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课时跟踪检测(二十八) 数系的扩充与复数的引入


课时跟踪检测(二十八) 数系的扩充与复数的引入

1.(2012· 江西高考)若复数 z=1+i(i 为虚数单位), z 是 z 的共轭复数,则 z2+ z 2 的虚 部为( A.0 C.1 ) B.-1 D.-2 )

10i 2.(2012· 北京高考)在复平面内,复数 对应的点的坐标为( 3+i A.(1,3) C.(-1,3) B.(3,1) D.(3,-1)

3.(2012· 长春调研)若复数(a+i)2 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值 是( ) A.1 C. 2 B.-1 D.- 2 )

?1+2i??2+i? 4.(2013· 萍乡模拟)复数 等于( ?1-i?2 5 A. 2 5 C. i 2 5 B.- 2 5 D.- i 2

5.(2012· 河南三市调研)已知 i 为虚数单位,复数 z= A.i C.1+i B.1-i D.-i

2+i 1 ,则|z|+ =( z 1-2i

)

6. (2012· 安徽名校模拟)设复数 z 的共轭复数为 z , 若(2+i)z=3-i, z·z 的值为( 则 A.1 C. 2 B.2 D.4

)

2 ? 1 ?1+i? ? ?,i 是虚数单位,Z 为整数集,则集 7.(2013· 长沙模拟)已知集合 M=?i,i2, , i i ? ?

合 Z∩M 中的元素个数是( A.3 个 C.1 个

) B.2 个 D.0 个

8.定义:若 z2=a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则称复数 z 是复数 a+bi 的平方根.根 据定义,则复数-3+4i 的平方根是( )

A.1-2i 或-1+2i C.-7-24i

B.1+2i 或-1-2i D.7+24i

9.在复平面内,复数 1+i 与-1+3i 分别对应向量 OA 和 OB ,其中 O 为坐标原点, 则| AB |=________. z2-2z 10.已知复数 z=1-i,则 =________. z-1 11.设复数 z 满足|z|=5 且(3+4i)z 是纯虚数,则 z =________. ?-1+i??2+i? 12. =________. i3 13.(2011· 上海高考改编)已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的 虚部为 2,且 z1·2 是实数,则 z2=________. z 1 14.若复数 z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则 的虚部为________. z+a

??? ?

??? ?

??? ?

? ?1+x,x∈R, 1.(2012· 山东日照一模)在复数集 C 上的函数 f(x)满足 f(x)=? 则 f(1+i) ? ??1-i?x,x?R,

等于(

) B.-2 D.2

A.2+i C.0

2.已知 i 为虚数单位,a 为实数,复数 z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为 M,则 1 “a> ”是“点 M 在第四象限”的( 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 y 3.已知复数 z=x+yi(x,y∈R),且|z-2|= 3,则 的最大值为________. x 4.复数 z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i,与复数 12+16i 互为共轭复数,则实数 m= ________. z 5.已知 z 是复数,z+2i, 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在复平面上对应 2-i 的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 1 6.设 z 是虚数,ω=z+ ,且-1<ω<2. z (1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围; )

1-z (2)设 u= ,求证:u 为纯虚数. 1+z [答 题 栏] 1.______ 2.______ 3.______ 4.______ A级 5.______ 6.______ 7. ______ 8. ______ B级 1.______ 2.______ 3.______ 4.______

9. ______ 10. ______ 11. ______ 12. ______ 13. ______ 14. ______





课时跟踪检测(二十八)

A级 1.A 2.A 3.B 4.B

2+i -2i2+i i?1-2i? 1 1 5.选 B 由已知得 z= = = =i,|z|+ =|i|+ =1-i. z i 1-2i 1-2i 1-2i 6.选 B 设 z=a+bi(a,b∈R),代入(2+i)z=3-i,得(2a-b)+(2b+a)i=3-i,从而 可得 a=1,b=-1,那么 z·z =(1-i)(1+i)=2. 7.选 B 由已知得 M={i,-1,-i,2},Z 为整数集,∴Z∩M={-1,2},即集合 Z∩M 中有 2 个元素.
2 ? 2 ?x -y =-3, 8.选 B 设(x+yi)2=-3+4i(x,y∈R),则? ?xy=2, ?

?x=1, ?x=-1, ? ? 解得? 或? ? ? ?y=2, ?y=-2.

9.解析:由题意知 A(1,1),B(-1,3), 故| AB |= ?-1-1?2+?3-1?2=2 2. 答案:2 2 z2-2z ?z-1?2-1 1 1 i 10.解析: = =z-1- =(-i)- =-i- =-2i. z-1 z-1 z-1 -i -i· i 答案:-2i 11.解析:设 z=a+bi(a,b∈R),则有 a2+b2=5. 于是(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i.
?3a-4b=0 ? 3 3 由题设得? 得 b= a 代入得 a2+?4a?2=25,a=± 4, ? ? 4 ? ?4a+3b≠0

??? ?

?a=4, ?a=-4, ? ? ∴? 或? ? ? ?b=3 ?b=-3.

∴ z =4-3i 或 z =-4+3i. 答案:± (4-3i) ?-1+i??2+i? -3+i 12.解析: = =-1-3i. i3 -i 答案:-1-3i 13.解析:(z1-2)(1+i)=1-i?z1=2-i. 设 z2=a+2i,a∈R. 则 z1·2=(2-i)(a+2i) z =(2a+2)+(4-a)i. ∵z1·2∈R,∴a=4.∴z2=4+2i. z 答案:4+2i
?a2-1=0, ? 1-2i 1 1 1 2 14.解析:由题意得? 所以 a=1,所以 = = = - i, z+a 1+2i ?1+2i??1-2i? 5 5 ?a+1≠0, ?

1 2 根据虚部的概念,可得 的虚部为- . 5 z+a 2 答案:- 5 B级 1.选 D ∵1+i?R,∴f(1+i)=(1-i)(1+i)=2. 2.选 C z=(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i,若其对应的点在第四象限,则 a+2>0,

1 1 且 1-2a<0,解得 a> .即“a> ”是“点 M 在第四象限”的充要条件. 2 2 3.解析:|z-2|= ?x-2?2+y2= 3, ∴(x-2)2+y2=3. y 3 由图可知?x?max= = 3. ?? 1 答案: 3 4.解析:根据共轭复数的定义得
? 2 ?m +5m+6=12, ? 2 ? ?m -2m-15=-16.

解之得 m=1.

答案:1 5.解:设 z=x+yi(x,y∈R), 则 z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2.



x-2i 1 z = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5

1 1 = (2x+2)+ (x-4)i. 5 5 由题意得 x=4,∴z=4-2i. ∴(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i. 由于(z+ai)2 在复平面上对应的点在第一象限,
?12+4a-a2>0, ? ∴? 解得 2<a<6. ? ?8?a-2?>0,

∴实数 a 的取值范围是(2,6). 6.解:(1)设 z=a+bi(a,b∈R,b≠0), a b 1 ω=a+bi+ =?a+a2+b2?+?b-a2+b2?i, ? ? ? a+bi ? b ∵ω 是实数,∴b- 2 =0. a +b2 又 b≠0,∴a2+b2=1.∴|z|=1,ω=2a. 1 ∵-1<ω<2,∴- <a<1, 2 1 即 z 的实部的取值范围是?-2,1?. ? ? 1-z 1-a-bi 1-a2-b2-2bi b (2)u= = = =- i. 1+z 1+a+bi ?1+a?2+b2 a+1 1 ∵- <a<1,b≠0,∴u 为纯虚数. 2


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