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§3.2.2函数模型的应用实例

『人教版·新课标』

『高中数学教案』

课题:§3.2.2 函数模型的应用实例(Ⅰ)
教学目标: 知识与技能 能够找出简单实际问题中的函数关系式, 初步体会应用一次函数、 二 次函数模型解决实际问题. 过程与方法 感受运用函数概念建立模型的过程和方法, 体会一次函数、 二次函数 模型在数学和其他学科中的重要性. 情感、 态度、 价值观 体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实 用价值. 教学重点: 重点 难点 运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题. 运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题.

教学程序与环节设计:

创设情境

实际问题引入,激发学习兴趣.

组织探究

以实际应用问题为载体,体会选择变量、建立模型, 解决实际问题的的思想与方法.

探索研究

结合例题的探究方法,总结运用函数概念建立模型 的过程和方法,形成结论性报告.

巩固反思

师生交流共同小结, 归纳一般的应用题的求 解方法步骤.

作业回馈

强化基本方法,规范基本格式.

课外活动

运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单 问题,了解函数模型的广泛应用.

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教学过程与操作设计: 环节 教学内容设计 大约在一千五百年前,大数学家孙子在《孙子 算经》中记载了这样的一道题:“今有雏兔同笼, 师: 介绍孙子的大胆解 上有三十五头,下有九十四足,问雏兔各几何?” 这四句的意思就是:有若干只鸡和兔在同一个笼子 创 设 情 境 里,从上面数,有三十五个头;从下面数,有九十 四只脚。求笼中各有几只鸡和兔?你知道孙子是如 何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗? 你有什么更 好的方法? 原来孙子提出了大胆的设想。 由此可见我们所学过的方程、函数,在现实生 活中都有着广泛的应用,怎样才能从实际问题入 手,运用所学知识,通过抽象概括,建立数学模型 来解决实际问题呢? 法: 他假设砍去每只鸡 和兔一半的脚, 则每只 鸡和兔就变成了“独脚 鸡”和“双脚兔”。 这样, “独脚鸡” 和“双脚 兔” 脚的数量与它们头的 数量之差,就是兔子 数,即:47-35=12; 鸡数就是: 35-12=23。 激发学生学习兴趣, 增 强其求知欲望. 生: 用方程的思想解答 “鸡兔同笼”问题. 师生双边互动

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材料一:一次函数、二次函数的应用举例 例 1.某列火车从北京西站开往石家庄,全程 277km, 火车出发 10min 开出 13km 后, 120km/h 以 匀速行驶.试写出火车行驶的总路程 S 与匀速行驶 的时间 t 之间的关系式, 并求火车离开北京 2h 内行 驶的路程. 组 探索: 1)本例所涉及的变量有哪些?它们的取值范 围怎样; 织 2)所涉及的变量的关系如何? 3)写出本例的解答过程. 探 例 2.某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每只定价 20 元,茶杯每只定价 5 元,该商店制定了两种优惠 办法: 究 1) 买一只茶壶赠送一只茶杯; 2) 按总价的 92%付款. 若购买茶杯 x (只)付款 y (元) ,试分别建立两 种优惠办法中 y 与 x 之间的函数关系式,并讨论该 顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪种更省钱?

师:引导学生独立思 考,完成解答.引导学 生分析自变量 t 的取值 范围(即函数的定义 域) ,注意 t 的实际意 义. 生:独立思考,完成解 答, 并进行讨论、 交流、 评析.

师:本例从现实生产、 生活实际出发, 要引导 学生认识到数学与实 际的联系, 体会数学的 实用价值, 享受数学的

某顾客需买茶壶 4 只, 茶杯若干 (不少于 4 只) 应用美. , 生:正确理解题意,认 真思考、讨论,交流做 法,给出解答.

环节

教学内容设计

师生双边互动

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师: 注意提醒学生对于 探索: 组 1)本例所涉及的变量之间的关系可用何种函 数模型来描述? 2)本例涉及到几个函数模型? 织 3)如何理解“更省钱?” ; 4)写出具体的解答过程. 探 师:引导学生认识:数 学模型是用数学语言 模拟现实的一种模型, 它把实际问题中某些 事物的主要特征和关 系抽象出来, 并用数学 语言来表达. 数学模型 究 可采用各种形式, 如方 程(组) ,函数解析式, 图形与网络等. 应用题一定要回来到 实际问题中作答.

