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从一个解析几何最值问题谈起 WPS文字 文档 (2)

快优教育数学高考复习资料 编著曹其根

从一道解析几何最值问题谈起
——培养学生分析问题和解决问题能力

问题:已知直线 m:kx-y+1-2k=0 ①证明直线 m 过定点 P; ②若直线 m 与 x、y 轴的正半轴交于 A、B 两点,求下列情况下的直线 m 的方程: 1)S△AOB 最小; 2)|OA|+|OB|最小(O 为原点) ; 3)|PA|·|PB|最小; 4)
1 ? 2k k ?1
2

最大。

解法探讨: ①、很易找到 m 过定点 P(2,1) ; ②、首先是对两大思路选择: 一种是由直线方程求 A、B 点的坐标(用 k 表示) ,再求关于 k 的解析式的最值及取得 最值时 k 的值(k<0) ; A(
2k ? 1 k

,0) 、B(0,1-2k) (k<0)
?

另一是设点 A(a,0) 、B(0,b) (a、b∈ R ) ,则

2 a

?

1 b

? 1 ,再求有关于 a、b 表达

式的最值。 这是解析几何中常用的用大思路,即一种是从直线方程设法(用法)入手,另一种是从 有关点的坐标设法入手。这两类方法选哪一种,就看你下一步怎样求最值了。其实,后面计 算的角度看,选择后一种更简便! 这种问题, 在解析几何中会有哪些方法?首先要想到几何意义, 再就是与几何图形有关 的知识结合——如向量方法(理科还可以考虑直线的参数方程) ,然后再看与其他一知识的 结合。具体问题具体对待。如上述问题的解法: 1)选用后一种方法 设 A(a,0) 、B(0,b) (a、b∈ R ) ,则
?

2 a

?

2 1 ? 1 ,S△ABC= 1 ab ,由 1 ? ? 用 b a b 2
1

重要不等式得 1 ?
2 a ? 1 b ? 1 2

2 a

?

1 b

?2

2 1 ? ,即 ab ? 2 2 ,∴ ab ? 8 ,即 S△ABC 最小值为 4。 a b

且在

时 取 得 最 小 值 , 即 a ? 4,b ? 2 , ∴ 直 线 m 的 方 程 为

x 4

?

y 2

? 1 ,即

x ? 2y ? 4 ? 0;

2)还是选用后一种方法 即求 a ? b 的最小值,由
2b a a b
2 a ?
2b a ?2 1? ? ? 3? 2 2 , ? 1 得 a ? b ? ? a ? b ?? ? ? ? 3 ? a b b ?a b?

1

当且仅当

?

时取等号,即 a ? 2 ?

2,b ?

2 ? 1 ,故此时直线 m 的方程为

1

快优教育数学高考复习资料 编著曹其根

x 2? 2

?

y 2 ?1

? 1 ,即 x ?

2y ? 2?

2 ?0;

3)注意到 A、P、B 三点共线,所以|PA|·|PB| ? PA ? PB ,因此利用向量来解决 很简便,仍然选择设 A(a,0) 、B(0,b) (a、b∈ R ) 、又 P(2,1)则有:
PA ? PB ? ? a ? 2,? 1 ?? ? 2,b ? 1 ? , 其 实 a ? 2,b ? 1 , ∴ PA ? PB ? ? 2 a ? b ? ? 5 , 又
?

2 a

?

2b 2 a ?2 1? ? ∴ ? 5?2 ? 1 , 2 a ? b ? ? 2 a ? b ?? ? ? ? 5 ? a b b ?a b?

1

2b 2 a ? ? 9 ,PA ? PB ? 4 a b

且当

2b a

?

2a b

,即 a ? b ? 3 时取等号,所以直线 m 的方程为
1 ? 2k k ?1
2

x 3

?

y 3

? 1 ,即 x ? y ? 3 ? 0 ;

4)注意到

表示点(0,0)到直线 m:kx-y+1-2k=0 的距离,由图形知:

当直线 m 与 OP 垂直时,O(0,0)到直线 m 的距离最大, 即
1 ? 2k k ?1
2

最大,此时直线 m 的斜率为-2,其方程为:

●P(2,1)

O 2x+y-5=0。 解析几何题的解法很多,很灵活,特别是几何图形的 作用很大,同学们在解题时一定要注意这一点。因为,解析几何就是用解析法来解决几何问题 也就是形与数的结合,所以既要注意要注意几何图形性质的作用,又要注意数的问题的常用解 法,既要注意到直线(曲线)方程的用法技巧,又要注意点的坐标设法技巧。 练习: 如图:已知椭圆的长轴长为 6,焦距为 4 2 ,过椭 圆的左焦点作一直线 L 交椭圆于 M、N 两点,若|MN| 等于椭圆的短轴长,求 L 的倾斜角α 。 注:①常用方法;——弦长计算。 ②利用椭圆的定义及解三角形; ③若学习了直线的参数方程,则还可用直线的参数方程。 F1 N M

O

F2

2


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