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圆锥曲线方程知识点总结


§ 8.圆锥曲线方程
一、椭圆方程.

知识要点
PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为椭圆,

1. 椭圆方程的第一定义: PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹,
PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2为端点的线段

⑴ 椭圆的标准方程:i. 中心在原点,焦点在 x 轴上: x ①
a

2 2

?
2 2

y2 b2
?

? 1( a ? b ? 0) .
? 1( a ? b ? 0) .

ii. 中心在原点,焦点在 y 轴上: y
a

x2 b2

② 一般方程: Ax2 ? By 2 ? 1( A ? 0, B ? 0) .
x2 a
2

③椭圆的标准方程:

?

y2 b
2

? x ? a cos? ? ? 1 的参数方程为 ? (一象限 ? 应是属于 0 ? ? ? ). y ? b sin? 2 ?

⑵ 顶点: (? a,0)(0,?b) 或 (0,? a)(?b,0) . ① ② 轴:对称轴:x 轴, y 轴;长轴长 2a ,短轴长 2b . ③ 焦点: (?c,0)(c,0) 或 (0,?c)(0, c) . ④ 焦距: F 1F 2 ? 2c, c ? a 2 ?b 2 . ⑤ 准线: x ? ? ⑥ 离心率: e ? ⑦ 焦点半径: i. 设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆 ii.设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆
x2 a2 x2 b2 ? ? y2 b2 y2 a2 ? 1( a ? b ? 0) 上的一点, F 1,F 2 为左、右焦点,则 PF1 ? a ? ex 0 , PF 2 ? a ? ex 0 ? ? 1( a ? b ? 0) 上的一点, F 1,F 2 为上、下焦点,则 PF1 ? a ? ey0 , PF2 ? a ? ey0?
2 2

a2 a2 或y?? . c c

c (0 ? e ? 1) . a

由椭圆第二定义可知: pF1 ? e( x0 ? a ) ? a ? ex0 ( x0 ? 0), pF2 ? e( a ?x0 ) ? ex0 ?a( x0 ? 0) 归结起来为“左加右减”.
c c

注意:椭圆参数方程的推导:得 N (a cos? , b sin? ) ? 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标: d ? ⑶共 离 心 率 的 椭 圆 系 的 方 程 : 椭 圆
x
2

2b 2 a2

( ? c,

b2 b2 ) 和 (c, ) a a

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1( a ? b ? 0) 的 离 心 率 是 e ?

c (c ? a 2 ?b 2 ) , 方 程 a

a2

?

y2 b2

? t (t 是大于 0 的参数, ? b ? 0) 的离心率也是 e ? a x2 a
2

c 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. a

⑸若 P 是椭圆:

?

y2 b
2

? 1 上的点. F 1,F 2 为焦点,若 ?F 1PF 2 ? ? ,则 ?PF1F 2 的面积为 b 2 tan

?
2

(用

余弦定理与 PF1 ? PF 2 ? 2a 可得). 若
b 2 ? cot

PF1 ? PF2 , 此三角形面积为 b2 ; 若是双曲线,则面积为

?
2

.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 PF ? PF2 的条件是 c≥b,即椭圆的离心率 e 的范围 b 4.在椭圆 a 上存在点 P,使 1

2 ,1) 是 2 ; [
5.椭圆的的内外部

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 0 ? 0 ?1 P( x0 , y0 ) 在椭圆 a 2 b a 2 b2 (1)点 的内部 .
2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 2 ?1 P( x0 , y0 ) 在椭圆 a 2 b2 a b (2)点 的外部 .

6.椭圆的切线方程

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ?1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 a 2 b b (1)椭圆 a 上一点 . x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ?1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a 2 b b (2)过椭圆 a 外一点 .

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 2 2 2 2 2 b (3)椭圆 a 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c .
▲y

二、双曲线方程.
PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为双曲线

( bcos? , bsin? ) ( acos? , asin? ) Nx

1. 双曲线的第一定义: PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹
PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2 的一个端点的一条射线

⑴ 双曲线标准方程: ①

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a, b ? 0),

y2 a2

?

x2 b2

? 1(a, b ? 0) .

N的轨迹是椭圆

一般方程: Ax2 ?Cy 2 ? 1( AC ? 0) . ⑵ i. 焦点在 x 轴上: ① 顶点: (a,0), (?a,0) 焦点: (c,0), (?c,0) 准线方程 x ? ?
a2 c a2 . c

渐近线方程:

x2 y2 x y ? ? 0或 2 ? 2 ? 0 a b a b

ii. 焦点在 y 轴上:
( ( 顶点: 0,?a), (0, a) . 焦点: 0, c), (0,?c) . 准线方程:y ? ?

y2 x2 y x 渐近线方程: ? ? 0 或 2 ? 2 ? 0 , a b a b

参数方程: ?

