课时跟踪检测(二十八) 数系的扩充与复数的引入

课时跟踪检测(二十八) 数系的扩充与复数的引入

1．(2012· 江西高考)若复数 z＝1＋i(i 为虚数单位)， z 是 z 的共轭复数，则 z2＋ z 2 的虚 部为( A．0 C．1 ) B．－1 D．－2 )

10i 2．(2012· 北京高考)在复平面内，复数 对应的点的坐标为( 3＋i A．(1,3) C．(－1,3) B．(3,1) D．(3，－1)

3．(2012· 长春调研)若复数(a＋i)2 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上，则实数 a 的值 是( ) A．1 C. 2 B．－1 D．－ 2 )

?1＋2i??2＋i? 4．(2013· 萍乡模拟)复数 等于( ?1－i?2 5 A. 2 5 C. i 2 5 B．－ 2 5 D．－ i 2

5．(2012· 河南三市调研)已知 i 为虚数单位，复数 z＝ A．i C．1＋i B．1－i D．－i

2＋i 1 ，则|z|＋ ＝( z 1－2i

)

6． (2012· 安徽名校模拟)设复数 z 的共轭复数为 z ， 若(2＋i)z＝3－i， z·z 的值为( 则 A．1 C. 2 B．2 D．4

)

2 ? 1 ?1＋i? ? ?，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集 7．(2013· 长沙模拟)已知集合 M＝?i，i2， ， i i ? ?

合 Z∩M 中的元素个数是( A．3 个 C．1 个

) B．2 个 D．0 个

8．定义：若 z2＝a＋bi(a，b∈R，i 为虚数单位)，则称复数 z 是复数 a＋bi 的平方根．根 据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )

A．1－2i 或－1＋2i C．－7－24i

B．1＋2i 或－1－2i D．7＋24i

9．在复平面内，复数 1＋i 与－1＋3i 分别对应向量 OA 和 OB ，其中 O 为坐标原点， 则| AB |＝________. z2－2z 10．已知复数 z＝1－i，则 ＝________. z－1 11．设复数 z 满足|z|＝5 且(3＋4i)z 是纯虚数，则 z ＝________. ?－1＋i??2＋i? 12. ＝________. i3 13．(2011· 上海高考改编)已知复数 z1 满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数 z2 的 虚部为 2，且 z1·2 是实数，则 z2＝________. z 1 14．若复数 z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则 的虚部为________． z＋a

??? ?

??? ?

??? ?

? ?1＋x，x∈R， 1．(2012· 山东日照一模)在复数集 C 上的函数 f(x)满足 f(x)＝? 则 f(1＋i) ? ??1－i?x，x?R，

等于(

) B．－2 D．2

A．2＋i C．0

2．已知 i 为虚数单位，a 为实数，复数 z＝(1－2i)(a＋i)在复平面内对应的点为 M，则 1 “a> ”是“点 M 在第四象限”的( 2 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 y 3．已知复数 z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝ 3，则 的最大值为________． x 4．复数 z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，与复数 12＋16i 互为共轭复数，则实数 m＝ ________. z 5．已知 z 是复数，z＋2i， 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z＋ai)2 在复平面上对应 2－i 的点在第一象限，求实数 a 的取值范围． 1 6．设 z 是虚数，ω＝z＋ ，且－1<ω<2. z (1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围； )

1－z (2)设 u＝ ，求证：u 为纯虚数． 1＋z [答 题 栏] 1.______ 2.______ 3.______ 4.______ A级 5.______ 6.______ 7. ______ 8. ______ B级 1.______ 2.______ 3.______ 4.______

9. ______ 10. ______ 11. ______ 12. ______ 13. ______ 14. ______

答

案

课时跟踪检测(二十八)

A级 1．A 2.A 3.B 4.B

2＋i －2i2＋i i?1－2i? 1 1 5．选 B 由已知得 z＝ ＝ ＝ ＝i，|z|＋ ＝|i|＋ ＝1－i. z i 1－2i 1－2i 1－2i 6．选 B 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，代入(2＋i)z＝3－i，得(2a－b)＋(2b＋a)i＝3－i，从而 可得 a＝1，b＝－1，那么 z·z ＝(1－i)(1＋i)＝2. 7．选 B 由已知得 M＝{i，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z∩M＝{－1,2}，即集合 Z∩M 中有 2 个元素．
2 ? 2 ?x －y ＝－3， 8．选 B 设(x＋yi)2＝－3＋4i(x，y∈R)，则? ?xy＝2， ?

