3
D. a

?3

C. a

? ?3

f

?x?
?x?

? x 2 ? ? a ? 1? x ? 5

f 1 在区间( ,1)上为增函数,那么 2

? 2 ? 的取值范围是_________.

变式 3:已知函数

f

? ? x 2 ? kx

在 [ 2 , 4 ] 上是单调函数,求实数

k 的取值范围.

四.二次函数在给定区间的最值
设 f

?x ? ?

ax

2

? bx ? c ? a ? 0 ? ,则二次函数在闭区间 ? m , n ? 上的最大、最小值有如下的分布情况:

m?n??

b 2a

m ? ?

b ? n 2a

?


b ? ?m , n ? 2a

?

b ? m ? n 2a

f ? x ? max ? f ? m f ? x ? min ? f ? n ?

?

f ? x ? max f ? x ? min

? max

? f ? n ?, f ? m ??

f ? x ? max ? f ? n ? f ? x ? min ? f ? m ?

b ? ? ? f ?? ? 2a ? ?

对于开口向下的情况,讨论类似.其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论:

(1)若

?

b f ? ?m , n ? 2a ,则

? x ? max

? ? b ? ? ? max ? f ? m ? , f ? ? ? , f ? n ?? 2a ? ? ? ?

? ? b ? ? f ? x ? min ? min ? f ? m ?, f ? ? ? , f ? n ?? ? 2a ? ? ?

2

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(2)若

?

b ? 2a

?m

,n

?

,则

f ? x ? max ? max

? f ? m ?, f ? n ?? , f ? x ? min

? min

? f ? m ?, f ? n ??


另外, 当二次函数开口向上时, 自变量的取值离开对称轴越远, 则对应的函数值越大; 反过来, 当二次函数开口向下时, 变量的取值离开对称轴轴越远,则对应的函数值越小.

4. 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x , g ? x ? ? x ? 2 x ? x ? [2, 4]?
2 2



(1)求 f ? x ? , g ? x ? 的单调区间;(2) 求 f ? x ? , g ? x ? 的最小值.
变式 1:已知函数 A.

f

?x?

? x

2

? 2x ? 3

在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是 C.

?1, ? ? ?
? x

B.
2

?0, 2?

?1 , 2 ?

D.

??? , 2 ?

变式 2:若函数 y ? 3 变式 3:已知函数

? 4 的最大值为 M,最小值为 m,则 M + m 的值等于________.
在区间[0,2]上的最小值为 3,求 a 的值.

f

?x?

? 4 x2 ? 4ax ? a 2 ? 2a ? 2
2

变式 4:求二次函数 f ( x ) ? ? 2 x (1)定义域为

? 6 x 在下列定义域上的值域:
;(2) 定义域为

?x

? Z 0 ? x ? 3?

? ? 2 ,1 ? .

变式 5:函数

f (x) ? ?2 x2 ? 6 x ? ?2 ? x ? 2 ?

的值域是

? 3 2 ? ??20, ? 2 ? A. ?

? ?20, 4 ? B.

9? ? ? ?20, ? 2? C. ?

D. ?

9 ? ? ? ?20, ? 2 ?

变式 6:函数 y=cos2x+sinx 的值域是__________. 变式 7:已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx(a、b 为常数,且 a ≠ 0) ,满足条件 f (1 + x) = f (1-x),且方程 f (x) = x 有等根. (1)求 f (x) 的解析式; (2)是否存在实数 m、n(m < n) ,使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m,n] 和 [3m,3n],如果 存在,求出 m、n 的值,如果不存在,说明理由.

五. 奇偶性:b=0 时为偶函数,b≠0 时既非奇函数也非偶函数 5.已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ≥0 时, f ? x ? ? x ?1 ? x ? . 画出函数 f ? x ? 的 图像,并求出函数的解析式.
变式 1:若函数 A.增函数

f

?x?

?

?m

? 1? x 2 ?

?m

2

? 1? x ? 1

是偶函数,则在区间

??? ,0?



f

?

x

?



B.减函数

C.常数

D.可能是增函数,也可能是常数

变式 2:若函数

f ? x ? ? ax 2 ? bx ? 3 a ? b ? a ? 1 ? x ? 2 a ?
2

是偶函数,则点

? a , b ? 的坐标是________.

