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2009届高三年第二次模拟考试数学参考答案(理科)2009.05.24


仙游一中 现代中学

2009 届高三年第二次模拟考试 2009.05.24

数学参考答案 (理科)
一、选择题: 1. C 2. A 二、填空题: 11. y ? ? 3x 三、解答题: 3. D 4. D 5. A 6. B 7.A 8. C 9.C 10. A
2? . 3

12.

2.

13. ③ ④

14.

9 4

15.

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? , 16.解: (Ⅰ)∵ a ? c ? b ? ac ,∴ cos B ? 2ac 2
2 2 2

…………3 分

又∵ 0 ? B ? ? ,

∴B ?
2

?
3



…………6 分

(Ⅱ) m ? n ? ?6sin A ? cos 2 A ? 2sin A ? 6sin A ? 1 ? 2(sin A ? ) ?
2

?? ?

2? ,∴ 0 ? sin A ? 1 .∴当 sin A ? 1 时,取得最小值为 ?5 ……13 分 3 1 2 17.解: (1)设甲选手答对一个问题的正确率为 P ,则 (1 ? P ) ? 1 1 9 2 故甲选手答对一个问题的正确率 P ? 3分 1 3 2 3 8 (Ⅱ)选手甲答了 3 道题目进入决赛的概率为 ( ) = 4分 3 27 8 2 2 3 1 选手甲答了 4 道题目进入决赛的概率为 C3 ( ) ? ? 5分 3 3 27 16 2 2 3 1 2 选手甲答了 5 道题目进入决赛的概率为 C4 ( ) ( ) ? 6分 3 3 81 8 8 16 64 ? ? ? 选手甲可以进入决赛的概率 P ? 8分 27 27 81 81 2 3 1 3 1 (Ⅲ) ? 可取 3,4,5 则有 P(? ? 3) ? ( ) ? ( ) ? 9分 3 3 3 2 1 2 1 2 1 10 P(? ? 4) ? C32 ( ) 2 ? ? ? C32 ( ) 2 ? ? ? 10 分 3 3 3 3 3 3 27 1 2 2 1 8 2 2 2 1 P(? ? 5) ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? 11 分 3 3 3 3 3 3 27
∵0 ? A ? 因此有(直接列表也给分)
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3 2

11 ,…10 分 2

?
P
故 E? ? 3 ? ? 4 ?

3

4

5

1 3 1 3 10 8 107 ? 5? ? 27 27 27

10 27
13 分

8 27

18.解:由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的 直三棱柱 ADE ? BCF , 且AB ? BC ? BF ? 4, DE ? CF ? 4 2, ?CBF ? (1)证明:连续取 BE ,易见 BE 通过点 M ,连接 CE 。

?
2

EM ? BM .CN ? BN ? MN // CE, CE ? 面CDEF ? MN // 面CDE
(2)作 BQ ? CF 于 Q ,连接 AQ ,面 BFC ? 面ABFE,

4分

面ABFE ? 面BFC=BF, AB ? 面ABFE, AB ? BF ? AB ? 面BCF CF ? 面BCF ? AB ? CF, BQ ? CF, AB ? BQ ? B ? CF ? 面ABQ,AQ ? 面ABQ
? AQ ? CF, 故 ?AQB 为所求二面角的平面角。
在 RT?ABQ 中 tan ?AQB ? 故所求二面角的余弦值为 6分

AB 4 3 ? ? 2 ? cos ?AQB ? BQ 2 2 3
9分

3 3
1 3

(3)棱锥 A ? CDEF 的体积 V ? 2 ? VC ? AEF ? 2 ? S ABF ? BC ? 19. 解: (1)由 e ?

64 . 3

13 分

3 b2 2 , 得 2 ? 1 ? e2 ? ; 3 a 3
2 2 2

(2 分)

由直线 l : x ? y ? 2 ? 0与圆x ? y ? b 相切, 得

2 2

?| b | .所以, b ? 2 , a ? 3

所以椭圆的方程是

x2 y2 ? ? 1. 3 2

(4 分)

(2)由条件,知|MF2|=|MP|.即动点 M 到定点 F2 的距离等于它到直线 l1 : x ? ?1 的 距离,由抛物线的定义得点 M 的轨迹 C2 的方程是 y ? 4 x .
2

(8 分)

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2 ??? ? y12 y2 y12 (3)由(2) ,知 Q (0, 0) .设 R( , y1 ), S ( , y2 ), 所以QR ? ( , y1 ), 4 4 4

??? ? ??? ??? ? ? y 2 ? y12 y 2 ( y 2 ? y12 ) RS ? ( 2 , y2 ? y1 ). 由QR ? RS ? 0, 得 1 2 ? y1 ( y2 ? y1 ) ? 0. 4 16

因为y1 ? y2 , 化简得y2 ? ? y1 ?

