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河北省唐山市2015届高三第三次模拟考试数学文科试题及答案


A卷 唐山市 2014—2015 学年度高三年级第三次模拟考试

文科数学
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. ) 1.集合 A={-1,0,1,2,3},B={-2,-1,0,1},则右图中阴影部分表示的集合为 A.{-1,0,1} C.{-2,2,3} B.{2,3} D.{-1,0,1,2,3} I A B

2.设函数 f(x) ,g(x)的定义域都为 R,且 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则下列 结论中正确的是 A.f(x)sinx 为奇函数 B.f(x)+cosx 为偶函数 开始 C.g(x)sinx 为为偶函数 D.g(x)+cosx 为偶函数 3. i 是虚数单位, (1+i) - z =(1-i)2,则|z|= A.1 C. 2 B.2 D.2 2
S=0,i=0 i=i+1 1 a= (1-S) 3 S=S+a

4.执行如图所示的程序框图,结果是 65 19 A. B. 27 81
5 C. 9 1 D. 3

5.设 a=logπ3,b=log3π,c=lnπ,则
A.c>a>b B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c

i>3? 是 输出 S 否

6.在等差数列{an}中,a3=5,a4+a8=22,则{
40 20 B. 41 41 42 21 C. D. 43 43
A.

1 }的前 20 项和为 a n ? a n ?1

结束

7.已知函数 f(x)=cos(2x- 3 ),g(x)=sin2x,将函数 f(x)的图像经过下列哪种可以与 g(x) 的图
象重合
1

π

π A.向左平移 个单位 12 π C.向右平移 个单位 12 4 A. (π +1) 3 4 1 C. (π + ) 3 2

π B.向左平移 个单位 6 π D.向右平移 个单位 6

8.一个几何体的三视图如图所示,则其体积为
2 B. (π +1) 3 2 1 D . (π + ) 3 2

9.向量 a、b 满足:|a|=|a+b|=|2a+b|=1,则|b|= A.1 C. 3 B. 2 D.2

(9 题变式) .向量 a、b 满足:|a|=|a+b|=|2a+b|=1,则 a 与 b 的夹角为 A.150° C.30° 答案:A B.60° D.45°

? x ? y ?1 ? 0 10.实数 x,y 满足 ? ? x ? 3 y ? 3 ? 0 ,则 z=ax+y 的最大值为 2a+3,则 a 的取值范围是 ?3 x ? y ? 9 ? 0 ?

A.[-3,1] C.[3,+∞)
A.[15° ,90° ]

B.[-1,3] D. (-∞,-1]

11.异面直线 l 与 m 成 60° ,异面直线 l 与 n 成 45° ,则异面直线 m 与 n 成角范围是 B.[60° ,90° ]

C.[15° ,105° ] D.[30° ,105° ]

12.函数 f(x)=e-x+a, g(x)=|lnx|,若 x1,x2 都满足 f(x)=g(x),则 A.x1?x2>e B.1<x1?x2<e C.0<x1?x2<e-1 D.e-1<x1?x2<1
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,公比 q=2,S5=93,则 a4= .

14.已知 F 是抛物线 y2=8x 的焦点,M 是抛物线上的点且|MF|=3,N(-2,0) ,则直线 MN 的斜率为 . 15.已知 a>1,则

a2 的最小值为 a ?1


2

16.等边三角形 ABC 的顶点 A,B 在圆 O:x2+y2=1 上,则|OC|的最大值为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,A,B,C 所对边分别为 a,b,c.2c2-2a2=b2. (Ⅰ)证明:2ccosA-2acosC=b; 1 (Ⅱ)若 tanA= ,求角 C 的大小. 3 18. (本小题满分 12 分) 谋市教育部门对甲校四年级学生进行体育学科测试, 随机抽取 15 名学生的测试成绩, 绘制 茎叶图如下: 甲校 7 3 5 4 8 7 2 5 6 9 6 0 5 6 7 8 9

5

7 1

(Ⅰ)依据上述数据,估计甲校此次的体育平均成绩- x; (Ⅱ)从得分在 70~80 之间的学生中随机抽取两名学生,记这两名学生的平均成绩为- y, 求|- x -- y |≤1 的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC -A1B1C1 中,侧面 BCC1B1 是矩形,截面 A1BC 是等边三角形. (Ⅰ)求证:AB=AC; (Ⅱ)若 AB⊥AC,三棱柱的高为 1,求 C1 点到截面 A1BC 的距离. A1 C1