变式 3:设 a 为实数,函数 f ( x ) ? x

? | x ? a | ?1 , x ? R .

(I)讨论 f ( x ) 的奇偶性;(II)求 f ( x ) 的最小值.

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六.图像变换:

? x 2 ? 4 x ? 3, ?3 ? x ? 0 ? 0 ? x ? 1. 已知 f ( x) ? ? ?3 x ? 3, ? 2 ?? x ? 6 x ? 5,1 ? x ? 6
(1)画出函数的图象 ;(2)求函数的单调区间; (3)求函数的最大值和最小值.
变式 1:指出函数

y ? ? x2 ? 2 x ? 3
2

的单调区间.

变式 2:已知函数 f ( x ) ? | x 给下列命题:①

? 2 ax ? b | ( x ? R ) .

f ( x ) 必是偶函数; f ( x ) 的图像必关于直线 x=1 对称; ② 当 f ( 0 ) ? f ( 2 ) 时, 2 ③ 若 a ? b ? 0 ,则 f ( x ) 在区间[a,+∞ ) 上是增函数;
④ f ( x ) 有最大值 | a
2

? b |.

其中正确的序号是___③ 变式 3:设函数

f ( x ) ? x | x | ? bx ? c ,

给出下列 4 个命题:

①当 c=0 时, y ? f ( x ) 是奇函数; ②当 b=0,c>0 时,方程 f ( x ) ? 0 只有一个实根; ③ y ? f ( x ) 的图象关于点(0,c)对称; ④方程 f ( x ) ? 0 至多有两个实根. 上述命题中正确的序号为———— .

七.恒成立问题的基本类型:
类型 1:设

f ( x ) ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 ) ,

(1) f ( x ) ? 0 在 x ? R 上恒成立 ? a ? 0 且 ? ? 0 ; (2) f ( x ) ? 0 在 x ? R 上恒成立 ? a ? 0 且 ? ? 0 。

类型 2:设 (1)当 a

f ( x ) ? ax

2

? bx ? c ( a ? 0 )


? 0

时,

b ? b ? ? b ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? f ( x ) ? 0 在 x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? ? 或 或 2 a 2 a ? ? ? 2a ? ? ? f (? ) ? 0 ? ?? ? 0 ? f (? ) ? 0

f ( x ) ? 0 在 x ? [ ? , ? ] 上恒成立
(2)当 a

? f (? ) ? 0 ? ? ? f (? ) ? 0
? f (? ) ? 0

? 0 时,

? f (? ) ? 0 f ( x ) ? 0 在 x ? [ ? , ? ] 上恒成立 ? ?

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? f ( x ) ? 0 在 x ? [ ? , ? ] 上恒成立 ? ? ? 或? 或 ? 2a 2a ? 2a ? ? f (? ) ? 0 ? ?? ? 0
类型 3:

?

b

?

b

?

b

? ? f (? ) ? 0


f ( x ) ? ? 对一切
类型 4:

x ? I 恒成立

?

f ( x ) min

? ? ; f ( x) ?

? 对一切 x ? I 恒成立 ? f ( x ) max ? ?

f ( x ) ? g ( x ) 对一切 x ? I 恒成立 (x ? I )

? f ( x )的图象在

g ( x )的图象的上方或

f ( x ) min ? g ( x ) max

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当 a, b, c 具有什么关系时,二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的函数值恒大于零?恒小于零?
2

变式 1.若不等式 ( m ? 1 ) x

2

? ( m ? 1 ) x ? 2 ? 0 的解集是 R,求 m 的范围。

变式 2:已知函数 f (x) = lg (a x

2

+ 2x + 1) .

(I)若函数 f (x) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (II)若函数 f (x) 的值域为 R,求实数 a 的取值范围.

变式 3:已知函数

f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ? a ,若 x ? ? ?2, 2? 时,有 f ( x ) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围.
2

变式 4:若 f (x) = x + bx + c,不论 ?、? 为何实数,恒有 f (sin ? )≥0,f (2 + cos ? )≤0. (I) 求证:b + c = -1; (II) 求证: c≥3; (III) 若函数 f (sin ? ) 的最大值为 8,求 b、c 的值.

