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4.掌握问题模型.冲刺抽象函数问题


第 2 讲:掌握问题模型.冲刺抽象函数问题

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第 2 讲:掌握问题模型.冲刺抽象函数问题
抽象函数问题具有抽象性、隐蔽性、综合性和技巧性,解决客观题中的抽象函数问题,常用的方法是函数模型法,掌握 抽象函数问题的模型是解决的关键.

例 1:奇偶性质.
[始源问题]:(2010 年课杯高考试题)设偶函数 f(x)满足 f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=(
(A){x|x<-2 或 x>4}
3

) (D){x|x<-2 或 x>2}

(B){x|x<0 或 x>4}

(C){x|x<0 或 x>6}

[解析]:由 f(x)=x -8(x≥0) ? f(2)=0,且 f(x)在(0,+∞)内单调递增,又因 f(x)是偶函数,所以 f(x-2)>0 ? f(|x-2|)>
f(2) ? |x-2|>2 ? x<0 或 x>4.故选(B).

[原创问题]:已知 g(x)=f(x)+x2 是奇函数,且 f(lg2)=lg5lg20,则 g(lg 1 )=
2

.

[解析]:由 g(x)是奇函数 ? g(lg 1 )=g(-lg2)=-g(lg2)=-[f(lg2)+lg22]=-[lg5lg20+lg22]=-[(1-lg2)(1+lg2)+lg22]=
2

-1.

[原创问题]:已知函数 f(x)=x3+lg [解析]:令 g(x)=x3+lg

2? x +6,且 f(a)=4,则 f(-a)= 2?x

.

2? x ,则 g(x)是奇函数 ? f(a)+f(-a)=[g(a)+6]+[g(-a)+6]=[g(a)+g(-a)]+12=12 ? f(-a)=8. 2?x

[原创问题]:已知单调函数 y=f(x+1)是奇函数,若 f(a)+f(b)=0,则(
(A)a+b=0 (B)a+b=2

) (C)a-b=0 (D)a-b=2
a?b =1 ? 2

[解析]:由 y=f(x+1)是奇函数 ? f(x+1)+f(-x+1)=0 ? 单调函数 f(x)关于点(1,0)对称;又由 f(a)+f(b)=0 ?
a+b=2.故选(B).

[原创问题]:设 f(x)= [解析]:由 f(x)=
1

1 2 ? 1 ? tan x

,则 f(1 )+f(2 )+?+f(44 )=
0

0

0

0

.
1 2 ? 1 ? tan(450 ? x)

2 ? 1 ? tan x

? f(x)+f(45 -x)=

1 2 ? 1 ? tan x

+

=

1 2 ? 1 ? tan x

+

1 ? tan x 2 ( 2 ? 1 ? tan x)

=

2 0 0 0 ? f(1 )+f(2 )+?+f(44 )=11 2 . 2

例 2:周期函数.
[始源问题]:(1993 年希望杯数学邀请赛试题)定义域为 R 的函数 y=f(x)的值域为 R+,对任何 x∈R 都有 lg[f(x+1)]+
lg[f(x-1)]=
2

lg[f(x)],则 f(x-2)f(x+2)=
2

.
f 2

[解析]:由 lg[f(x+1)]+lg[f(x-1)]=
f 2 ( x ? 1) f 2 ( x ? 1) f 2 ( x) f ( x ? 1)] = [ f ( x ? 1) 2 f ( x)
2

lg[f(x)] ? f(x-1)f(x+1)=
2

(x) ? f(x-2)f(x+2)=

[ f ( x ? 2) f ( x)][ f ( x) f ( x ? 2)] f 2 ( x)

=

= [f

( x)] 2

f 2 ( x)

=1.
2

本题还有如下解法:令 g(x)=lg[f(x)],则 g(x+1)= 期的周期函数 ? f(x+4)=
1 ? f ( x)

g(x)-g(x-1) ? g(x)是以 8 为周期的周期函数 ? f(x)是以 8 为周

f(x)f(x+4)=1 ? f(x-2)f(x+2)=1.
3

本题为我们提供了周期函数的变换方法,如 f(x)= f(x)=lgg(x) ? g(x-2a)g(x)= g
3

f(x-a)-f(x-2a),则函数 f(x)是以 T=12a 为周期的周期函数,令

(x-a),则函数 g(x)是以 T=12a 为周期的周期函数;又如 f(x-a)f(x+a)=f(x),则函数

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f(x)是以 T=6a 为周期的周期函数,令 f(x)=2
g(x)

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,则 g(x-a)+ g(x+a)=g(x),则函数 g(x)是以 T=6a 为周期的周期函数
2

[原创问题]:己知函数 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有 f(x)f(x+2)=sin( ? x),则 f(98)
的值是( (A)1 ) (B)2
2 4

(C)0
4

(D)-1
4 4

[解析]:由 f(x)f(x+2)=sin( ? x) ? f(x)f(x+2)=2sin( ? x)cos( ? x) ? f(x)f(x+2)=2sin( ? x)sin[ ? (x+2)].令 g(x)
=
?

f ( x) sin(

?
4

?

g(x)是奇函数,且 g(x+2)g(x)=2 ? g(x)是周期为 4 的周期函数 ? g(2)=0 ? g(98)=g(2)=0 ?

x)

sin(

f (98) 49? ) 2

=0

f(98)=0. .

