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【K12学习】等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点

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等差等比数列练习题(含答案)以及基础知 识点
一、等差等比数列基础知识点 知识归纳: 1.概念与公式: ①等差数列:1°.定义:若数列{an}满足 an1and(常数), 则{an}称等差数列; 2°.通项公式:ana1(n1)dak(nk)d; 3°.前 n 项和公式: 公式:Snn(a1an)n(n1)na1d. 22②等比数列:1°.定义若数 列{an}满足 an1,则{an}称等比数列;2°.通项公式:q
anana1qn1akqnka1anqa1(1qn)(q1), 当 q=1 时 Snna1. ;3°.前 n 项和公式:Sn1q1q2.简单性质:
①首尾项性质:设数列{an}:a1,a2,a3,,an, 1°.若{an}是等差数列,则 a1ana2an1a3an2; 2°.若{an} 是等比数列,则 a1ana2an1a3an2. ②中项及性质: 1°.设 a,A,b 成等差数列,则 A 称 a、b 的等差中项, 且 Aab; 22°.设 a,G,b 成等比数列,则 G 称 a、b 的等比中 项,且 Gab. ③设 p、q、r、s 为正整数,且 pqrs, 1°. 若 {an}是等差数列,则 apaqaras; 2°. 若{an}是等比数列, 则 apaqaras; ④顺次 n 项和性质:
1 ° . 若 {an} 是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 , 则 a,a,akkk1kn12nk2n13nnkkn2n3nk 组成公差为 n2d 的等差数
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列; 2°. 若{an}是公差为 q 的等比数列,则偶数时这个结
论不成立) ⑤若{an}是等比数列。 a,a,ak1kn1k2n1k 组成公差为 qn 的等比数列.; 2°.若 n 为偶数,则 S 偶 S 奇 nd. 2 学习要点: 1.学习等差、等比数列,首先要正确理解与运用基本
公式,注意①公差 d≠0 的等差数列的通项公式是项 n 的一 次函数 an=an+b;②公差 d≠0 的等差数列的前 n 项和公式项 数 n 的没有常数项的二次函数 Sn=an2+bn;③公比 q≠1 的等 比数列的前 n 项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式;诸如上 述这些理解对学习是很有帮助的.
2.解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质, 但所用的性质必须简单、明确,绝对不能用课外的需要证明 的性质解题.
3.巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法, 例如:①三数成等差数列,可设三数为“a,a+m,a+2m”②三 数成等比数列,可设三数为“a,aq,aq2(或
a , a,aq) ” ③ 四 数 成 等 差 数 列 , 可 设 四 数 为 q “a,am,a2m,a3m(或 a3m,am,am,a3m);”④四数成等比数列, 可设四数为“a,aq,aq,aq(或 23aa3,,aq,aq),”等等;类似 的经验还很多,应在学习中总结经验. 3qq[例 1]解答下述问
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题: 111,,成等差数列,求证: abcbccaab,,成等差数列;
abcbbba,,c 成等比数列. 222 已知 [解析]该问题应该选择“中项”的知识解决。
112ac22acb(ac),acbacbbcabbcc2a2abb(ac)a2c2(1)acacac 2(ac)22(ac).b(ac)b
bccaab,, 成 等 差 数 列 ;abcbbbb2b(2)(a)(c)ac(ac) 2,22242bbba,,c 成等比数列.222 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a21,2Snn(an1),
2 求证:{an}是等差数列; 若数列{bn}满足: b13b25b3(2n1)bn2n1an6 求证:{bn}是等比数列. 2Snn(an1)[解析]2Sn1(n1)(an11)① ② ②-①得 2an(n1)an1nan1(n1)an1nan1, 令 n1 得 a11,a21,令 n2 得 a33,猜想 an2n3,用数学归纳 法证明: 1)当 n1 时,a11213,a21223,结论正确; 2)假设 nk(k2) 时结论正确,即 ak2k3,
当 nk1 时 ,(k1)ak1kak1k(2k3)12k23k1(2k1)(k1)
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k2,ak12k12(k1)3,结论正确.

1)、2)知,当 nN 时,an2n3,

an1an(2n1)(2n3)2,即{an}是公差为 2 的等差数列;(2)



Tn2n1an62n1(2n3)6,



n2



(2n1)bnTnTn12n1(2n3)2n(2n5)(2n1)2n,bn2n(n2),



b14(1)62,也适合,当 nN 时 bn2n,bn12,即{bn}是公比为 2 的

等比数列.bn

[评析]判断一个数列成等差、等比数列主要方法有:根

据“中项”性质、根据“定义”判断,或通过“归 纳猜想”

并证明.

[例 2]解答下述问题:

等差数列的前 n 项和为 Sn,若 SP 求 SPQ(用 P,Q 表示).