八.根与系数关系 一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 ,用配方法将其变形为: ( x ? 断二次方程有几个解;
x1 ? ? b ? b 2 ? 4ac ? b ? b 2 ? 4ac , x2 ? 2a 2a

b 2 b 2 ? 4ac ; ?? b 2 ? 4ac 来判 ) ? 2a 4a 2 c ; (韦达定理) 。 a

x1 ? x 2 ? ?

b a

, x1 . x 2 ?

例 8:若

x1 , x 2 是方程 x 2 ? 2 x ? 2009 ? 0 的两个根,试求下列各式的值:
(2)
2

(1) x1 2 ? x 2 2 ;
变式 1:二次函数

1 1 ; ? x1 x 2

(3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ;

(4) | x1 ? x2 | .


y ? ax

? b 与一次函数 y ? ax ? b ( a ? b ) 在同一个直角坐标系的图像为(

y
O A.
变式 2:直线 y ? mx

y
O O B.

y x
C. O

y x
D.
2

x
? 3 与抛物线 C 1

x

: y ? x 2 ? 5 mx ? 4 m , C 2 : y ? x 2 ? ( 2 m ? 1 ) x ? m ? 3,

C 3 : y ? x 2 ? 3m x ? 2 m ? 3

中至少有一条相交,则 m 的取值范围是什么?

变式 3:对于函数 f (x),若存在 x0 ( R,使 f (x0) = x0 成立,则称 x0 为 f (x) 的不动点.如果函数 f (x) = a x 2 + bx + 1(a > 0)有两个相异的不动点 x1、x2. (I)若 x1 < 1 < x2,且 f (x) 的图象关于直线 x = m 对称,求证 m > (II)若 | x1 | < 2 且 | x1-x2 | = 2,求 b 的取值范围. 1 2 ;

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二次函数答案

1.解析式、待定系数法
b ? ? ? 2 a ? 2 ? 2 ? 4 a c ? b ? ? 1 ? 4 a ? ? c ? 1 1 ? 解:由题意可知 ?

变式 1:

,解得

?a ? 3 ? ?b ? ?12 ?c ? 11 ?

,故选 D.

b ? 2 ? 1 变式 2: 解:由题意可知 2 ,解得 b=0,∴

0?c ?1 2 ,解得 c=2.
? ? 3 ? x ? 1? ? k
2

变式 3:解:由题意可设所求二次函数的解析式为

f

?x?

,展开得

f

?x? ?

?3x2 ? 6 x ? 3 ? k





x1 ? x 2 ? 2, x1 x 2 ?
x1 2 ? x 2 2 ?

3?k 3





? x1

? x2

?

2

? 2 x1 x 2 ?
f

26 4 9 ,即
? ?3

?

2

?3
2

? k 3

?

?

2 6 k 9 ,解得

?

4 3 .

所以,该二次函数的图像是由

?x?

?

x ? 1?

的图像向上平移

4 3

单位得到的,它的解析式是

f

?x?

? ? 3 ? x ? 1? ?
2

4 f 3 ,即

?x? ?

?3x2 ? 6 x ?

5 3



2.图像特征
x1 ? x 2 变式 1: 解:根据题意可知
2

? ?

b 2 a ,∴

? x ? x2 ? 4ac ? b2 f ? 1 ? ? 2 ? ? 4a ,故选 D.
f

变式 2: 解:∵

f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ?

,∴抛物线

?x?

? x2 ? px ? q

的对称轴是

x ?1,

?


p ?1 2 即 p ? ?2 ,
? x2 ? 2x ? q
? f
,∴



f

?x?
f

f

?0?

? q



f

?

? 1

?

? 3 ? q



f

?1 ?

? ?1 ? q



故有

? ?1?

?0?

? f

?1 ?

,选 C.

变式 3: 解:观察函数图像可得: a>0(开口方向);② c=1(和 y 轴的交点);
f ③ 4 a ? 2 b ? 1 ? 0 (和 x 轴的交点);④ a ? b ? 1 ? 0 (

?1 ?

? 0

);

b 1? ? ? 2 2 b ? 4 a ? 0 2 a ⑤ (判别式);⑥ (对称轴).

3.单调性
变式 1: 解:函数 由已知函数在区间

f

?x?

? x

2

? 4ax ? 2

图像是开口向上的抛物线,其对称轴是 x ? ? 2 a ,
,6

? ? ? , 6 ? 内单调递减可知区间 ? ? ?
? ? 3 ,故选 D.

