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((人教版))[[高二数学教案]]高二数学《数学归纳法》学案

2.3.1 数学归纳法

教学目标: 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 教学重点: 了解数学归纳法的原理 教学过程 一、 二、 复习:推理与证明方法 引入新课

1、数学归纳法:对于某些与自然数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证明 它的正确性:先证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立;然后假设当 n=k(k?N*,k≥ n0)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立 这种证明方法就叫做数学归纳法
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2、 数学归纳法的基本思想:即先验证使结论有意义的最小的正整数 n0,如 果当 n=n0 时,命题成立,再假设当 n=k(k≥n0,k∈N*)时,命题成立.(这时命题是 否成立不是确定的),根据这个假设,如能推出当 n=k+1 时,命题也成立,那么就 可以递推出对所有不小于 n0 的正整数 n0+1,n0+2,…,命题都成立. 3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤:

(1)证明:当 n 取第一个值 n0 结论正确; (2)假设当 n=k(k∈N*,且 k≥n0)时结论正确,证明当 n=k+1 时结论也正确. 由(1),(2)可知,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确 4、例子 例1 用数学归纳法证明:如果{an}是一个等差数列,那么 an=a1+(n-1)d 对一切 n∈N* 都成立.
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例 2 用数学归纳法证明

1? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ?10 ? ? ? n(3n ? 1) ? n(n ? 1) 2
例 3 判断下列推证是否正确,若是不对,如何改正.

1 1 1 1 1 求证: + 2 + 3 +?+ n ? 1 ? ( ) n 2 2 2 2 2
1 证明:①当 n=1 时,左边= 2
1 ?1? 右边= 1 ? ? ? ? ,等式成立 2 ?2?
1

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1 1 1 1 1 ②设 n=k 时,有 + 2 + 3 +?+ k ? 1 ? ( ) k 2 2 2 2 2

那么,当 n=k+1 时,有

1 1 1 1 1 + 2 + 3 +?+ k ? k ?1 ? 2 2 2 2 2
即 n=k+1 时,命题成立

1? ?1? ?1 ? ? ? 2? ? ?2? 1? 1 2

k ?1

? ? k ?1 ? ? ? 1? ? 1 ? ? ? ?2?

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根据①②问可知,对 n∈N*,等式成立

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课堂练习:第 80 页练习 课后作业:第 82 页 A:1,2,3