[原创问题]:己知函数 f(x)是定义在 R 上满足:对任意实数 x 都有:f(x+2)=f(x+1)-f(x),且 f(1)=lg3-lg2,f(2)=lg15,
则 f(12)=

[解析]:由 f(x+2)=f(x+1)-f(x) ? f(x+6)=f(x+5)-f(x+4)=[f(x+4)-f(x+3)]-f(x+4)=-f(x+3) ? f(x+3)=-f(x) ? f(x+
6)=f(x) ? f(12)=f(0)=f(1)-f(2)=lg3-lg2-lg15=-lg10=-1.

[原创问题]:定义在实数集上的函数 f(x)满足:f(x-1)= 1 ? [解析]:由 f(x-1)= 1 ?
f(x+8)=f(x)
?
f ( x ? 1) ? 1 ? f ( x ? 1)

f ( x ? 1) 1 ? f ( x ? 1)

,则 f(1)f(2)f(3)?f(2016)的值为 f(x+4)=
f ( x ? 2) ? 1 f ( x ? 2) ? 1

.

f(x)=

1 ? f ( x ? 2) 1 ? f ( x ? 2)

解得:f(x+2)=
?

f ( x) ? 1 ? f ( x) ? 1

=-

1 ? f ( x)

f(x)f(x+4)=-1,
?

f(1)f(5)=f(2)f(6)=f(3)f(7)=f(4)f(8)=-1

f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(8)=1

f(1)f(2)f(3)

?f(2016)=1 =1.

252

例 3:对称与周期.
[始源问题]:(2005 年福建高考试题)f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f(2)=0,则方程 f(x)=0 在区间(0,6)
内解的个数的最小值是( (A)2 ) (B)3 (C)4 (D)5

[解析]:本题是错题,首先是选择支中没有正确的选项.因由 f(0)=0 ? f(3)=0;f(2)=0 ? f(5)=0; f(4)=f(1)=f(-2)=f(x)=0;又 f(x)是以 3 为周期的奇函数 ? f(
3 3 3 9 )=0 ? f( +3)=0,在(0,6)内己有 1, ,2,3,4, ,5 共 7 个解. 2 2 2 2
T )=0.这是因 2

造成该题错误的原因是命题者没有注意到周期函数的如下性质:如果 f(x)是以 T 为周期的奇函数,则 f( 为在 f(x+T)=f(x)中,令 x=T T T T T T ,可得 f( )=f(- ) ? f( )=-f( ) ? f( )=0. 2 2 2 2 2 2

周期函数还有如下性质:若函数 f(x)满足:f(x+ 由 f(x)的图像关于 (-

T T )=-f(x)(T≠0),且 f(x)的图像关于(- ,0)对称,则 f(x)是偶函数. 2 4

T T T T T ,0)对称 ? f(- -x)+f(x)=0 ? f(- -x)=-f(x) ? f(- -x)=f(x+ ) ? f(x)的图像关于 4 2 2 2 2

x=0 对称 ? f(x)是偶函数.

[原创问题]:己知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:f(3x+1)是周期为 2 的周期函数,则 f(9)= . [解析]:由 f(3x+1)是周期为 2 的周期函数 ? f(3(x+2)+1)=f(3x+1) ? f(3x+7)=f(3x+1) ? f(x+6)=f(x) ? f(9)=f(3)=
0.
? )=-f(-x),f(-x)=f(x),则 f(x)可以是( 2

[原创问题]:已知定义在 R 上函数 f(x)满足:f(x+
(A)sin|x| (B)|cosx|

) (D)cos2x

(C)sin2x

第 2 讲:掌握问题模型.冲刺抽象函数问题
2 2 2

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[解析]:由 f(x+ ? )=-f(-x),f(-x)=f(x) ? f(x+ ? )=-f(x) ? f(x+π )=-f(x+ ? )=f(x) ? f(x)是以 T=π 为周期的偶函
数;f(x)=sin|x|不是周期函数;f(x)=sin2x 是奇函数;若 f(x)=|cosx|,则 f(x+ |cosx| ? f(x+
? )≠-f(-x).故选(D). 2 ? ? )=|cos(x+ )|=|sinx|,但-f(-x)=2 2

[原创问题]:已知定义在 R 上非常数的奇函数 f(x)满足 f(x-1)=-f(x).给出以下命题:①f(x)是以 2 为周期的周期函数;
②f(x)是轴对称图形;③f(1)=0;④f(x)必是有界函数;⑤存在满足条件的函数 f(x),使得 f(x)=lgx 有无数个解.其中正确 的命题是 (写出所有正确命题的编号).
2

[解析]:由 f(x-1)=-f(x) ? f(x)=-f(x-1) ? f(x+1)=-f(x) ? f(x+2)=f(x);令 f(x)=tan( ? x),f(2k-1))=0 满足条件,
? f(x)不是轴对称图形,且④错,⑤正确;在 f(x-1)=-f(x)中,令 x=0 得 f(1)=0;故选①③⑤.