? 应在直线 x

? ? 2 a 的左侧,

∴ ? 2 a ? 6 ,解得 a 变式 2:解:函数

f ? x ? ? x 2 ? ? a ? 1? x ? 5
x ?
重合或位于直线

在区间(

1 2

,1)上为增函数,由于其图像(抛物线)开口向上,所以其对称轴

x ?

a ?1 1 x ? 2 或与直线 2
f

1 a ?1 1 ? 2 的左侧,即应有 2 2 ,解得 a ? 2 ,
f



?2?

? 4 ? ? a ? 1? ? 2 ? 5 ? 7

,即

?2?

? 7



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变式 3:解:函数

f

?x?

? ? x 2 ? kx

的图像是开口向下的抛物线,经过坐标原点,对称轴是

x ?

k 2 ,



已知函数在 [ 2 , 4 ] 上是单调函数,∴

区间 [ 2 , 4 ] 应在直线

x ?

k 2 的左侧或右侧,

k k ? 4 ? 2 2 即有 或 2 ,解得 k ? 4 或 k ? 8 .

4.最值
变式 1: 解:作出函数

f

?x?

? x2 ? 2x ? 3

的图像,

开口向上,对称轴上 x=1,顶点是(1,2),和 y 轴的交点是(0,3), ∴m 的取值范围是 1

? m ? 2

,故选 C.
2

变式 2: 解:函数有意义,应有 ? x ∴ ∴

? 4 ? 0 ,解得 ? 2

? x ? 2,
? x2 ? 4 ? 6 ,

0 ? ? x2 ? 4 ? 4 ( 0 ?
M=6,m=0,故 M + m=6.

? x2 ? 4 ? 2

( 0 ? 3

变式 3: 解:函数
0 ?

f

?x?

f

的表达式可化为

?x?
?

a ? ? ? 4 ? x ? ? 2 ? ?

2

?

?2

? 2a

?



① 当

a ? 2 2 ,即 0

? a ? 4

时,

f

x

? 有最小值 2 ? 2 a ,依题意应有 2 ? 2 a ? 3 ,解得 a ? ? 2 ,这个值与

1

0 ? a ? 4 相矛盾.
a ? 0 f ②当 2 ,即 a ? 0 时,
又∵ a ? 0 ,∴ a ? 1 ?

?0?

? a2 ? 2a ? 2

是最小值,依题意应有 a

2

? 2 a ? 2 ? 3 ,解得 a

?1?

2 ,

2 为所求.

a ? 2 f ③当 2 ,即 a ? 4 时,
依题意应有 1 6 ? 8 a ? a 综上所述, a
2

?2?

? 16 ? 8a ? a 2 ? 2a ? 2

是最小值,

? 2 a ? 2 ? 3 ,解得 a ? 5 ?

1 0 ,又∵ a ? 4 ,∴ a ? 5 ?

1 0 为所求.

? 1?

2

或a

? 5?

10



变式 4: 解:作出函数

f (x) ? ?2 x2 ? 6 x ??2 ? x ? 2?

的图象,容易发现在 ?

3? ? ?3 ? ,2? ? ?2, ? 2 ? 上是增函数,在 ? ?2 ?上
? ?20, 9 ? ? 2 ? .

f 是减函数, 求出 f ( ? 2 ) ? ? 2 0 ,

(2) ? 4



f (

3 9 ) ? 2 2 , 注意到函数定义不包含

x ? ? 2 ,所以函数值域是 ? ?

变式 6:解:∵ y= cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1,令 t= sinx ( [-1,1], 则 y=-2t2+t+1,其中 t( [-1,1], ∴y ( [-2, 9 8 ],即原函数的值域是[-2, 9 8 ].

变式 7: 解:(I) ∵

f (1 + x) = f (1-x),∴ -

b 2a

= 1,又方程 f (x) = x 有等根 ( a x 2 + (b-1) x = 0 有等根,

1 1 ∴ △= (b-1) 2 = 0 ( b = 1 ( a = - ,∴ f (x) = - x 2 + x. 2 2 (II) ∵ f (x) 为开口向下的抛物线,对称轴为 x = 1, 1( 当 m≥1 时,f (x) 在 [m,n] 上是减函数,∴ 1 3m = f (x)min = f (n) = - n 2 + n 2 (*),