B1

A

C

B

3

20. (本小题满分 12 分) x2 y2 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0), 直线 l 与椭圆 C 有唯一公共点 M, 当点 M 的坐标为 ( 3, a b 1 )时,l 的方程为 3x+2y-4=0. 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 的斜率为 k,M 在椭圆 C 上移动时,作 OH⊥l 于 H, (O 为坐标原点) ,当|OH| 4 = |OM|时,求 k 的值. 5 21. (本小题满分 12 分) 1 已知 f (x)=ex(x-a-1)- x2+ax,a>0. 2 (Ⅰ)讨论 f (x)的单调性; (Ⅱ)若 x∈(0,1)时,f (x)<-a-1,求 a 的取值范围. 请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分) 如图,C 是⊙O 的直径 AB 上一点,CD⊥AB,与⊙O 相交于点 D,与弦 AF 交于点 E,与 BF 的延长线交于点 G,GT 与⊙O 相切于点 T. (Ⅰ)证明:CE· CG=CD2; A T (Ⅱ)若 AC=CO=1,CD=3CE,求 GT.
C O F B E D G

23. (本小题满分 10 分) 已知半圆 C: (x-2)2+y2=4(y≥0) ,直线 l:x-2y-2=0,以坐标原点 O 为极点,x 轴正半 轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)写出 C 与 l 的极坐标方程; (Ⅱ)记 A 为 C 直径的右端点,C 与 l 交于点 M,且 M 为圆弧 AB 的中点,求|OB|.

24. (本小题满分 10 分) 设函数 f(x)=|ax-1|+|x+2|,a>0. (1)若 a=1,解不等式 f(x)≤5; (2)若 f(x)≥2,求 a 的最小值.
4

唐山市 2014—2015 学年度高三年级第三次模拟考试

文科数学参考答案
一、选择题: A 卷:BDCAC BCBCB B 卷:ADCBC BCACB 二、填空题: (13)24; AD BD (15)4; (16)2.

2 2 (14)± ; 3

三、解答题: (17) (Ⅰ) 证明:因为 2c2-2a2=b2,

b2+c2-a2 a2+b2-c2 -2a? 2bc 2ab 2 2 2 2 2 2 2 2 b +c -a a +b -c 2c -2a = - = =b. b b b (Ⅱ)解: 由(Ⅰ)和正弦定理以及 sin B=sin(A+C)得 2sin Ccos A-2sin Acos C=sin Acos C+cos Asin C, 即 sin Ccos A=3sin Acos C, 又 cos Acos C≠0,所以 tan C=3tan A=1,故 C=45° . 所以 2ccos A-2acos C=2c?

…5 分

…12 分

(18)解: 55+67+64+66+75+73+78+79+81+85+87+88+92+90 (Ⅰ)- x= =77.…5 分 15 (Ⅱ)从得分在 70~80 之间的学生中随机抽取两名学生的基本事件:{75,77},{75,73}, {75,78},{75,79},{77,73},{77,78},{77,79},{73,78},{73,79},{78,79} 共 10 个;其中满足|- x -- y |≤1 的事件:{75,77},{75,78},{75,79},{77,78},{77, 6 3 79},{73,79}共 6 个.所以满足|- x -- y |≤1 的概率 P= = . 10 5 (19)解: (Ⅰ)证明: 取 BC 中点 O,连 OA,OA1. 因为侧面 BCC1B1 是矩形,所以 BC⊥BB1,BC⊥AA1, 因为截面 A1BC 是等边三角形,所以 BC⊥OA1, 所以 BC⊥平面 A1OA,BC⊥OA,因此,AB=AC. (Ⅱ)设点 A 到截面 A1BC 的距离为 d,
5

…12 分

…5 分

由 VA-A BC=VA -ABC 得 S△A BC?d=S△ABC?1, OA 得 BC?OA1?d=BC?OA?1,得 d= . OA1 1 由 AB⊥AC,AB=AC 得 OA= BC, 2 3 3 又 OA1= BC,故 d= . 2 3 因为点 A 与点 C1 到截面 A1BC 的距离相等, 3 所以点 C1 到截面 A1BC 的距离为 .…12 分 3
1 1 1