[原创问题]:已知定义在 R 上的非常数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x-1),且 f(x-1)是奇函数.给出以下命题:①f(x)是奇函数;
②f(x)是偶函数;③若函数 f(x)有最小值,则 f(x)必有最大值;④若 f(x)在区间[a,b](a<b)内单调,则 b-a≤2.其中正确的 命题是 (写出所有正确命题的编号).

[解析]:由 f(x+1)=-f(x-1) ? f(x+2)=-f(x) ? f(x+4)=-f(x+2)=f(x) ? f(x)是以 T=4 为周期的周期函数;又由 f(x-1)
是奇函数 ? f(x-1)+f(-x-1)=0 ? f(x)的图像关于点(-1,0)对称,且-f(x+1)+f(-x-1)=0 ? f(x)的图像关于 x=0 对称 ? f(x)是偶函数 ? 非常数 f(x)不是奇函数;因函数 f(x)是中心对称函数 ? 若函数 f(x)有最小值,则 f(x)必有最大值;由 f(x)是以 T=4 为周期的周期函数,且有对称轴 x=0 ? f(x)有对称轴 x=2;又由对称轴不在单调区间内 ? b-a≤2;故选②③ ④.

例 4:类周期函数.
[始源问题]:(2011 年上海高考试题)设 g(x)是定义在 R 上以 1 为周期的函数,若函数 f(x)=x+g(x)在区间[3,4]上的值
域为[-2,5],则 f(x)在区间[-10,10]上的值域为 .
? x∈R,g(x)∈

[解析]:由 x∈[3,4],x+g(x)∈[-2,5] ? g(x)∈[-5,1];又因 g(x)是定义在 R 上以 1 为周期的函数 ?
f(x)=x+g(x)∈[4,11] ? f(x)在区间[-10,10]上的值域为[-15,11].

[-5,1] ? 当 x∈[-10,-9]时,f(x)=x+g(x)∈[-15,-8];当 x∈[-9,-8]时,f(x)=x+g(x)∈[-14,-7];?;当 x∈[9,10]时, 若 g(x)是定义在 R 上以 T 为周期的函数,则函数 f(x)=x+g(x)满足:f(x+T)=f(x)+T;对满足:f(x+T)=f(x)+T 的函数 f(x) 深入研究得:

[原创问题]:若定义在 R 上的函数 f(x)满足:存在非零常数 T,使得: ? x∈R,f(x+T)=f(x)+T,则称函数 f(x)是“类周期
函数” ,T 叫函数 f(x)的 “类周期” .关于 “类周期函数” 给出下列命题:①若函数 f(x)=x,则 f(x)是类周期函数;②若 f(x) 是类周期为 T 的类周期函数,则 f(x-2T)=f(x)+2T;③若 f(x)是类周期为 T 的类周期函数,且在[0,T]上的值域为[-T,T], 则 f(x)在[-T,2T]上的值域为[-2T,3T];④若 f(x)=x+g(x),则 f(x)是类周期函数的充要条件为 g(x)是周期函数;⑤若 f(x) 是类周期为 T 的类周期函数,则 y=f(x)的图像按向量 a=(T,T)平移后所得图像与 y=f(x)的图像重合.其中正确的命题是 (写出所有正确命题的编号).

[解析]:①由 f(x)=x ? f(x+T)=x+T=f(x)+T ? f(x)是类周期函数;②由 f(x+T)=f(x)+T ? f(x)=f(x-T)+T ? f(x-T)=
f(x)-T ? f(x-2T)=f(x-T)-T=[f(x)-T]-T=f(x)-2T;③由 x∈[0,T],f(x)∈[-T,T] ? 当 x∈[-T,0]时,f(x)∈[-2T,0];当 x∈[T,2T]时,f(x)∈[0,3T] ? f(x)在[-T,2T]上的值域为[-2T,3T];④f(x)是类周期函数 ? f(x+T)=f(x)+T ? (x+T)+ g(x+T)=x+g(x)+T ? g(x+T)=g(x) ? g(x)是周期函数;⑤由 f(x)=f(x-T)+T ? y=f(x)的图像按向量 a=(T,T)平移后所得图 像与 y=f(x)的图像重合.故选①③④⑤.

[始源问题]:(2003 年上海高考试题)己知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体:存在非零常数 T,对任意 x∈R,有
f(x+T)=Tf(x)成立. (Ⅰ)函数 f(x)=x 是否属于 M?说明理由; (Ⅱ)设函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)的图象与 y=x 的图象有公共点,证明:f(x)=a ∈M;
x x

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(Ⅲ)若函数 f(x)=sinkx∈M,求实数 k 的取值范围.