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1 1 3n = f (x)max = f (m) = - m 2 + m,两式相减得:3 (m-n) = - (n 2-m 2) + (n-m), 2 2 ∵ 1≤m < n,上式除以 m-n 得:m + n = 8,代入 (*) 化简得:n 2-8n + 48 = 0 无实数解. 1 3m = f (x)min = f (m) = - m 2 + m, 2

2( 当 n≤1 时,f (x) 在 [m,n] 上是增函数,∴

1 3n = f (x)max = f (n) = - n 2 + n,∴ m = -4,n = 0. 2 3( 当 m≤1≤n 时,对称轴 x = 1 ( [m,n],∴ 综合上述知,存在 m = -4、n = 0 满足条件. 3n = f (x)max = f (1) = 1 2 ( n = 1 6 与 n≥1 矛盾.

5.奇偶性
变式 1: 解:函数 当m
f

?

x

?

?

?m

? 1

?

x

2

?

?m

2

? 1

?

x ? 1

是偶函数 ( m

2

? 1 ? 0

( m ? ?1 ,

? 1 时, f

? x ? ? 1 是常数;当 m

? ? 1 时, f

?x? ?

?2 x2 ? 1
a ? 1 3 且b

,在区间

? ? ? , 0 ? 上 f ? x ? 是增函数,故选 D.
? 1 ? , 0 ? 3 ?

变式 2:解:根据题意可知应有 a ? 1 ? 2 a ? 0 且 b ? 0 ,即 变式 3: 解: (I)当 a ? 0 时,函数

? ? 0 ,∴点 ? a , b ? 的坐标是 ?



f ( ? x ) ? ( ? x ) 2 ? | ? x | ? 1 ? f ( x ) ,此时, f ( x ) 为偶函数;

当 a ? 0 时,

2 f (a ) ? a 2 ? 1 , f (? a ) ? a ? 2 | a | ?1 ,

f (a ) ? f (? a ) ,

f ( a ) ? ? f ( ? a ) ,此时

f ( x ) 既不是奇函数,也不是偶函数.
1 2 3 ) ? a ? 2 4 ,
2

(II) (i)当 x ? a 时,

f (x) ? x

2

? x ? a ? 1 ? (x ?

a ?


1 2 ,则函数 f ( x ) 在 ( ?? , a ] 上单调递减,从而函数 f ( x ) 在 ( ?? , a ] 上的最小值为 f ( a ) ? a

? 1.

a ?


1 1 1 3 f ( ) ? f (a ) f ( ) ? ? a 2 2 ,则函数 f ( x ) 在 ( ?? , a ] 上的最小值为 2 4 ,且 .
f (x) ? x
2

(ii)当 x ? a 时,函数
1 2 ,则函数

? x ? a ? 1 ? (x ?

1 ) 2

2

? a ?

3 4 ,



a ? ?

f ( x ) 在 ( ?? , a ] 上的最小值为

f (?

1 1 3 f (? ) ? f (a ) ) ? ? a 2 2 4 ,且 ,
2



a ? ?

1 2 ,则函数 f ( x ) 在 [ a , ?? ) 上单调递增,从而函数 f ( x ) 在 [ a , ?? ) 上的最小值为 f ( a ) ? a

? 1.

综上,当

a ? ?

1 1 1 3 ? ? a ? ? a 2 2 时,函数 f ( x ) 的最小值为 a 2 时,函数 f ( x ) 的最小值为 4 ;当

2

? 1;

a ?


1 3 ? a 2 时,函数 f ( x ) 的最小值为 4 .

6.图像变换
变式 1: 解:函数可转化为二次函数,作出函数图像,由图像可得单调区间.
2 x ? 0 时, y ? ? x ? 2 x ? 3 ? ? ? x ? 1 ? ? 4 2





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2 x ? 0 时, y ? ? x ? 2 x ? 3 ? ? ? x ? 1 ? ? 4 2



作出函数图像,由图像可得单调区间.