? x ? a sec? ? x ? b tan ? 或? . y ? b tan ? ? ? y ? a sec?

② x, y 为对称轴,实轴长为 2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c. 轴 ③ 离心率 e ? ④ 准线距
c . a

2a 2 2b 2 (两准线的距离);通径 . c a

⑤ 参数关系 c 2 ?a 2 ?b 2 , e ?

c . a
x2 a2 ? y2 b2 ?1

⑥ 焦点半径公式:对于双曲线方程

( F 1,F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) “长加短减”原则:(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)
MF1 ? ex 0 ?a MF 2 ? ex 0 ?a M ?F 1 ? ?ex 0 ?a M ?F 2 ? ?ex 0 ? a y
▲ ▲

构成满足 MF1 ? MF 2 ? 2a

y F1 M x x

M F 1 ? ey 0 ? a M F 2 ? ey 0 ? a ? M ? 1 ? ?ey 0 ? a F M ? 2 ? ?ey 0 ? a F ?
F1

M'

M

F2 M' F2

⑶ 等轴双曲线:双曲线 x 2 ? y 2 ? ?a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y ? ? x ,离心率 e ? 2 . ⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲 x2 y2 x2 y2 x2 y2 线. 2 ? 2 ? ? 与 2 ? 2 ? ?? 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: 2 ? 2 ? 0 . a b a b a b ⑸ 共渐近线的双曲线系方程:
x2 a2 ? y2 b2 ? ? (? ? 0) 的渐近线方程为 x2 a2 ? y2 b2 ? 0 如果双曲线的渐近线为


x2 y2 x y ? ? 0 时,它的双曲线方程可设为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) . a b a b

y

例如:若双曲线一条渐近线为 y ?
2

1 1 x 且过 p(3,? ) ,求双曲线的方程? 2 2
2 2
F1

4

3

2 1
x

解:令双曲线的方程为:

y x 1 x ? ? 1. ? y 2 ? ? (? ? 0) ,代入 (3,? ) 得 8 2 2 4

53
F2

⑹直线与双曲线的位置关系: 3 区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 小结:1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条. 2.若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入 ” “? 法与渐近线求 交和两根之和与两根之积同号. ⑺若 P 在双曲线
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 ,则常用结论

1:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.
PF 1

2:P 到焦点的距离为 m、n,则 P 到两准线的距离比为 m︰n. 简证:

d1 ? e d2 PF 2 e

=

m . n

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 3.双曲线 a 的焦半径公式

a2 a2 PF1 ?| e( x ? ) | PF2 ?| e( ? x) | c , c .
4.双曲线的内外部

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ? 0 ? 0 ?1 P( x0 , y0 ) 在双曲线 a 2 b a 2 b2 (1)点 的内部 . x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ? 0 ? 0 ?1 P( x0 , y0 ) 在双曲线 a 2 b a 2 b2 (2)点 的外部 .
5.双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2 y2 x2 y 2 b ? 2 ?0? y?? x ? 2 ?1 2 2 a . ?渐近线方程: a b b (1)若双曲线方程为 a
y??
(2)若渐近线方程为

x y x2 y2 b ? ?0 ? ?? x a ?a b ? 双曲线可设为 a 2 b 2 .

x2 y2 x2 y2 ? 2 ?? ? 2 ?1 2 2 b b (3)若双曲线与 a 有公共渐近线, 可设为 a (? ? 0, 焦点在 x 轴上,? ? 0 ,
焦点在 y 轴上). 6.双曲线的切线方程

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ?1 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 a 2 b b (1)双曲线 a 上一点 .

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 b (2)过双曲线 a 外一点
x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b .

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 2 2 2 2 b (3 双曲线 a 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c .
7.焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度(即 b 值) 三、抛物线方程. 3. 设 p ? 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
y 2 ? 2 px
y 2 ? ?2 px


x 2 ? 2 py
y


x 2 ? ?2 py


图形



y

y

y

x O

x O

x O
O

x

焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦点

F(

p ,0) 2

F (? x?

p ,0) 2

F (0,

p ) 2

F (0,? y?

p ) 2

p 2 x ? 0, y ? R x??

p 2 x ? 0, y ? R

p 2 x ? R, y ? 0 y??

p 2 x ? R, y ? 0

x轴

y轴

(0,0)
e ?1
PF ? p ? x1 2 PF ? p ? x1 2 PF ? p ? y1 2 PF ? p ? y1 2

注:① ay 2 ?by ? c ? x 顶点 (

4ac ?b 2 b ? ). 4a 2a
2 2

② y 2 ? 2 px( p ? 0) 则焦点半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 则焦点半径为 PF ? y ? P . ③通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的. ④ y 2 ? 2 px (或 x 2 ? 2 py )的参数方程为 ?
? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(或 ?

? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

)( t 为参数).

CD ? x1 ?
5、过焦点弦长

p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p 2 2 .

对焦点在 y 轴上的抛物线有类似结论。 6、设点方法:

y0 2 ,y ) 2 y 2 ? 2 px 上的动点可设为 P 2 p 0 或 P(2 pt 2 ,2 pt)或 P ( x? , y? ) ,其中 y0 ? 2 px0 . 抛物线 (
四、圆锥曲线的统一定义.. 4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹. 当 0 ? e ? 1时,轨迹为椭圆;当 e ? 1 时,轨迹为抛物线;当 e ? 1 时,轨迹为双曲线;当 e ? 0 时,轨迹 c 为圆( e ? ,当 c ? 0, a ? b 时). a 5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如: 椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对 称的.因为具有对称性,所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可. 注:椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 1. 到两定点 F1,F2 的距离之和为定 值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 定义 2.与定点和直线的距离之比为定 值 e 的点的轨迹.(0<e<1) 方 标准 方程 双曲线 1.到两定点 F1,F2 的距离之差的 绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|)的 点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为 定值 e 的点的轨迹.(e>1) 与定点和直线的距离 相等的点的轨迹. y2=2px 抛物线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

参数 方程 程 范围 中心 顶点 对称轴 焦点 焦距

? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)
─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴,y 轴;长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0) (c= a 2 ? b 2 )

? x ? a sec? ? y ? b tan? ? (参数?为离心角)
|x| ? a,y?R 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0) x 轴, 轴;实轴长 2a, 虚轴长 2b. y F1(c,0), F2(─c,0) 2c (c= a 2 ? b 2 )

? x ? 2 pt 2 (t 为参数) ? y ? 2 pt ?
x?0 (0,0) x轴

p F ( ,0 ) 2

2c 离心率 准线

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

c (e ? 1) a

e=1

a2 x= ? c

a2 x= ? c
y=±

x??

p 2

渐近线 焦半径 通径

b x a

r ? a ? ex

r ? ?(ex ? a)

r ? x?

p 2

2b 2 a
b2 a

2b 2 a
b2 a

2p

焦参数

P

1. 方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程. 2. 共渐近线的双曲线系方程. 圆锥曲线共性问题 1.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线

f1 ( x, y) ? 0 , f 2 ( x, y) ? 0 的交点的曲线系方程是

f1 ( x, y) ? ? f 2 ( x, y) ? 0 ( ? 为参数).
x2 y2 ? 2 ?1 2 2 2 2 2 (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 a ? k b ? k ,其中 k ? max{a , b } .当 k ? min{a , b }
时,表示椭圆; 当 min{a , b } ? k ? max{a , b } 时,表示双曲线.
2 2 2 2

2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2



AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ?
(弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

?y ? kx ? b ? F( x, y) ? 0 消去 y 得到 ax2 ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 , ? 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线 由方程 ?
的斜率). 3.涉及到曲线上的点 A,B 及线段 AB 的中点 M 的关系时,可以利用“点差法: 比 如 在 椭 圆 中



A( x1 , y ), B ( x , y ), 中点M( x0, y 0), 则有 : 1 2
2 1 2 2 1 2

2

x y ? ? 1(1) a b x2 2 y 2 ? 2 ? 1(2) a2 b2 x y ? y2 x ? x2 b2 b2 (1) ? (2) ? 1 ? 1 ? (? 2 ) ? 0 ? (? 2 ) x1 ? x2 y1 ? y2 a y0 a
4.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y) ? 0 关于点

P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 .

(2)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是

F (x ?

2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? )?0 2 2 A ?B A2 ? B 2 .

5.“四线”一方程
2 2 2 2 xx y y 对 于 一 般 的 二 次 曲 线 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 用 0 代 x , 用 0 代 y , 用

x0 y ? xy0 x0 ? x y0 ? y xy ,用 2 代 x ,用 2 代 y ,即得方程 2 代

Ax0 x ? B ?

x0 y ? xy0 x ?x y ?y ? Cy0 y ? D ? 0 ?E? 0 ?F ?0 2 2 2 ,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦

中点方程均是此方程得到.


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