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[解析]:(Ⅰ)由 f(x+T)=Tf(x) ? x+T=Tx ? (T-1)x=T 对任意实数 x,不恒成立.故 f(x) ? M;
(Ⅱ)设 a =T,则 f(x+T)=a =a a =Ta =Tf(x) ? f(x)=a ∈M; (Ⅲ)由 f(x)=sinkx∈M ? f(x+T)=Tf(x) ? sin(kx+kT)=Tsinkx ? T=1,且 sin(kx+kT)=sinkx;或 T=-1,且 sin(kx+kT)=sinkx ? k=2mπ ,或 k=(2m-1)π ? k=mπ ,m∈Z ? 实数 k 的取值范围是{k|k=mπ ,m∈Z}.
T x+T T x x x

[原创问题]:己知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体:存在非零常数 T,对任意 x∈R,有 f(x+T)=Tf(x)成立.关于
集合 M 给出下列命题:①若 f(x)=a (0<a<1),则 f(x)∈M;②若 f(x)=sin(π x),则 f(x)∈M;③若 f(x+
x

1 )=-f(x),则 f(x) 2

∈M;④若 f(x)是周期为 T 的周期函数,且 g(x)∈M,则 f(x)g(x)∈M;⑤若 f(x)是周期为 T(T>1)的周期函数,且 g(x)∈M, 则 f(x)+g(x)∈M.其中正确的命题是
x

(写出所有正确命题的编号).

[解析]:①因 0<x<1 ? f(x)=a 的图象与 y=x 的图象有公共点,设 aT=T,则 f(x+T)=ax+T=aTax=Tax=Tf(x) ? f(x)=ax∈M;②由
f(x)=sin(π x) ? f(x-1)=sin(π x-π )=-sin(π x)(T=-1) ? f(x)∈M;③由 f(x+
1 1 )=-f(x) ? f(x+1)=-f(x+ )=f(x)(T= 2 2

1) ? f(x)∈M;④由 f(x+T)g(x+T)=f(x)[Tg(x)]=Tf(x)g(x) ? f(x)g(x)∈M;⑤由 f(x+T)+g(x+T)=f(x)+Tg(x)=Tf(x)+ Tg(x) ? T=1 ? f(x)+g(x) ? M.故选①②③④.

例 5:导数应用.
[始源问题]:(2009 年天津高考试题)己知函数 f(x)在 R 上的导函数为
上恒成立的是( (A)f(x)>0
2 3

f ? (x),且 2f(x)+x f ? (x)>x ,下面的不等式在 R
2

) (B)f(x)<0
2

(C)f(x)>x
2

(D)f(x)<x
3

[解析]:令 g(x)=x f(x),则 g ? (x)=x[2f(x)+x
=0 ? x f(x)>0 ? f(x)>0.故选(A).
2

f ? (x)];①当 x=0 时,由 2f(x)+x f ? (x)>x ? f(0)>0;②当 x>0 时,由 g ? (x)=

x[2f(x)+x f ? (x)]>x >0 ? g(x)>g(0)=0 ? x f(x)>0 ? f(x)>0;③当 x<0 时,由 g ? (x)=x[2f(x)+x f ? (x)]<x <0 ? g(x)>g(0) 对于积、商函数的求导法则,不能仅关注于正向应用,而逆向应用则更受高考命题者的青睐.

[原创问题]:己知函数 f(x)在 R 上的导函数为
(A)f(x)>0
2 3

f ? (x),且 2f(x)+x f ? (x)<-x ,下面的不等式在 R 上恒成立的是(
2

)

(B)f(x)<0
2

(C)f(x)>x
2

(D)f(x)<x
3

[解析]:令 g(x)=x f(x),则 g ? (x)=x[2f(x)+x
g(0)=0 ? x f(x)<0 ? f(x)<0.故选(B).
2

f ? (x)];①当 x=0 时,由 2f(x)+x f ? (x)<-x ? f(0)<0;②当 x>0 时,由 g ? (x)

=x[2f(x)+x f ? (x)]<-x <0 ? g(x)<g(0)=0 ? x f(x)<0 ? f(x)<0;③当 x<0 时,由 g ? (x)=x[2f(x)+x f ? (x)]>-x >0 ? g(x)<

[原创问题]:己知函数 f(x)在 R 上的导函数为
( ) (B)f(x)<0
n n-1 n+1

f ? (x),且 nf(x)+x f ? (x)<-x (n∈N+),下面的不等式在 R 上恒成立的是
2

(A)f(x)>0
n-1

(C)f(x)>x
2 n n-1

(D)f(x)<x
n+1

[解析]:令 g(x)=x f(x),则 g ? (x)=x [nf(x)+x
n

f ? (x)];①当 x=0 时,由 nf(x)+x f ? (x)<-x ? f(0)<0;②当 x>0 时,由

g ? (x)=x [nf(x)+x f ? (x)]<-x <0 ? g(x)<g(0)=0 ? x f(x)<0 ? f(x)<0;③当 x<0 时,由 g ? (x)=x [nf(x)+x f ? (x)]>-x

>0 ? g(x)<g(0)=0 ? x f(x)<0 ? f(x)<0.故选(B).