16 ??????(10分) y1

2 ? y2 ? y12 ?

256 256 ? 32 ? 2 256 ? 32 ? 64(当且仅当y12 ? 2 ,即 y 1 = ? 4 时等号成立) ? 2 y1 y1

2 y2 2 1 2 2 2 ? QS |? ( ) ? y 2 ? | ( y 2 ? 8) 2 ? 64,? y 2 ? 64. 4 4

2 所以当 y2 ? 64,即y2 ? ?8时, | QS |min ? 8 5. 故 | QS | 的取值范围是 8 5. ? ? . (13 分)

?

?

20.解: (Ⅰ)函数的定义域为(-1, +∞).…………………………………… 1 分 ∵ f / ( x) ? 2[( x ? 1) ? 1 ] ? 2 x( x ? 2) , x ?1 x ?1 由 f / ( x) ? 0 ,得 x>0;由 f / ( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? 0 .………………… 3 分 ∴ f (x)的递增区间是 (0, ??) ,递减区间是(-1, 0).…………… 4 分 (Ⅱ)∵ 由 f / ( x) ? 2 x( x ? 2) ? 0 ,得 x=0,x=-2(舍去) x ?1 由(Ⅰ)知 f (x)在 [ 1 ? 1, 0] 上递减,在 [0, e ? 1] 上递增. ……… 6 分 e 1 1 又 f ( ? 1) ? 2 ? 2 , f (e ?1) ? e2 ? 2 , 且 e 2 ? 2 ? 12 ? 2 . e e e 2 1 ∴ 当 x ? [ ? 1, e ? 1] 时,f (x)的最大值为 e ? 2 . e 故当 m ? e2 ? 2 时,不等式 f (x)<m 恒成立.……………… 9 分 (Ⅲ)方程 f ( x) ? x2 ? x ? a , x ? a ? 1 ? 2ln(1 ? x) ? 0 . 记 g ( x) ? x ? a ? 1 ? 2ln(1 ? x) , ∵ g / ( x) ? 1 ? 2 ? x ? 1 , 1? x x ?1 由 g / ( x) ? 0 ,得 x>1 或 x<-1(舍去). 由 g / ( x) ? 0 , 得 ?1 ? x ? 1 . ∴ g(x)在[0,1]上递减, 在[1,2]上递增. ………………12 分 为使方程 f ( x) ? x2 ? x ? a 在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根,

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只须 g(x)=0 在[0,1]和 (1, 2] 上各有一个实数根,于是有 ? g (1) ? 0, ∵ 2 ? 2 ln 2 ? 3 ? 2 ln 3 , ∴a∈(2-ln2,3-2ln3] 21. (1)(本小题满分 7 分) 选修 4 一 2:矩阵与变换

? g (0) ? 0, ? ? g (2) ? 0. ?

………………14 分

?a 解: (1) 设 A= ? ?c

b? ? a b ? ? 1 ? ? ?1? ? a b ? ?1? ?1? ? ,由题知 ? c d ? ? ?3? = ? 3 ? , ? c d ? ?1? =3 ?1? d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
∴ ? A=

?a ? 2 ?a ? 3b ? ?1 ? ? c ? 3d ? 3 ? 即 ,解之得: ? b ? 1 ? ? ?c ? 3 ? a?b ?3 ?d ? 0 ? c?d ?3 ? ?

?2 1? ? ?3 0?

----------------------------7 分

(2)(本小题满分 7 分) 选修 4 一 4:坐标系与参数方程 解: 曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? 化为直角坐标方程为 x2+y2-4x=0,
即(x-2)2+y2=4

? 2 t ?1 ?x ? ? 2 直线 l 的参数方程 ? ,化为普通方程为 x-y-1=0, 2 ? y? t ? ? 2
曲线 C 的圆心(2,0)到直线 l 的距离为

1 2 ? 2 2
14 .
------------------------7 分

所以直线 l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长 2 4 ? 1 = 2

(3)(本小题满分 7 分)选修 4——5:不等式选讲 解:

? ? ? x ? 2 y ? 3z ? ?32 ? ? ?
2 2 2

? 2?

2

2 ? 1 ? ? ?? ? ? ? 3? ? ?

1 ? ? ? ? 3x ? 2 y 2 ? 3z ? 3? ? ? ? 3x ? 2 y ? z ?
2 2

2

? ? 3 x ? 2 y ? z ? ? 12, ?2 3 ? 3 x ? 2 y ? z ? 2 3
当且仅当 x ? ?

9 3 3 3 3 3x ? 2 y ? z 取最小值,最小值为 ?2 3 …7 分 ,y?? ,z ? ? 17 17 17
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