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2013高三数学大一轮复习学案 圆锥曲线综合 板块二 曲线与方程

板块二.曲线与方程

典例分
【例1】 若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是



A. ? ?1 , ? 2 2 ? 1 ? ? C. ?1 ? 2 2 ,3? ? ?

B. ?1 ? 2 2 , ? 2 2 ? 1 ? ? D. ?1 ? 2 ,3? ? ?

【例2】 直线 y ?

? x ? 3 ? 3 cos ? 3 ? x ? 2 与圆心为 D 的圆 ? ?? ? ?0 ,2π ? ? 交与 A 、 B 两点, 3 ? y ? 1 ? 3 sin ? ?

则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为( 7 5 A. π B. π 6 4



C. π

4 3

D. π

5 3

【例3】 若曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x , ) ? 0 的解,则下面判断正确的是( y



A.曲线 C 的方程是 f ( x , ) ? 0 y B.以方程 f ( x , ) ? 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 y C.方程 f ( x , ) ? 0 表示的曲线是 C y D.方程 f ( x , ) ? 0 表示的曲线不一定是 C y

【例4】 “点 M 在曲线 y 2 ? 4 x 上”是点 M 的坐标满足方程 y ? ?2 x 的( )

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

【例5】 下列命题正确的是(



A.到两坐标轴的距离相等的点组成的直线方程是 y ? x
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B.已知三点 A(2 , , B(0 , , C (0 , , ?ABC 的边 AB 上的中线方程为 0) 2) 0) y?x C.到两坐标轴的距离的乘积是 1 的点的轨迹方程是 xy ? ?1 D.到 x 轴的距离等于 1 的点的轨迹方程是 y ? 1 【考点】曲线与方程

?m 1 ? x 2 ,x ? (?1 , 1] ? 【例6】 已 知 以 T ? 4 为 周 期 的 函 数 f ( x) ? ? ,其中 m ? 0 .若方程 ? 1 ? x ? 2 ,x ? (1 ,3] ?

3 f ( x) ? x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为(


?4 ? 8? ?

? 15 8 ? A. ? ? 3 ,3 ? ? ? ?

? 15 ? B. ? ? 3 , 7? ? ? ?

C. ? , ? 3 3

D. ? , 7 ?

?4 ?3

? ?

【例7】 条 件 A : 曲 线 C 上 所 有 点 的 坐 标 都 是 方 程 f ( x , ) ? 0 的 解 ; 条 件 B : 以 方 程 y
f ( x , ) ? 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上.则 A 与 B 的关系是( y



A. A 是 B 的充分不必要条件 C. A 是 B 的充要条件 条件

B. A 是 B 的必要不充分条件 D. A 既不是 B 的充分条件也不是 B 的必要

【例8】 方程 y ? x 2 ? 2 x ? 1 所表示的曲线是(



A.两条直线

B.两条射线

C.一条直线

D.一条射线

【例9】 方程 xy 2 ? x 2 y ? 2 x 所表示的曲线(



A.关于 y 轴对称 C.关于原点对称

B.关于 x ? y ? 0 对称 D.关于 x ? y ? 0 对称

【例10】 已知 P ( x1 , 1 ) 是直线 l : f ( x , ) ? 0 上的一点, P2 ( x2 , 2 ) 是直线 l 外一点,则方程 y y y 1
f ( x , ) ? f ( x1 , 1 ) ? f ( x2 , 2 ) ? 0 表示的直线与直线 l 的位置关系是( y y y



A.平行

B.重合

C.垂直

D.斜交

【例11】 已 知 圆 C 的 方 程 f ( x , ) ? 0 , 点 A( x0 , 0 ) 在 圆 外 , 点 B( x1 , 1 ) 在 圆 上 , 则 y y y
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f ( x , ) ? f ( x0 , 0 ) ? f ( x1 , 1 ) ? 0 表示的曲线是( y y y



A.就是圆 C B.过 A 点且与圆 C 相交的圆 C.可能不是圆 D.过 A 点且与圆 C 同心的圆

【例12】 斜率为 2 的直线与圆锥曲线交于 A( x1 , 1 ) , ( x2 , 2 ) 两点,若弦长 AB ? 2 5 ,则 y B y

y1 ? y2 ?



【例13】 y ? 1 ? x 2 与曲线 y ?| x | 的交点个数是______.

【例14】 曲线 2 y 2 ? 3x ? 3 ? 0 与曲线 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 5 ? 0 的交点的个数是_________.

【例15】 若直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 的右支有两个相异公共点 A , , f (k ) 是弦长 B

AB 关于 k 的函数,

⑴求 f (k ) 并指出函数的定义域; ⑵若已知 k ?
17 ,求 f (k ) 的值域. 4

【例16】 设 0 ? ? ?

π ,曲线 x 2 sin ? ? y 2 cos ? ? 1 和 x 2 cos ? ? y 2 sin ? ? 1 有四个交点, 2 ⑴求 ? 的范围;

⑵证明:这四个交点共圆,并求该圆半径的取值范围.
( x ? a)2 1 ? y 2 ? 1 与曲线 y 2 ? x 有公共点? 2 2

【例17】 当 a 为何值时,曲线

【例18】 求过两圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和 2 x 2 ? 2 y 2 ? x ? 4 y ? 0 的公共点的直线方程.

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【例19】 设 a ? 0 且 a ? 1 ,试求使方程 log a ( x ? ak ) ? log a2 ( x 2 ? a 2 ) 有解的 k 的取值范围.

【例20】 如图,曲线 G 的方程为 y 2 ? 2 x( y ≥ 0) .以原点为圆心,以 t (t ? 0) 为半径的圆分别与 曲线 G 和 y 轴的正半轴相交于点 A 与点 B .直线 AB 与 x 轴相交于点 C .

⑴求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式; ⑵设曲线 G 上点 D 的横坐标为 a ? 2 ,求证:直线 CD 的斜率为定值.
y D B A G:y 2 =2x

O

a

a+2

C

x

【例21】 过点 A(0 , ) 作直线与圆 E :( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 交于 B 、C 两点, 在直线 BC 上取点 P 满 a
??? ? ??? ??? ? ? ???? 足 BP ? ? PC , ? ? AC . AB

⑴求 P 点的轨迹方程; ⑵设所求轨迹方程与圆 E 交于 M 、 N 两点,求 ?EMN 面积的最大值.

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