[原创问题]:己知 f(x)是定义在 R 上的可导奇函数,f(1)=0,且当 x>0 时,x
(A)(-∞,-1)∪(1,+∞) (B)(-∞,-1)∪(0,1) ,则 g(x)是偶函数,且当 x>0 时, g ? (x)=
f ( x) x

f ? (x)<f(x),则|x|f(x)>0 的解集为(

)

(C)(-1,0)∪(0,1)

(D)(-1,0)∪(1,+∞)

[解析]:令 g(x)=
内递增.故选(B).

xf ?( x) ? f ( x) <0 ? g(x)在(0,+∞)内递减 ? g(x)在(-∞,0) x2

[原创问题]:己知 f(x)是定义在 R 上的可导奇函数,且当 x<0 时,x f ? (x)<f(x),则当|b|f(|a|)>|a|f(|b|)时,(
(A)a>b (B)a<b
f ( x) x

)

(C)a >b

2

2

(D)a <b

2

2

[解析]:令 F(x)=

,则 F(x)是偶函数,且当 x<0 时, F ? (x)=

xf ?( x) ? f ( x) <0 ? F(x)在(-∞,0)内递减 ? F(x)在(0,+∞) x2

第 2 讲:掌握问题模型.冲刺抽象函数问题
内递增;|b|f(|a|)>|a|f(|b|) ?
f (| a |) f (| b |) 2 2 ? ? F(|a|)>F(|b|) ? |a|>|b| ? a >b .故选(C). |a| |b|

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[原创问题]:己知 f(x)是定义在 R+上的可导函数,f(1)=6,且对任意的实数 x,f(x)+x
(A)(0,
3 ) 4

f ? (x)>2,则 f(x)>2+

4 的解集为( ) x

(B)(

3 ,1) 4

(C)(1,+∞)

(D)(-∞,

3 ) 4 4 ? x

[解析]:令 g(x)=xf(x)-(2x+4) ? g(1)=0,且 g ? (x)=f(x)+x

f ? (x)-2>0 ? g(x)在(0,+∞)上单调递增;而 f(x)>2+

xf(x)>2x+4 ? xf(x)-(2x+4)>0 ? g(x)>g(1) ? x>1.故选(C).

[原创问题]:己知函数 y=f(x)(x∈(0,2π ))的图象如图所示:
则不等式 sinx f ? (x)<0 的解集是( (A)(0,2)∪(4,2π ) (C)(0,2)∪(π ,4) ) (B)(2,π )∪(4,2π ) (D)(0,π )∪(4,2π )
f ? (x)>0 在(0,2π

y O 2 4 x

[解析]:如图不等式
sinx f ? (x)<0 ? ?

)内的解集为(0,2)∪(4,2π ),不等式 f ? (x)<0 在(0,2π )内的解集为(2,4).所以,

? x ? (0,2) ? (4,2? ) ? f ?( x) ? 0 ? f ?( x) ? 0 ? x ? (2,4) ,或 ? ,或 ? ? ? ? x∈(2,π )∪(4,2π ).故选(B). x ? ( ? , 2 ? ) sin x ? 0 sin x ? 0 ? ? ? ?x ? (0, ? )

[原创问题]:己知函数 f(x)=asin2x- 1 sin3x 在 x= ? 处取得极值,则函数 f(x)在 x= ? 处有(
3
3
3

)
3 2

(A)极大值,且为 ? 3
2

(B)极小值,且为 ? 3
2

(C)极小值,且为

3 2

(D)极大值,且为

[解析]:由 f(x)=asin2x- 1 sin3x ?
3

f ? (x)=2acos2x-cos3x,由题知 f ? (

? )=0 ? 2acos2× ? -cosπ =0 ? a=1 ? f ? (x)= 3 3

? ? 2cos2x-cos3x. 作 y=2cos2x 与 y=cos3x 的 图 象 知 , 当 x ∈ (0, ? ) 时 ,2cos2x>cos3x, 即 f ? (x)>0; 当 x ∈ ( , )
3

3

2

时,2cos2x<cos3x,即 f ? (x)<0 ? 函数 f(x)在 x= ? 处有极大值,且 f( ? )=
3 3

3 ,故选(D). 2

例 6:导数问题.
[始源问题]:(2007 年辽宁高考试题)己知 f(x)与 g(x)是定义在 R 上的连续函数,如果 f(x)与 g(x)仅当 x=0 时的函数值
为 0,且 f(x)≥g(x),那么下列情况不可能出现的是( (A)0 是 f(x)的极大值,也是 g(x)的极大值 (C)0 是 f(x)的极大值,但不是 g(x)的极值
2 2 2