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例 3.某农家旅游公司有客房 300 间,每间日 房租为 20 元,每天都客满.公司欲提高档次,并 提高租金,如果每间客房每日增加 2 元,客房出租 数就会减少 10 间.若不考虑其他因素,旅社将房 间租金提高到多少时,每天客房的租金总收入最 高? 探索: 1) 本例涉及到哪些数量关系? 2) 应用如何选取变量,其取值范围又如何? 3) 应当选取何种函数模型来描述所选变量的 关系? 4) “总收入最高”的数学含义如何理解?

师: 注意引导学生分析 题目中所涉及的各数 量关系, 及其之间的关 系. 生:思考如何选取变 量, 建立不同的函数模 型. 师: 引导学生注意本例 由于客房间数不太多, 为了理解本应用题, 可 以选用列表法求解. 师: 注意引导学生恰当

[略解:] 设客房日租金每间提高 x 个 2 元,则每天客房 出租数为 300-10 x , 由 x >0,且 300-10 x >0 得:0< x <30 设客房租金总收入元,则有:老派

选取变量, 简化函数模 型, 如可设客房日租金 每间提高 x 个 2 元. 生:仔细分析题意,根 据老师的引导启发, 选

y ? (20 ? 2 x)(300 ? 10x)
2

取适当的变量, 建立恰 ? ?20( x ? 10) ? 8000 (0< x <30) 由二次函数性质可知当 x =10 时, y max=8000. 当的函数模型, 进行解 所以当每间客房日租金提高到 20+10×2=40 元 时,客户租金总收入最高,为每天 8000 元. 环节 组 织 探 例 4.教材 P123 例 5. 呈现教学材料 答,然后交流、进行评 析.

师生互动设计 生:仿照例 3 给出例 4 的解答过程,然后讨 论、 交流, 并进行评析.

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(仿照例 3 给出例 4 的解答过程)

师: 引导学生注意在将 根据前面例题的探索研究,总结运用函数概念 建立模型研究解决某些实际问题的过程和方法: 探 究 与 发 现 1)建立实际问题中的变量之间的函数关系, 从而将实际问题转化为函数问题; 2)运用所学知识研究函数问题得到函数问题 的解答; 3)将函数问题的解翻译或解释成实际问题的 解,从而解决实际问题. 实际问题向数学问题 的转化过程中, 能画图 的要画图, 可借助于图 形的直观性, 研究两变 量间的联系. 抽象出数 学模型时, 注意实际问 题对变量范围的限制.

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尝试练习: 1) 某单位计划 10 月份组织员工到 H 地旅游, 人数估计在 10~25 人之间.甲、乙两旅行社的服务 质量相同,且组织到 H 地旅游的价格都是每人 200 元,甲旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠;乙 旅行社表示先免去一位旅客的旅游费用,其余游客 八折优惠.问该单位怎样选择,使其支付的旅游费 用较少? 巩 固 与 反 思 2) 某商店如果将进货单价为 8 元的商品按每 件 10 元出售,每天可售 100 件,现在商店用提高 出售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商 品涨价 1 元,其销售量就减少 10 件,问该商店将 出售价定为多少才能使每天赚得的利润最大?并 求出最大利润. 3)要建一个容积为 8m3,深为 2m 的长方体无 盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元,试求应当怎样设计,才能使水池总 造价最低?并求此最低造价. 小结与反思: 共同小结,归纳一般的应用题的求解方法步 骤. 环节 作 业 与 回 馈 教材 P127 习题 32(A 组)第 6、7 题; 呈现教学材料 师生互动设计

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设计并解决一个生活中的一次函数或二次函 数的应用性问题. 课 外 活 动 运用函数思想理 解和处理现实生活和 社会中的简单问题, 了 解函数模型的广泛应 用.

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