A1 B1 A O B C

C1

(20)解: 3 1 (Ⅰ)由题意可得: 2+ 2=1, a 4b 将 3x+2y-4=0 代入椭圆 C: (3a2+4b2)x2-8 3a2x+16a2-4a2b2=0 由 Δ=0 得 3a2+4b2=16, 联立解得:a2=4,b2=1. x2 于是椭圆 C 的方程为: +y2=1. 4 (II)设直线 l:y=kx+m,M(x0,y0). 将直线 l 的方程代入椭圆 C 得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 令 Δ=0,得 m2=4k2+1,且 x2 0= 1+4k m2 又|OH|2= , 2= 1+k 1+k2 4 ① ②与|OH|= |OM|联立整理得:16k4-8k2+1=0, 5 1 解得:k=± . 2 …12 分
2

…1 分

…3 分

…5 分

…6 分
2

4m -4 1+16k .所以|OM|2= . ① 1+4k2 1+4k2 ② …10 分

2

(21)解: (Ⅰ)f ?(x)=ex(x-a)-x+a=(x-a)(ex-1), 当 x∈(-∞,0)时,f ?(x)>0, f (x)单增; 当 x∈(0,a)时,f ?(x)<0,f (x)单减; 当 x∈(a,+∞)时,f ?(x)>0,f (x)单增. 所以,f (x)在(-∞,0)和(a,+∞)分别单调递增;在(0,a)单调递减. …6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知: 当 a≥1 时,f (x)在(0,1)单调递减,f (x)<f (0)=-a-1. …8 分 当 0<a<1 时,f (x)在(0,a)单调递减;在(a,1)单调递增, 1 则 f (x)<-a-1 当且仅当 f (1)=-ae+a- ≤-a-1, 2 1 解得: ≤a<1. 2(e-2)
6

综上:a 的取值范围是

1 [2(e- ,+∞). 2)

…12 分

(22)解: (Ⅰ)证明: A T 延长 DC 与圆 O 交于点 M,因为 CD⊥AB, 2 所以 CD =CD?CM=AC?BC, M D C E AC CG 因为 Rt△ACE∽Rt△GBC,所以 = , CE BC O 2 即 AC?BC=CE?CG,故 CD =CE?CG. …5 分 F (Ⅱ) 因为 AC=CO=1,所以 CD2=AC?BC=3, B 又 CD=3CE,由(Ⅰ)得 CG=3CD, GT2=GM?GD=(CG+CM)?(CG-CD)=(CG+CD)?(CG-CD) =CG2-CD2=8CD2=24,故 GT=2 6. …10 分

G

(23)解: (Ⅰ)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入已知,分别得 C 和 l 的极坐标方程为 ? C:ρ=4cos θ(0≤θ≤ ),l:ρcos θ-2ρsin θ-2=0. …4 分 2 (Ⅱ)依题意,l 经过半圆 C 的圆心 C (2,0). 1 2 5 设点 B 的极角为 α,则 tan α= ,进而求得 cos α= …6 分 2 5 8 5 由 C 的极坐标方程得|OB|=4cos α= . …10 分 5 (24)解: ? ?-2x-1,x<-2, -2≤x≤1, (Ⅰ)若 a=1,f (x)=?3, ?2x+1, x>1. ? 由 f (x)的单调性及 f (-3)=f (2)=5,得 f (x)≤5 的解集为{x|-3≤x≤2}.…5 分 -(a+1)x-1,x≤-2, 1 (1-a)x+3, -2<x< , a (Ⅱ)f (x)= 1 (a+1)x+1, x≥ . a 1 当 x∈(-∞,-2]时,f (x)单调递减;当 x∈ ,+∞ 时,f (x)单调递增, a 1 1 又 f (x)的图象连续不断,所以 f (x)≥2 当且仅当 f (-1)=2a+1≥2,且 f = +2≥2, a a 1 1 得 a≥ , 故 a 的最小值为 . …10 分 2 2

? ? ? ? ?

[

)

( )

7


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