) (B)0 是 f(x)的极小值,也是 g(x)的极小值 (D)0 是 f(x)的极小值,但不是 g(x)的极值

[解析]:若 f(x)=-x ,g(x)=-2x ,则(A)正确;若 f(x)=2x ,g(x)=x2,则(B)正确;若 f(x)=|x|,g(x)=x,则(D)正确;故选(C). [原创问题]:己知 f(x)与 g(x)是定义在 R 上的连续函数,如果 f ? (x)> g ? (x),则下列命题中,不正确的是( )
(A)f(x)=g(x)至多有一根 (C)若 f(x)=g(x)有一根 x0,则当 x>x0 时,f(x)>g(x) (B)f(x)>g(x) (D)若 f(x)=g(x)有一根 x0,则当 x<x0 时,f(x)<g(x)
f ? (b)<0.现

[解析]:令 F(x)=f(x)-g(x),则 F ? (x)= f ? (x)- g ? (x) ? F(x)单调递增 ? (A),(C),(D)正确.故选(D). [原创问题]:己知 f(x)与其导函数 f ? (x)都是定义在 R 上的连续函数,且对于实数 a、b(a<b),有 f ? (a)>0,
⑤ ? x0∈[a,b],f(a)-f(b)> f ? (x0)(a-b).其中正确的结论是 (写出所有正确结论的编号). y

给出如下结论:① ? x0∈[a,b], f ? (x0)=0;② ? x0∈[a,b],f(x0)=0;③ ? x0∈[a,b],f(x0)>f(b);④ ? x0∈[a,b],f(x0)≥f(a);

[解析]:由题知,

f ? (x)的图像如图:

y

? f(x)的图像如图:

由此知①④正确,②③错误;对于⑤: 令 g(x)=f(x)-x f ? (x0) ? g ? (x)= f ? (x) O a b x O a b x

18
故选①④⑤.

第 2 讲:掌握问题模型.冲刺抽象函数问题

- f ? (x0);由 f ? (x)在[a,b]上的连续 ? f ? (x)必存在最大值 f ? (x0) ? g ? (x)≤0 ? g(a)≥g(b) ? f(a)-f(b)> f ? (x0)(a-b).

例 7:函数方程.
[始源问题]:(2012 年湖北重点中学联考试题)已知定义在(0,+∞)的单调函数 f(x),若对任意的 x∈(0,+∞)都有 f(f(x)
+log 1 x)=3,则方程 f(x)=2+ x 解的个数是(
2

) (C)2 (D)3

(A)0

(B)1

[解析]:因 f(x)在(0,+∞)上单调,且 f(f(x)+log 1 x)=3 ? 存在正常数 m,使得 f(x)+log 1 x=m,且 f(m)=3;令 x=m 得:3+
2 2

log 1 m=m(作 y=log 1 x 与 y=x-3 的图像知,该方程只有一正根,观察知 m=2) ? m=2 ? f(x)+log 1 x=2 ? f(x)=2+log2x;所
2 2 2

以,f(x)=2+ x ? log2x= x (令 t= x ) ? log2t=

1 t ? t=2,t=4.故选(C). 2

本题提供了函数方程模型:“f(f(x)+g(x))=a,其中 f(x)是单调函数”及其解法(f(x)=a+g(m)-g(x),其中 f(m)=a),由 此可构造:

[原创问题]:已知定义在(-∞,+∞)的单调函数 f(x)满足:对任意的 x∈R,f(f(x)+1-2x)=-1 恒成立,则 f(0)= . [解析]:因 f(x)在(-∞,+∞)上单调,且 f(f(x)+1-2x)=-1 ? 存在常数 m,使得 f(x)+1-2x=m,且 f(m)=-1;令 x=m 得:-2m=m
? m=0 ? f(0)=-1.

[原创问题]:己知定义在 R 上的函数 f(x)满足对任意 x、 y∈R,恒有 f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1 成立,则 f(0)= . [解析]:设 f(0)=a,在 f(x-f(y))= f(f(y))+xf(y)+f(x)-1 中,令 x=y=0 得:f(-a)=f(a)+a-1 ? a≠0;令 x=f(y)得:f(0)=
2f(x)+x -1 ? f(x)=
2

a ?1 2

-

x2 2

,令 x=0 ? a=

a ?1 ? 2

a=1 ? f(0)=1.

[始源问题]:(2008 年陕西省高考试题)己知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则
f(-3)等于( (A)2 ) (B)3 (C)6 (D)9

[解析]:在 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy 中,令 x=y=0 得 f(0)=0;令 y=1 得 f(x+1)=f(x)+2x+2 ? f(x)=f(x+1)-2x-2 ? f(-1)=
f(0)-2(-1)-2=0 ? f(-2)=f(-1)-2(-2)-2=2 ? f(-3)=f(-2)-2(-3)-2=6; 赋值法是解决求函数方程中的函数值问题的基本方法线.赋值法的基本思路是:对给出的函数方程,将其中的变量赋于 一些特殊值,常用的特殊值是 0 和 1,达到求函数值的目的.

