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2013-2014大连24中高二上学期期中考试数学


高二年级数学科试卷参考答案

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2013-2014 学年度上学期高二期中考试数学科试卷 参考答案
一.选择题: DBDCC ADABB CA

二.填空题: 13、

3 5 , 14、 ( ??, ] ,15、 [1 ? 2,1 ? 2] ,16、②③④ 2 4

三.解答题: (17 题 10 分,18—22 题每题 12 分) 17、解:命题 p : ? ? 16 ? 4a ? 0 ? a ? ? ??, ?2 ? ? ? 2, ?? ?
2

……2 分

命题 q : m ?? ?1,1? ? m2 ? 8 ? ?2 2,3? ? a2 ? 5a ? 3 ? 3 ? a ? ? ??, ?1? ? ?6, ?? ?

?

?

……5 分 ① 若 p 真 q 假,则 ?

?a ? 2或a ? ?2 ?2?a?6 ??1 ? a ? 6
? ?2 ? a ? 2 ? ?2 ? a ? ? 1 ? a ? ?1或a ? 6

……7 分

② 若 p 假 q 真,则 ?

……9 分

③ 综合①②可知:实数 a 的取值范围为 a ? ? ?2, ?1? ? ? 2, 6 ? 18、解: (1)由题知 ?

……10 分

?a ? 2 ? b ? c ? 4, 即 | AC | ? | AB |? 4 (定值)……2 分 ?b ? c ? 2a

由椭圆定义知,顶点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点的椭圆(除去左右顶点) ,……4 分 所以顶点 A 的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) 4 3

……6 分

? ? 2 ? S ? b tan 2 ? 3 ? ? y?? 3 (2)设 P( x, y ) , ? ? S ? 1 | BC | ? | y |?| y | ? ? 2
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……10 分

代入椭圆方程可求得: P 0, 3 或P 0, ? 3 (其他解法酌情给分)

?

?

?

?

……12 分

19、解: (1)由 a1 ? 1, an 2 ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2, n ? N *) ? an ?12 ? Sn ?1 ? Sn ? 2 (n ? 3) 2 分 两式相减得: an 2 ? an ?12 ? Sn ? Sn ?2 ? an ? an ?1 ? an ? an ?1 ? 1(n ? 3) ……4 分

又 a2 2 ? S2 ? S1 , a1 ? 1 ? a2 2 ? a2 ? 2 ? 0, 由 a2 ? 0 , a2 ? 2 , 得 所以 an ? an ?1 ? 1(n ? 2) 所以 an ? n ? n ? N *?
2 (2)由已知: bn ? ?1 ? n ? ? a ?1 ? n ? ? n ? ? a ? 2 ? n ? 1 ? a 2

……6 分 ……8 分

则 bn ?1 ? bn ? 2n ? 1 ? a ? 2 ? 0 对任意 n ? N * 恒成立, 即 a ? 1 ? 2n 对任意 n ? N * 恒成立 解得 a ? ?1 ,所以 a ? ?1 时, bn ?1 ? bn 对任意 n ? N * 恒成立, (其他解法酌情给分) ……10 分 ……12 分

ax (a ? 1) x ? 1 ……2 分 ?1 ? 0 ? ?0 x ?1 x ?1 ?1 ①当 a ? 1 ? 0 即 a ? 1 时 ……4 分 ? 0 ? {x | x ? ?1} x ?1 (a ? 1) x ? 1 1 ②当 a ? 1 ? 0 即 a ? 1 时 ? 0 ? (a ? 1)( x ? )( x ? 1) ? 0 x ?1 a ?1 1 ……6 分; ? {x | x ? ?1或x ? } a ?1 (a ? 1) x ? 1 1 ③当 ?1 ? a ?1 ? 0 即 0 ? a ? 1时 ? 0 ? (a ? 1)( x ? )( x ? 1) ? 0 x ?1 a ?1 1 ? {x | ? x ? ?1} ……8 分; a ?1
20、解:原不等式可化为 ④当 a ? 0 时,原不等式解集为 ? ; ……10 分

综上可知:当 a ? 0 时,原不等式解集为 ? ; 当 0 ? a ? 1时原不等式解集是 {x |

1 ? x ? ?1} ; a ?1
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高二年级数学科试卷参考答案

当 a ? 1 时原不等式解集是 {x | x ? ?1} ; 当 a ? 1 时原不等式解集是 {x | x ? ?1或x ? 21、解: (1)由条件 bn ?