?x＝1， ?x＝－1， ? ? 解得? 或? ? ? ?y＝2， ?y＝－2.

9．解析：由题意知 A(1,1)，B(－1,3)， 故| AB |＝ ?－1－1?2＋?3－1?2＝2 2. 答案：2 2 z2－2z ?z－1?2－1 1 1 i 10．解析： ＝ ＝z－1－ ＝(－i)－ ＝－i－ ＝－2i. z－1 z－1 z－1 －i －i· i 答案：－2i 11．解析：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则有 a2＋b2＝5. 于是(3＋4i)z＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i.
?3a－4b＝0 ? 3 3 由题设得? 得 b＝ a 代入得 a2＋?4a?2＝25，a＝± 4， ? ? 4 ? ?4a＋3b≠0

??? ?

?a＝4， ?a＝－4， ? ? ∴? 或? ? ? ?b＝3 ?b＝－3.

∴ z ＝4－3i 或 z ＝－4＋3i. 答案：± (4－3i) ?－1＋i??2＋i? －3＋i 12．解析： ＝ ＝－1－3i. i3 －i 答案：－1－3i 13．解析：(z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i. 设 z2＝a＋2i，a∈R. 则 z1·2＝(2－i)(a＋2i) z ＝(2a＋2)＋(4－a)i. ∵z1·2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i. z 答案：4＋2i
?a2－1＝0， ? 1－2i 1 1 1 2 14．解析：由题意得? 所以 a＝1，所以 ＝ ＝ ＝ － i， z＋a 1＋2i ?1＋2i??1－2i? 5 5 ?a＋1≠0， ?

1 2 根据虚部的概念，可得 的虚部为－ . 5 z＋a 2 答案：－ 5 B级 1．选 D ∵1＋i?R，∴f(1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2. 2．选 C z＝(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i，若其对应的点在第四象限，则 a＋2>0，

1 1 且 1－2a<0，解得 a> .即“a> ”是“点 M 在第四象限”的充要条件． 2 2 3．解析：|z－2|＝ ?x－2?2＋y2＝ 3， ∴(x－2)2＋y2＝3. y 3 由图可知?x?max＝ ＝ 3. ?? 1 答案： 3 4．解析：根据共轭复数的定义得
? 2 ?m ＋5m＋6＝12， ? 2 ? ?m －2m－15＝－16.

解之得 m＝1.

答案：1 5．解：设 z＝x＋yi(x，y∈R)， 则 z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得 y＝－2.

∵

x－2i 1 z ＝ ＝ (x－2i)(2＋i) 2－i 2－i 5

1 1 ＝ (2x＋2)＋ (x－4)i. 5 5 由题意得 x＝4，∴z＝4－2i. ∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i. 由于(z＋ai)2 在复平面上对应的点在第一象限，
?12＋4a－a2>0， ? ∴? 解得 2<a<6. ? ?8?a－2?>0，

∴实数 a 的取值范围是(2,6)． 6．解：(1)设 z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)， a b 1 ω＝a＋bi＋ ＝?a＋a2＋b2?＋?b－a2＋b2?i， ? ? ? a＋bi ? b ∵ω 是实数，∴b－ 2 ＝0. a ＋b2 又 b≠0，∴a2＋b2＝1.∴|z|＝1，ω＝2a. 1 ∵－1<ω<2，∴－ <a<1， 2 1 即 z 的实部的取值范围是?－2，1?. ? ? 1－z 1－a－bi 1－a2－b2－2bi b (2)u＝ ＝ ＝ ＝－ i. 1＋z 1＋a＋bi ?1＋a?2＋b2 a＋1 1 ∵－ <a<1，b≠0，∴u 为纯虚数． 2