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【福州市3月质检】福建省福州市2014届高三毕业班质检(数学理)


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2014 年福州市高中毕业班质量检测 理科数学试卷 (完卷时间:120 分钟;满分:150 分) 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

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一、 选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={(x,y)|y=lgx},B={(x,y)|x=a},若 A∩B= ? ,则实数 a 的取值范围是( A. a<1 B. a≤1 C. a<0 D. a≤0 ). ).

2.“实数 a=1”是“复数 (1 ? ai)i ( a∈R ,i 为虚数单位)的模为 2 ”的( A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既不是充分条件又不是必要条件 ) 是 开始 M=2 i=1 否 输出 M i<5?
M? 1 1? M

3. 执行如图所示的程序框图,输出的 M 的值是(

i=i+1

结束

A. 2 4. 命题”

B. ?1

1 C. 2

D. ?2 )

?x ? R ,使得 f ( x ) ? x ”的否定是(

A. ?x ? R ,都有 f ( x) ? x C. ?x ? R ,都有 f ( x) ? x

B.不存在 x ? R ,使 f ( x) ? x D. ?x ? R ,使 f ( x) ? x

5. 已知等比数列{an}的前 n 项积为 ? n,若 A.512 B.256

a3 ? a4 ? a8 ? 8 ,则 ? 9=(
D.16

).

C.81

6. 如图,设向量 OA ? (3,1) , OB ? (1,3) ,若 OC =λ OA +μ OB ,且λ ≥μ ≥1,则用阴影表示 C 点所有可能 的位置区域正确的是( )

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7. 函数 f(x)的部分图象如图所示,则 f(x)的解析式可以是(

).

y

O 3? - 2

? - 2

? 2

3? 2

f ( x) ?
A.f(x)=x+sinx B.

cos x x

C.f(x)=xcosx

D.

f ( x ) ? x( x ?

?
2

)( x ?

3? ) 2

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 8. 已知 F1、F2 是双曲线 a (a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点 P 与点 F2 关于直
y?
线

bx a 对称,,则该双曲线的离心为 (

).

5 A. 2

B. 5

C. 2

D.2
y

9.若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x), f(2-x)=f(x), 且当 x∈[0,1]时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数 H(x)= |xex|-f(x)在区间[-3,1]上的零点个数为 ( )

1

O

1

x

A.5

B.4

C.3

D.2

10. 已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d(b 、 c 、 d 为常数 ), 当 x ∈ (0,1) 时取得极大值 , 当 x ∈ (1,2) 时取极小值 , 则

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1 (b ? ) 2 ? ( c ? 3 ) 2 2 的取值范围是(

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).

A. (

37 ,5) 2

B. ( 5 ,5)

37 ,25 ) C. 4 (

D.(5,25)

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.5 名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为 (用数字作答). C B

y ? x2
O A

12.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 M,则点 M 恰好取自 阴影部分的概率为 .
2 2

13. 若直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆 C: ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 4 相交于 A、 B 两点,则 CA ? CB 的值为 14.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的表面积为 .

.

?x ? n ( ? 1) sin ? 2n, x ? [2n, 2n ? 1) ? ? 2 f ( x) ? ? , (n ? N ) ? x n ? 1 ?(?1) sin ? 2n ? 2, x ? [2n ? 1, 2n ? 2) ? 2 ? 15.已知函数 ,
m a m ? f ( )( m ? N ? ) S S ? S2006 = ?a ? 2 若数列{am}满足 ,且 m 的前 m 项和为 m ,则 2014

.

三、解答题:本大题共六个小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 在对某渔业产品的质量调研中,从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取 10 件,测量该产品中某种元素的含 量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图: 甲地 8 3 4 6 8 0 1 2 2 4 7 8 8 9 0 0 1 2 乙地

0 2 4 5 6

规定:当产品中的此种元素含量≥15 毫克时为优质品. (Ⅰ )试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数);
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(Ⅱ )从乙地抽出的上述 10 件产品中,随机抽取 3 件,求抽到的 3 件产品中优质品数 ? 的分布列及数学期望

E (? ) .

17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos x ? 2 3sin x cos x( x ? R). .
2

x ? [0, ] 2 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅰ )当
(Ⅱ )设 ? ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c ,且 c ? 3, f (C ) ? 2, 若向量 m ? (1, sinA) 与向量

?

n ? (2, sinB) 共线,求 a , b 的值.