[原创问题]:已知定义在(-∞,+∞)的单调函数 f(x)满足:f(x3)=f3(x),则 f(-1)+f(0)+f(1)= . 3 3 3 [解析]:因 f(x)在(-∞,+∞)上单调 ? f(-1)、 f(0)、 f(1)两两不等;又由 f(x )=f (x),分别令 x=-1,0,1 得:f(-1)=f (-1),
f(0)=f (0),f(1)=f (1) ? f(-1)、f(0)、f(1)是方程 x=x 的三个不同根-1、0、1 ? f(-1)+f(0)+f(1)=-1+0+1=0.
3 3 3

[原创问题]:己知定义在 R 上的非常数函数 f(x)满足 f(x)f(y)=f(xy)-f(x)-f(y),则 f(0)+f(1)=( )
(A)0 (B)-1
2

(C)-2

(D)不确定
2

[解析]:在 f(x)f(y)=f(xy)-f(x)-f(y)中,令 x=y=0 得 f (0)=-f(0) ? f(0)=0,或-1,但当 f(0)=0 时,f(x)f(y)=f(xy)f(x)-f(y)中,令 y=0 得 f(x)=0,与题知矛盾,故 f(0)=-1;在 f(x)f(y)=f(xy)-f(x)-f(y)中令 x=y=1 得 f (1)=-f(1) ? f(1) =0,或-1,但当 f(1)=-1 时,f(x)f(y)=f(xy)-f(x)-f(y)中,令 y=1 得 f(x)f(1)=f(x)-f(x)+1 ? f(x)=-1,与题知矛盾,故 f(1)=0 ? f(0)+f(1)=-1.

[原创问题]:己知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+1,则 f(1)= [解析]:因 f(x)=x2-1 满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+1 ? f(1)=0;

.

例 8:导数与方程.
[始源问题]:(2000 年上海交大联读班试题)函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y),
式.
f ? (0)=1,求函数 f(x)的解析

第 2 讲:掌握问题模型.冲刺抽象函数问题 [解析]:把 y 视为常数,由 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y) ?
2 2

19
f ? (x+y)= f ? (x)+2xy+y ;令 x=0 得: f ? (y)=1+y ? f(y)=
1 3
3

1 3 y+ 3

y+c;又在 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)中令 x=y=0 得:f(0)=0 ? c=0 ? f(y)= y +y ? f(x)= x +x.

1 3

3

[原创问题]:可导函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y),若
(A)3 (B)6

f ? (0)=1,则 f(3)=(

) (D)12

(C)9
2

[解析]:把 y 视为常数,由 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y) ?

f ? (x+y)= f ? (x)+2xy+y ;令 x=0 得: f ? (y)=1+y ? f(y)=
2

1 3 y+ 3

y+c;又在 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)中令 x=y=0 得:f(0)=0 ? c=0 ? f(y)= y +y ? f(3)=12.故选(D).

1 3

3

[原创问题]:函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y),若
(A)0 选(C). (B)1

f ? (0)=1,则 f ? (1)=(

) (D)3
2

(C)2
2

[解析]:把 y 视为常数,由 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y) ? [原创问题]:函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,若
(A)0 (B)1

f ? (x+y)= f ? (x)+2xy+y ;令 x=0 得: f ? (y)=1+y ? f ? (1)=2.故

f ? (0)=2,则 f(1)=(

) (D)3
2

(C)2
2

[解析]:把 y 视为常数,由 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy ?

f ? (x+y)= f ? (x)+2y;令 x=0 得: f ? (y)=2+2y ? f(y)=y +2y+c;又在

f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy 中令 x=y=0 得:f(0)=0 ? c=0 ? f(y)=y +2y ? f(1)=3.故选(D).

例 9:不等式周期.
[始源问题]:(2002 年全国高中数学联赛试题)己知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1,且对任意 x∈R 都有:f(x+5)≥
f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1 若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)= .

[解析]:由 f(x+1)≤f(x)+1 ? f(x+5)≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4≤f(x)+5≤f(x+5) ? 所有等号成立
?

f(x+1)=f(x)+1 ? g(x+1)=f(x+1)+1-(x+1)=f(x+1)-x=f(x)+1-x=g(x) ? g(2002)=g(1)=1. .

[原创问题]:己知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1,且对任意 x∈R 都有:f(x+3)≤f(x)+3 和 f(x+2)≥f(x)+2,则
f(0)=

[ 解析 ]: 由 f(x+3) ≤ f(x)+3 ? f(x+6) ≤ f(x+3)+3 ≤f(x)+6; 又由 f(x+2) ≥ f(x)+2 ? f(x+6) ≥f(x+4)+2 ≥ f(x+2)+4 ≥
f(x)+6 ? 所有等号成立 ? f(x+2)=f(x)+2 ? f(3)=f(1)+2=3 ? f(0+3)=f(0)+3 ? f(0)=0.

[始源问题]:(2009 年第二十届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(2)=2,且对任意的
x∈R 都有 f(x+9)≥f(x)+9,f(x+3)≤f(x)+3,则 f(2009)= +3)=f(x)+3 ? f(2009)=f(3×669+2)=f(2)+3×669=2009. .