? ? ? , ? 1 ? 和 ? 0 , 1 ? 上,函数是增函数;在 ? ? 1, 0 ? 和 ? 1, ? ? ? 上,函数是减函数.
a ? 1, b ? 1, 则 f ( x ) ? | x 2 ? 2 x ? 1 | ? x 2 ? 2 x ? 1 ,显然不是偶函数,所以①是不正确的;
f ( x ) ? | x 2 ? 2 x ? 4 | ,满足 f ( 0 ) ? f ( 2 ) ,但 f ( x ) 的图像不关于直线 x=1 对称,所以②

变式 2: 解:若

若a ? ? 1, b ? ? 4 , 则 是不正确的;



a2 ? b ? 0

,则

f ( x ) ? | x 2 ? 2 a x ? b |? x 2 ? 2 a x ? b

,图像是开口向上的抛物线,其对称轴是

x ? a ,∴

f ( x ) 在区间[a,+∞ ) 上是增函数,即③是正确的;

显然函数

f ( x ) ?| x 2 ? 2 ax ? b | ? x ? R ?

没有最大值,所以④是不正确的.

变式 3: 解:

2 ? ? x ? bx ? c, x ? 0 f ( x) ? x | x | ?bx ? c ? ? 2 ? ?? x ? bx ? c, x ? 0 ,

(1)当 c=0 时,

f ( x) ? x x ? bx

,满足

f (? x) ? ? f ? x ?

,是奇函数,所以①是正确的;

? x 2 ? c, x ? 0 ? f (x) ? x x ? c ? ? 2 ? ?? x ? c, x ? 0 , (2)当 b=0,c>0 时,

?? x2 ? c ? 0 ?x2 ? c ? 0 ? ? x ? 0 f (x) ? 0 即? x ? 0 方程 或? ,
?x2 ? c ? 0 ? ?x ? 0 ?? x2 ? c ? 0 ? ?x ? 0

显然方程 (3)设

无解;方程

的唯一解是 x ? ?

c ,所以② 是正确的;

? x 0 , y 0 ? 是函数

f ( x ) ? x | x | ? b x ? c 图像上的任一点,应有 y 0 ? x 0 | x 0 | ? b x 0 ? c ,

而 该 点 关 于 ( 0 , c ) 对 称 的 点 是

??

x0 , 2c ? y0

?

, 代 入 检 验

2 c ? y0 ? ? x0 | x0 | ? b x0 ? c



? y

0

? ? x0 | x0 | ? bx0 ? c

, 也 即

y0 ? x0 | x0 | ? b x0 ? c

, 所 以

? ? x0 , 2 c

? y0

?

也 是 函 数

f ( x ) ? x | x | ? b x ? c 图像上的点,所以③是正确的; (4)若 b ? ? 1, c ? 0 ,则 f ( x ) ? x | x | ? x ,显然方程 x | x | ? x ? 0 有三个根,所以④ 是不正确的.

7.值域 8.恒成立问题
变式 1: 解:(I) 函数 f (x) 的定义域为 R,即不等式 a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R, ∴应有 ∴ > 0 { △= a 4-4a < 0 ( a > 1,

实数 a 的取值范围是(1,+() .

(II) 函数 f (x) 的值域为 R,即 a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+() 的所有值.

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1( 当 a = 0 时,a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1 满足要求; 2( 当 a ≠ 0 时,应有 ∴ > 0 { △= a 4-4a ≥0 ( 0 < a≤1.

实数 a 的取值范围是[0,1] .

变式 2: 解法一:(转化为最值)

f ( x ) ? 2 在? ? 2 , 2

? 上恒成立,即


f (x) ? x

2

? a x ? 1 ? a ? 0 在 ? ? 2 , 2 ? 上恒成立.



? ? a 2 ? 4 ?1 ? a ? ? 0

? ?2 ? 2 2 ? a ? ?2 ? 2 2



?? ? f ? ? ? f ? ?? ? ⑵?

? a 2 ? 4 (1 ? a ) ? 0 (2) ? 0 (?2) ? 0 a a ? 2或 ? ? ?2 2 2 ,? ? 5 ? a ? ? 2

2?2.

综上所述 ?

5 ? a ? 2

2 ? 2.

解法二: (运用根的分布)

?
⑴当

a ? ?2 2 ,即 a ? 4 时,应有 g ( a ) ? f ( ? 2 ) ? 7 ? 3 a ? 2 , 即 a ? 5 ,? a 不存在;

3

?2 ? ?
⑵当 即- 2

a a a2 ? 2 g (a ) ? f (? ) ? ? ? a ? 3 ? 2 2 2 4 ,即 ? 4 ? a ? 4 时,应有 ,
2 ? 2 ,? ? 4 ? a ? 2

2 ? 2 ? a ? 2

2 ? 2 ;

⑶当

?

a ? 2 2 ,即 a ? ? 4 时,应有 g ( a ) ? f ( 2 ) ? 7 ? a ? 2 ,即 a ? ? 5 ,

? ?5 ? a ? ?4

综上所述 ?