[解析]选择公式\Snanbn\做比较好,但也可以考虑用性

质完成.

3

2QP,SQ(PQ), PQ

Q2aPbPP2[解法一]设 Snanbn,PaQ2bQQ①



Q2P2①-②得:(PQ)[a(PQ)b],PQ,

PQPQ,a(PQ)bPQ,PQ(PQ).PQ2

SPQ(PQ)[a(PQ)b][解法二]不妨设 PQ,QPSPSQaQ1aQ2aP

PQ(PQ)(aQ1aP)2(PQ).PQ2PQ(PQ)(a1aPQ)PQSPQ,PQ2PQ

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SPQ 等比数列的项数 n 为奇数,且所有奇数项的乘积为

1024,所有偶数项的乘积为

1282,求项数 n.

[解析]设公比为 q,n12a1a3a5an102442

a2a4an11282a1q42(1)

35252



a1a2a3an102412822(a1qn1n2352a1qn352123(n1)2352)2, 将

(1)代入得(2)2,

5n35,得 n 等差数列{an}中,公差 d≠0,在此数列中依

次取出部分项组成的数列:

ak1,ak2,,akn 恰为等比数列,其中 k11,k25,k317,

求数列{kn}的前 n 项和.

[解析]a1,a5,a17 成等比数列,a5a1a17,

24

(a14d)2a1(a116d)d(a12d)0d0,a12d, 数 列 {akn} 的 公 比

qa5a14d3,a1a1①②

akna13n12d3n1 而 akna1(kn1)d2d(kn1)d ① , ② 得

kn23n11,3n1{kn}的前 n 项和 Sn2n3nn1[评析]例 2 是一组等

差、等比数列的基本问题,熟练运用概念、公式及性质是解

决问题的基本功. [例 3]解答下述问题:

三数成等比数列,若将第三项减去 32,则成等差数列;