1 } a ?1

……12 分

an ,得 an ? nbn , an ?1 ? (n ? 1)bn ?1 ,将其代入 n
……2 分

1 1 n ?1 ? 1? an ?1 ? ?1 ? ? an ? n ,整理得 bn?1 ? bn ? n , bn?1 ? bn ? n , 2 2 2 ? n?
利用叠加法求得: bn ? b1 ? 或用迭代法求得:

1 1 1 1 ? 2 ? ? ? n?1 ? bn ? 2 ? n?1 ? n ? 2 ? 2 2 2 2

bn ? bn ?1 ?

1 1 1 1 1 1 ? bn ? 2 ? n ? 2 ? n ?1 ? ? ? b1 ? 1 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 n ?1 2 2 2 2 2 2 1 ? ? 1? ? 1 ? n ? 1 1 1 1 2 ? ? 1 ? 1 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ? ? ? 2 ? n ?1 1 2 2 2 2 1? 2
1 ? n ? N *? 2n?1
……6 分 ……8 分

……5 分

检验 n ? 1 满足, 所以 bn ? 2 ? (2) an ? nbn ? 2n ?

n ? n ? N *? 2n ?1

n ? ? 1 2 Sn ? 2(1 ? 2 ? ? ? n) ? ? 0 ? 1 ? ? ? n ?1 ? , 2 ? ?2 2
即 Sn ? n(n ? 1) ? ?

1 2 n n ? ? 1 2 ? 1 ? ? ? n ?1 ? ,设 Tn ? 0 ? 1 ? ? ? n ?1 ,① 0 2 2 2 2 ? ?2 2

1 1 2 n ?1 n Tn ? 1 ? 2 ? ? ? n?1 ? n ② 2 2 2 2 2 n?2 ②-①并整理得 Tn ? 4 ? n ?1 2 n?2 所以 Sn ? n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 ? n ? N *? 2 c 1 22、解: (1)由题意知 e ? ? , a 2

……10 分 ……12 分

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c2 a 2 ? b2 1 6 4 ?e ? 2 ? ? ,即 a 2 ? b 2 ,又 b ? ? 3,? a 2 ? 4, b 2 ? 3 2 a a 4 3 1?1
2

故椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

……3 分

(2)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4)

? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 y 2 得 (4k 2 ? 3) x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4
由 ? ? (?32k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 ,得 k 2 ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

……4 分

1 . 4

……5 分

32k 2 64k 2 ? 12 ……① , x1 x2 ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
……6 分

? y1 y2 ? k ( x1 ? 4)?k ( x2 ? 4) ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 ( x1 ? x2 ) ? 16k 2

??? ??? ? ? 64k 2 ? 12 32k 2 87 ? OA? ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 )? 2 OB ? 4k 2 ? 2 ? 16k 2 ? 25 ? 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3
?0 ? k 2 ? 1 87 87 87 , ?? ?? 2 ?? 4 3 4k ? 3 4 ??? ??? ? ? 13 ? OA? ? [?4, ) , OB 4 ??? ??? ? ? 13 ?OA? 的取值范围是 [?4, ) OB 4

……8 分

(3)证明:? B, E 两点关于 x 轴对称,? E ( x2 , ? y2 ) , 直线 AE 的方程为 y ? y1 ?

y1 ? y2 y (x ? x ) ( x ? x1 ) ,令 y ? 0 ,得 x ? x1 ? 1 1 2 , x1 ? x2 y1 ? y2 2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ,将①代入得, x ? 1 ……10 分 x1 ? x2 ? 8
……12 分

又 y1 ? k ( x1 ? 4), y2 ? k ( x2 ? 4) ? x ? 所以直线 AE 与 x 轴交于定点 (1, 0) .

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