5 ? a ? 2 2 ?2.

变式 3: 证明:(I) 依题意,f (sin ∴

错误!)

= f (1)≥0,f (2 + cos () = f (1)≤0,

f (1) = 0 ( 1 + b + c = 0 ( b + c = -1, (*)

(II) 由 (I) 得: f (x) = x 2-(c + 1) x + c ∵

f (2 + cos ( )≤0 ( (2 + cos ( ) 2-(c + 1) (2 + cos ( ) + c≤0

( (1 + cos ( ) [c-(2 + cos ( )]≥0,对任意 ( 成立. ∵ ∴ 1 + cos ( ≥0 ( c≥2 + cos ( , c≥(2 + cos ( )max = 3.

(III) 由 (*) 得:f (sin ( ) = sin 2(-(c + 1) sin ( + c, 设 t = sin ( ,则 g(t) = f (sin ( ) = t 2-(c + 1) t + c,-1≤t≤1, 这是一开口向上的抛物线,对称轴为 t = c + 1 2 ,

3 + 1 由 (II) 知:t≥ = 2, 2 ∴ g(t) 在 [-1,1] 上为减函数. ∴ g(t)max = g(-1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8, ∴ c = 3 ∴ b = -c-1 = -4.

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9.根与系数关系
变式 1: 解: 二次函数

y ? ax

2

? b 与一次函数图象 y ? ax ? b

交于两点

( o , b ) 、( 1 , a

a,b ? b) , 由二次函数图象知

a , b 异号,互相矛盾,故舍去 B , C . 同号,而由 B , C 中一次函数图象知
又由 a ? b 相符. 变式 2: 解:原命题可变为:求方程 mx
? 3 ? x
2

知,当 a ? b ? 0 时,

?

b ? ?1 a ,此时与

A 中图形不符,当 0
? 4 m , mx

? a ? b 时,

?

b ? ?1 a ,与 D 中图形
2

? 5 mx

? 3 ? x

2

? ( 2 m ? 1) x ? m

? 3,

mx ? 3 ? x

2

? 3 mx ? 2 m ? 3 中至少有一个方程有实数解,而此命题的反面是: “三个方程均无实数解” ,于是,从全体

实数中除去三个方程均无实数解的

m 的值,即得所求.

? ( 4 m ) 2 ? 4 ( ? 4 m ? 3) ? 0, ? 2 2 ? ( m ? 1) ? 4 m ? 0 , 3 ?4 m 2 ? 4(?2 m ) ? 0, ? ? m ? ?1 2 解不等式组 ? 得 ,
故符合条件的 m 取值范围是

m ? ?

3 2 或m ? ?1 .
b 2a ∵ g(x) = f (x)-x = a x 2 + (b-1) x + 1,a > 0,

变式 3: 解:(I) 由 f (x) 表达式得 m = -



x1,x2 是方程 f (x) = x 的两相异根,且 x1 < 1 < x2,∴

b b 1 1 g(1) < 0 ( a + b < 0 ( - > 1 ( - > ,即 m > . a 2a 2 2 ,x1x2 = 1 a ,

(II) △= (b-1) 2-4a > 0 ( (b-1) 2 > 4a,

x1 + x2 =

1-b a



1-b 4 | x1-x2 | 2 = (x1 + x2) 2-4x1x2 = ( ) 2- = 2 2,∴ a a | x1-x2 | = 2,∴ x1、x2 到 g(x) 对称轴 x = 1-b 2a 1-b 2a

(b-1) 2 = 4a + 4a 2

(*)



的距离都为 1,

要 g(x) = 0 有一根属于 (-2,2),则 g(x) 对称轴 x =

( (-3,3),∴ -3 <

b-1 2a

< 3 ( a >

1 6

| b-1 |,

把代入 (*) 得:(b-1) 2 >

2 3 1 4

| b-1 | +

1 9

(b-1) 2,解得:b <

1 4

或 b >

7 4



∴ b 的取值范围是:(-(,

)∪(

7 4

,+().

11