再将此等差数列的第二项减去 4,又成等比数列,求原来的

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三数. [解析]设等差数列的三项,要比设等比数列的三项更简
单, 设等差数列的三项分别为 a-d, a, a+d,则有
22(ad)(ad32)ad32d32a022(a4)(ad)(ad)8a16d8263d232d64 0,d8 或 d,得 a10 或,
39226338 原三数为 2,10,50 或,,.999 有四个正整数成 等差数列,公差为 10,这四个数的平方和等于一个偶数的平 方,求此四数. [解析]设此四数为 a15,a5,a5,a15(a15),
(a152)(a5)2(a5)2(a15)2(2m)2(mN)4a25004m2(ma)(ma)125 ,1251125525,ma 与 ma 均 为 正 整 数 , 且 mama,ma1ma2ma125ma25 解得 a62 或 a12(不合),所求四数为 47,57,67,77
[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重 要方法,特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主
要方法. 二、等差等比数列复习题 一、 选择题 1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此 数列 为常数数列 为非零的常数数列 存在且唯一
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不存在 5 2.、在等差数列 anan 中,a14,且 a1,a5,a13 成等比数列,则 an 的通项
公式为 3n1 ann3 an3n1 或 an4 ann3 或 an4 ac 的值为 xy 3、已知 a,b,c 成等比数列,且 x,y 分
别为 a 与 b、b 与 c 的等差中项,则 12 2 2 不确定 y 是 b,c 的等比中项,那么 x2,b2,y2 三个数 4、互不相等的三个正数 a,b,c 成等差数列,x 是 a,b 的
等比中项。 成等差数列不成等比数列 成等比数列不成等差数
列 既成等差数列又成等比数列 既不成等差数列,又不 成等比数列 5、已知数列
an 的前 n 项和为 Sn,S2n14n22n,则此数列的通项公式为 2n2 an8n2 an2n1 ann2n 2an6、已知(zx)4(xy)(yz),则 111111,,成等差数列 ,,成等比数列 xyzxyzx,y,z 成 等差数列 x,y,z 成等比数列 7、数列 an 的前 n 项和 Snan1,则关于数列 an 的下列说法中,
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正确的个数有 ①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ②一定是
等差数列,但不可能是等比数列 ③可能是等比数列,也 可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数 列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列
4321 8、数列 1 1111,3,5,7,, 前 n 项 和 为 248161111112222nn1 nn1 nnn1 nnn1 2222229、若两个等差数列 an、bn 的前 n 项和分别为 An 、Bn,且满足 An87 Bn78 4n25n5,则 a5a13b5b13 的值为 10、已知数列 79 1920 an 的前 n 项和为 Snn25n2,则数列 an 的前 10 项和为 an 的通项公式 ann5 为, 从 an 中依次取出第 3,9,27,… 3, …项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列 n 56 58 62 60
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11、已知数列 的前 n 项和为 n(3n13)3n10n33n110n3n 35 22212、下列命题中是真命题的是 ( ) 6 A.数列 an 是等差数列的充要条件是 anpnq(p0) an 的前 n 项和为 Snan2bna,如果此数列是等差数列,那 么此数列也是等比数列 B.已知一个数列 C.数列 an 是等比数列的充要条件 anabn1 D.如果一个数列二、 填空题 an 的前 n 项和 Snabnc(a0,b0,b1),则此数列是等比数列 的充要条件是 ac0 an,公比 q1a5,a7,a8,成等差数列,则公比 q= a2a6a18= 13、各项都是正数的等比数列 14、已知等差数列 an,公差 d0,a1,a5,a17 成等比数列,则 a1a5a17415、 已知数列 an 满足 Sn11an,则 an= an 是公差 d 不为零的等差数 列,数列 ab 是公比为 q 的等比数列,b11,b210,b346 ,求
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公比 q 及 bn。 n16、在 2 和 30 之间插入两个正数,使前三个数成等比
数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项 为 二、 解答题 17、已知数列
18、已知等差数列 19、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为 216, 后三个数成等差数列,其和为 36,求这四个数。 20、已知 21、数列求 an 的 公 差 与 等 比 数 列 bn 的 公 比 相 等 , 且 都 等 于 d(d0,d1) ,a1b1 ,a33b3,a55b5,求 an,bn。 an 为等比数列,a32,a2a420,求 an 的通项式。 3an 的前 n 项和记为 Sn,a11,an12Sn1n1 an 的通项公式; bn 的各项 为正, 其前 n 项和为 Tn,且 T315,又 a1b1,a2b2,a3b3 成等比数列,求 Tn 等差数列 22、已知数列 an 满足 a11,an12an1(nN*). an 的通项公式; bn 满足 4b1...4b1(an1)b(nN),证明:bn 是等差数列; 12nn 求数列 若数列 第九单元 数列综合题 一、选择题 题号 1
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2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 答 B D C A A A C A D D D D 案 二、 填空题 13. 152 14. 2629 15. 43(13)n 16. 63 三、解答题 =a1,ab2=a10=a1+9d,ab3=a46=a1+45d {abn} 为 等 比 数 例 , 得 2=a1(a1+45d) 得 a1=3d, 即 ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. ∴q=4 又{abn}是{an}中的第 bna 项,及 abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1 ∴bn=3·4n-1-2 18.∴ a3=3b3 , a1+2d=3a1d2 , a1(1-3d2)=-2d ① a5=5b5, a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d4)=-4d ② ②15d422155① ,得 13d2=2,∴ d=1 或 d=5,题意, d=5,a1=-5。∴an=a1+(n-1)d=5(n-6) 19.设这四个数为 aq,a,aq,2aqa ①则 aq·aaq216 ①,得 a3=216,a=6 ③ aaq(3aqa)36②③代入②,得 3aq=36,q=2 ∴这四个数 为 3,6,12,18 20.解: 设等比数列{aan}的公比为 q, 则 q≠0, a2=32 q = q , a4=a3q=2q 所以 220q + 2q=3 , 解得 q1 1=3 , q2= 3, 当 q11-18-
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1=3, a1=18.所以 an=18×(3)n1=3n-1 = 2×33n. 当 q=3 时, a22- 1= 9 , 所以 an=9 ×3n-1=2×3n3. 21.解:(I)an12Sn1 可得 an2Sn11n2,两式相减得 an1an2an,an13ann2 又 a22S113 ∴a23a1 故 an 是首项为 1,公比为 3 得 等比数列 ∴an1n3 bn=a1dn-1=-5·(5n-1 5)8 设 bn 的公差为 d T315 得,可得 b1b2b315,可得 b25 故可设 b15d,b35d 又 a11,a23,a39 题意可得 5d15d9532 解得 d12,d210 ∵等差数列 bn 的各项为正,∴d0 ∴d2 ∴Tnn1n3n22n22n 22: an12an(1n,)N* an112(an1), an1 是以 a112 为首项,2 为公比的等比 数列。 ann12. 即 a*n221(nN). 证法一: 4b114b21...4bn1(an1)bn. 4(b1b2...bn)n2nbn.
2[(b1b2...bn)n]nbn,
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2[(b1b2...bnbn1)(n1)](n1)bn1.

②-①,得

2(bn11)(n1)bn1nbn, 即(n1)bn1nbn20,



nbn2(n1)bn120. ④

④-③,得 nbn22nbn1nbn0,

即 bn22bn1bn0,



②9

bn2bn1bn1bn(nN*),

bn 是等差数列。

10

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