18. (本小题满分 13 分)
0 ?,点 4 E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点,点 如图,直角梯形 ABCD 中, ?ABC ? 90 AB ? BC ? 2 AD=4

G 在 EF 上,沿 EF 将梯形 AEFD 翻折,使平面 AEFD ⊥ 平面 EBCF . (Ⅰ )当 AG + GC 最小时,求证: BD ⊥CG ; (Ⅱ )当

2VB- ADGE = VD- GBCF 时,求二面角 D - BG - C 平面角的余弦值.

19.(本小题满分 13 分) 已知动圆 C 过定点(1,0),且与直线 x=-1 相切. (Ⅰ)求动圆圆心 C 的轨迹方程; (Ⅱ)设 A、B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点,直线 OA 和 OB 的倾斜角分别为 ? 和 ? ,
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? ? ? ? ①当 = 2 时,求证直线 AB 恒过一定点 M;
② 若 ? ? ? 为定值 ? (0 ? ? ? ? ) ,直线 AB 是否仍恒过一定点,若存在,试求出定点的坐标; 若不存在,请说明 理由.

20. (本小题满分 14 分)

1 f ( x) ? ln (x + ) ? ax a 已知函数 ,其中 a ? R 且 a ? 0
(Ⅰ )讨论 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )若直线

y ? ax 的图像恒在函数 f ( x) 图像的上方,求 a 的取值范围;

1 ? x1 ? 0 x ? 0 ,使得 f ( x1 ) = f ( x2 ) = 0 ,求证: x1 ? x2 ? 0 . (Ⅲ)若存在 a , 2 ?
21. 本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则按所 做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入 括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换.

?3 3? ?1? A?? ?1 ? ? ?c d ? ? ?1? ? ? ? ? ? ,属于特征值 1 的一个特征向量 已知矩阵 ,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为

?2 ? ? ? ? 2? ? ? ?.
(Ⅰ )求矩阵 A 的逆矩阵;

? 3 ?

? ? 1? ? ? 4 ? ? ? 的值. (Ⅱ )计算 A3 ?
(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程. 在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为
? x ? ?2 ? ? ? ? ? y ? ?4 ? ? 4 cos? ,直线 l 的参数方程为: ? ? 2 t 2 2 t 2 (t 为参数),两曲线相交于 M,N 两点.

? sin2 ?

(Ⅰ )写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ )若 P(-2,-4),求|PM|+|PN|的值.
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(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x-4|+|x-3|, (Ⅰ )求 f(x)的最小值 m

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(Ⅱ )当 a+2b+3c=m(a,b,c∈ R)时,求 a2+b2+c2 的最小值.

2014 年福州市高中毕业班质量检测 数学(理科)试卷参考答案及评分标准

1—10 11.96

DABCA 12.1/3

DCBBD 13.0 14.18+ 2 3 cm2 15.8042

7 . 16. 解:(I)甲厂抽取的样本中优等品有 7 件,优等品率为 10 8 4 ? . 乙厂抽取的样本中优等品有 8 件,优等品率为 10 5 ………………4 分
(II) ? 的取值为 1,2,3. ………………5 分

P(? ? 1) ?

1 2 C8 ? C2 1 ? , 3 C10 15

………………7 分
1 C82 ? C2 7 P(? ? 2) ? ? , 3 C10 15 ………………9 分

P(? ? 3) ?

3 0 C8 ? C2 7 ? 3 15 ………………11 分 C10

所以 ? 的分布列为

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3

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?
P
………………12 分

1

2

1 15

7 15

7 15

?的数学期望为( E ?) ? 1?

2

1 7 7 12 ? 2 ? ? 3? ? . 15 15 15 5 ………………13 分

17. 解:(I) f ( x) ? 2cos x ? 3 sin 2 x

?? ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 6 ? ……………2 分 ? = cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 =
令 2

-

?

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2 k? , k ? Z


2k? ?
解得

? ? 2? ? k? ? ? x ? k? ? ? 2 x ? 2k? ? 3 6 …………4 分 3 3即
?

x ? [0, ] [0, ] 2 ,? f(x)的递增区间为 6

?

………………6 分

f (C ) ? 2 sin( 2C ?
(Ⅱ)由

?
6

)?1 ? 2
,得

sin( 2C ?

?
6

)?

1 2



C ? ? 0, ? ?