[解析]:由 f(x+3)≤f(x)+3,f(x+9)≥f(x)+9 ? 9+f(x)≤f(x+9)≤f(x+6)+3≤f(x+3)+6≤f(x)+9 ? 所有等号成立 ? f(x [ 原创问题]: 已知 f(x) 是定义在 R 上的函数,f(3)=6, 且对任意的 x∈R 都有 f(x+6)≥f(x)+6,f(x+3) ≤f(x)+3, 则
f(-3)= .

[解析]:由 f(x+3)≤f(x)+3,f(x+6)≥f(x)+6 ? 6+f(x)≤f(x+6)≤f(x+3)+3≤f(x)+6 ? 所有等号成立 ? f(x+3)=f(x)+3
?

f(-3)=f(0)-3=f(3)-6=0.

[始源问题]:(2008 年全国高中数学联赛试题)设 f(x)是定义在 R 上的函数,若 f(0)=2008,且对任意 x∈R,满足 f(x+2)f(x)≤3 ? 2 ,f(x+6)-f(x)≥63 ? 2 ,则 f(2008)=
x x

.

[解析]:由 3 ? 2x≥f(x+2)-f(x)=-[f(x+4)-f(x+2)]-[f(x+6)-f(x+4)]+[f(x+6)-f(x)]≥-3 ? 2x+2-3 ? 2x+4+63 ? 2x=3 ? 2x ? 所有
等号成立 ? f(x+2)-f(x)=3 ? 2 2
2006 x

?

f(2008)=f(0)+[f(2)-f(0)]+[f(4)-f(2)]+?+[f(2008)-f(2006)]=2008+3(1+2 +?+

2

)=2

2008

+2007.

[原创问题]:设 f(x)是定义在 R 上的函数,若 f(0)=-2,且对任意 x∈R,满足 f(x+4)-f(x)≤2x+3,f(x+20)-f(x)≥10x+95,
则 f(4n)= .

20

第 2 讲:掌握问题模型.冲刺抽象函数问题

[解析]:由 f(x+4)-f(x)≤2x+3 ? 10x+95≤f(x+20)-f(x)=[f(x+4)-f(x)]+[f(x+8)-f(x+4)]+[f(x+12)-f(x+8)]+f(x+
16)-f(x+12)]+[f(x+20)-f(x+16)]≤[2x+3]+[2(x+4)+3]+[2(x+8)+3]+[2(x+12)+3]+[2(x+16)+3]=10x+95 ? 所有等号成 立 ? f(x+4)-f(x)=2x+3 ? f(4n+4)-f(4n)=8n+3;令 an=f(4n),则 a0=-2,an+1-an=8n+3 ? an=a0+(a1-a0)+(a2-a1)+?+(an-an-1)= -2+8[0+1+2+?+(n-1)]+3n=4n -n-2.
2

例 10:函数不等式.
[始源问题]:(2010 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)函数 f:R→R 对于一切 x,y,z∈R 满足不等式 f(x+y)+f(y+z)+f(z
+x)≥3f(x+2y+z),则 f(1)-f(0)= .

[解析]:由 f(x+y)+f(y+z)+f(z+x)≥3f(x+2y+z),令 x=-y=z 得:f(0)+f(0)+f(2x)≥3f(0) ? f(2x)≥f(0);令 x=y=-z 得:
f(2x)+f(0)+f(0)≥3f(2x) ? f(0)≥f(2x) ? f(0)≥f(2x)≥f(0) ? f(x)是常数函数 ? f(1)-f(0)=0.

[原创问题]:已知定义在 R 上的函数 f(x),满足对任意 x,y∈R,有 f(x+y)f(x-y)≥[f(x)+f(y)]2-4x2f(y),且 f(x)≥x2,
则 f(5)= f(5)=25. .

[解析]:令 x=y=0 得:f2(0)≥4f2(0) ? f(0)=0;令 x=y 得:4f2(x)-4x2f(x)≤0 ? 0≤f(x)≤x2;又由 f(x)≥x2 ? f(x)=x2 ?

[原创问题]:已知定义在 R 上的函数 f(x),满足对任意 x∈R,有
(A)f(x)≥x (B)f(x)≤x

2 f ( x) - 2 f ( x) ? f (2 x) ≥2,则对任意 x∈R,有(

)

(C)f(x)≥4
2

(D)f(x)≤4
2

[解析]:由

2 f ( x) - 2 f ( x) ? f (2 x) ≥2 ? 2 f ( x) ≥2 ? f(x)≥2;又由 2 f ( x) - 2 f ( x) ? f (2 x) ≥2 ? ( 2 f ( x) -2) ≥( 2 f ( x) ? f (2 x) ) ?

2f(x)-4 2 f ( x) +4≥2f(x)-f(2x) ? f(2x)≥4 2 f ( x) -4≥4 2 ? 2 -4=4 ? (C)正确.


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