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高考数学考前三个月(理)二轮专题复习课件4.3推理与证明_图文

第三讲 推理与证明 本 讲 栏 目 开 (1)归纳推理的一般步骤: ①通过观察某些个别情况发现某些相同性质; ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 ( 猜 想 ). (2)类比推理的一般步骤: ①找出两类事物之间的相似性或一致性; ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质, 得出一个明确 的命题 (猜想 ). (3)综合法的特点是:从“已知”看“可知”,逐步推向“未 知”,要求逐步推理,实际上是寻找它的必要条件 . (4)分析法的特点是:从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已 本 讲 栏 目 开 知”, 即从要证明的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至最后, 即把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 为止 . (5)适合用反证法证明的四类数学命题: ①唯一性命题; ②结论涉及“至多”“至少”“无限”的命题; ③否定性命题; ④直接证明较繁琐或困难的命题 . (6)数学归纳法 本 讲 栏 目 开 数学归纳法证明的步骤 ①证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时结论成立; ②假设n= k(k∈N*,且k≥ n0)时结论成立,证明n=k+1时结 论也成立. 由①②可知,对任意n≥n0,且n∈N*时,结论都成立. 1.(2013· 福建)设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S 本 讲 栏 目 开 到 T的函数 y=f(x)满足:(1)T= {f(x)|x∈ S};(2)对任意 x1, x2∈ S,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2).那么称这两个集合“保 序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是 A.A= N*, B=N B.A={x|- 1≤x≤ 3}, B={x|x=- 8或0<x≤10} C.A= {x|0<x<1}, B= R D.A= Z,B=Q ( ) 解析 对于 A,取 f(x)=x+1,满足题意. 本 讲 栏 目 开 ?-8,x=-1, ? 对于 B,取 f(x)=?x+1,-1<x<0,满足题意. ? x2+1,0≤x≤3, ? 1 对于 C,取 f(x)=tan[π(x- )],满足题意. 2 排除法,选 D. 答案 D 2.(2013· 陕西)观察下列等式 12=1 12-22=- 3 本 讲 栏 目 开 12-22+ 32= 6 12-22+ 32- 42=-10 …… 照此规律,第 n 个等式可为________. 解析 观察等式左边的式子,每次增加一项,故第n个等式 左边有n项,指数都是2,且正、负相间,所以等式左边的 通项为(-1)n 1n2. + 等式右边的值的符号也是正、负相间,其绝对值分别为 1,3,6,10,15,21,…. 设此数列为{an},则 a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4, 本 讲 栏 目 开 a5-a4=5,…,an-an-1=n,各式相加得 an-a1=2+3+ 4+…+n, n?n+1? 即 an=1+2+3+…+n= 2 . 所以第 n 个等式为 12-22+32-42+…+(-1)n+1n2 n+1n?n+1? =(-1) 2 . 2 2 2 2 n+1 2 n+1 n?n+1? 答案 1 -2 +3 -4 +…+(-1) n =(-1) · 2 本 讲 栏 目 开 3.(2013· 湖北 )古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多 n? n+ 1? 边形数, 如三角形数 1,3,6,10, …, 第 n 个三角形数为 2 1 2 1 = n + n,记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥ 3),以下列出 2 2 了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 1 2 1 三角形数 N(n,3)= n + n, 2 2 正方形数 N(n,4)= n2, 3 2 1 五边形数 N(n,5)= n - n, 2 2 六边形数 N(n,6)= 2n2- n ……………………………………… 可以推测 N(n, k)的表达式,由此计算 N(10,24)= __________________________________________________. 本 讲 栏 目 开 由 N(n,4)=n2,N(n,6)=2n2- n,可以推测:当 k 为偶 k- 2 2 4- k 数时,N(n, k)= n+ n, 2 2 解析 24-2 4-24 ∴N(10,24)= 2 ×100+ 2 ×10 =1 100-100=1 000. 答案 1 000 本 讲 栏 目 开 4.(2012· 陕西 )观察下列不等式: 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 …… 照此规律,第五个 不等式为 ________. ... 解析 归纳观察法. 观察每行不等式的特点,每行不等式左端最后一个分数的分 母与右端值的分母相等, 且每行右端分数的分子构成等差数列. 本 讲 栏 目 开 1 1 1 1 1 11 ∴第五个不等式为 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6 1 1 1 1 1 11 答案 1+22+32+42+52+62< 6 2ab 5.(2010· 湖北)设 a> 0,b>0, 称 为 a,b 的调和平均数. 如 a+ b 图,C 为线段 AB 上的点,且 AC=a, CB=b,O 为 AB 中 点, 以 AB 为直径作半圆. 过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D, 本 讲 栏 目 开 连结 OD,AD,BD.过点 C 作 OD 的垂线,垂足为 E.则图中 线段 OD 的长度是 a, b 的算术平均数,线段________的长 度是 a,b 的几何平均数,线段________的长度是 a,b 的调 和平均数. 解析 在 Rt△ABD 中,CD 是斜边 AB 上的高,所以 CD2= AC· CB,所以 CD= AC· CB= ab

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