2C ?
,所以

?

? ? 13? ?? , 6 ?6 6

? ? 5 ? 2C ? ? ? C ? ? ? ,所以 6 6 得 3 ?????????8分

sin A 1 ? 因为向量 m ? (1, sinA) 与向量 n ? (2, sinB) 共线,所以 sin B 2 ,

a 1 ? 由正弦定理得: b 2

①……………10 分

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abcos
由余弦定理得: 由①②解得 a ?

?
3 ,即 a2+b2-ab=9 ②………12 分

3 , b ? 2 3 ……………13 分

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18. 解 :(Ⅰ ) 证 明 : ∵点 E 、 F 分 别 是 AB 、 CD 的 中 点 ,∴ EF//BC ABC=90°∴ AE⊥ EF,∵ 平面 AEFD⊥ 平面 EBCF, ∴ AE⊥ 平面 EBCF,AE⊥ EF,AE⊥ BE, 又 BE⊥ EF, 如图建立空间坐标系 E﹣xyz.……………2 分 翻折前,连结 AC 交 EF 于点 G,此时点 G 使得 AG+GC 最小.

又∠

1 EG= 2 BC=2,又∵ EA=EB=2.
则 A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0), D(0,2,2),E(0,0,0),G(0,2,0), ∴ =(﹣2,2,2), CG =(-2,-2,0) ∴BD ? CG =(﹣2,2,2)(-2,-2,0)=0, ∴BD ⊥CG ………………5 分 (Ⅱ )解法一:设 EG=k,

AD ∥ 平面 EFCB ,? 点 D 到平面 EFCB 的距离为即为点 A 到平面 EFCB
的距离.

S四形GBCF =

1 2 [(3- k)+4]×2=7-k 1 2 鬃 S四形GBCF AE (7 ? k ) 3 =3

\ VD- GBCF = 1 2 S四形ADGE BE (2 ? k ) 3 =3 ,



VB-

ADGE

=

4 2 (2 ? k ) (7 ? k ) 2VB- ADGE = VD- GBCF ,? 3 =3 ,

? k ? 1 即 EG=1…………………8 分
设平面 DBG 的法向量为

n1 ? ( x, y, z) ,∵G(0,1,0),

∴BG ? (?2,1,0), BD ? (-2,2,2),

? ? n1 ? BD ? 0 ??2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ? ?n1 ? BG ? 0 ,即 ? ?2 x ? y ? 0 则 ?
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取 x=1,则 y=2,z=-1,∴n ? (1, 2, ?1) 面 BCG 的一个法向量为

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…………………10 分

n2 ? (0,0,1)

则 cos<

n1 , n2 >=

n1 n2 6 ?? 6 | n1 || n2 |

…………………12 分

由于所求二面角 D-BF-C 的平面角为锐角,

6 所以此二面角平面角的余弦值为 6 ……………………13 分
(Ⅱ )解法二:由解法一得 EG=1,过点 D 作 DH ? EF,垂足 H,过点 H 作 BG 延长线的垂线垂足 O, 连接 OD. ∵ 平面 AEFD⊥ 平面 EBCF,? DH ? 平

? OD ? OB,所以 ?DOH 就是所求的二面角 D - BG - C 的 面 EBCF,
平面角. …………9 分

由于 HG=1,在 ? OHG 中

OH ?

2 5 5 ,

又 DH=2,在 ? DOH 中

tan ?DOH ?

DH ? 5 OH …………11 分

6 所以此二面角平面角的余弦值为 6 .…………13 分
19. 解: (Ⅰ )设动圆圆心 M(x,y), 依题意点 M 的轨迹是以(1,0)为焦点,直线 x=-1 为准线的抛物线………2 分 其方程为 y2=4x.- …………3 分 (Ⅱ )设 A(x1,y1),B(x2,y2).

由题意得 x1≠x2(否则 ? ? ? ? ? )且 x1x2≠0,则

x1 ?

y12 y2 , x2 ? 2 4 4

所以直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y=kx+b, 则将 y=kx+b 与 y2=4x 联立消去 x,得 ky2-4y+4b=0

由韦达定理得

y1 ? y 2 ?

4 4b , y1 y 2 ? k k -------※ …………6 分

y1 y2 ? ? ? 1, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 x x2 tan ? ? tan ? ? 1 ? ? ? 2 1 ① 当 = 时, 所以 ,…………7 分
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4b 所以 y1y2=16,又由※ 知:y1y2= k 所以 b=4k;因此直线 AB 的方程可表示为 y=kx+4k,所以直线 AB 恒过定点
(-4,0). …………8 分

? ② 当 ? ? ? 为定值 ? (0 ? ? ? ? ) 时.若 ? ? ? = 2 ,由① 知,
直线 AB 恒过定点 M(-4,0) …………9 分

??


?

tan ? ? tan ? 4( y1 ? y 2 ) 2 时,由 ? ? ? ? ? ,得 tan ? ? tan(? ? ? ) = 1 ? tan ? tan ? = y1 y 2 ? 16
tan ? ? 4 4 b ? 4k ? b ? 4k ,所以 tan ? ,…………11 分 4 tan ? ,

将※ 式代入上式整理化简可得:

4k ?
此时,直线 AB 的方程可表示为 y=kx+

( ?4,
所以直线 AB 恒过定点

4 ) tan ? …………12 分

??
所以当

?
2 时,直线 AB 恒过定点(-4,0)., ( ?4, 4 ) tan ? .…………13 分

??


?
2 时直线 AB 恒过定点

1 ( ? ,?? ) 20. 解:(I)f(x)的定义域为 a .

f ' ( x) =
其导数

1 x+ 1 a

- a= -

a2 x ax + 1
???1 分

1 ( ? ,?? ) ①当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,函数在 a 上是增函数;????2 分
②当 a ? 0 时,在区间

(-

1 , 0) a 上, f '( x) ? 0 ;在区间(0,+∞)上, f '( x) ? 0 .

所以 f ( x ) 在

(-

1 , 0) a 是增函数,在(0,+∞)是减函数. ????4 分

(II)当 a ? 0 时, 取

x ? e?

1 a,
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1 1 1 f (e ? ) ? 1 ? a(e ? ) ? 2 ? ae ? 0 ? ae ? 1 ? a(e ? ) a a a , 不合题意. 则
1 h( x) ? 2ax ? ln( x ? ) a ???6 分 当 a ? 0 时令 h( x) ? ax ? f ( x) ,则
问题化为求 h( x) ? 0 恒成立时 a 的取值范围.

h ' ( x ) ? 2a ?
由于

1 1 x? a

?

2a ( x ?

1 ) 2a 1 x? a ???7 分

? 在区间

(-

1 1 1 ( ? ,?? ) ,) a 2a 上, h' ( x) ? 0 ;在区间 2a 上, h' ( x) ? 0 .
h( ? 1 1 ) h( ? ) ? 0 2a ,所以只需 2a

? h( x) 的最小值为

2a ? ( ?


1 1 1 1 e ) ? ln(? ? ) ? 0 ? ln ? ?1 ? a ? 2a 2a a 2a 2 ???9 分 , ,

1 ( ? ,?? ) (Ⅲ)由于当 a ? 0 时函数在 a 上是增函数,不满足题意,所以 a ? 0
1 ?x?0 构造函数: g ( x) ? f (? x) ? f ( x) ( a ) ? 1 1 ? g ( x) ? ln( ? x) ? ln( x ? ) ? 2ax a a ???11 分

2ax 2 g ( x) ? ? ? 2a ? ?0 1 1 1 x? x? x2 ? 2 a a a 则
'

1

1

1 (? , 0) 所以函数 g ( x) 在区间 a 上为减函数.
于是

?

1 ? x1 ? 0 g ( x1 ) ? g (0) ? 0 , a ,则

f (- x f ( 1x )>0 , 又 f ( x1 ) ? 0 , f (- x1 ) > 0 = f ( x2 ) , 由 f ( x) 在 (0, ??) 上 为 减 函 数 可 知 1 )-

x2 ? ? x1 .即 x1 ? x2 ? 0 ???????14 分
21. (1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

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? c?d ?6 ?c ? 2 ? 3 3? ,? ? A?? ? ? 2 4? ? 3 c ? 2 d ? ? 2 d ? 4 ? ? ? ? . ………… 2 分 解: (Ⅰ)法一:依题意, .

A ?1
所以

1? ? 2 ? ? ? 2? ?? 3 1 1 ?? ? ? ? ? 3 2 ? …………4 分
?3

? ?3
法二:

?c

? ?d

? 0即?2 ? (3 ? d )? ? 3d ? 3c ? 0
的两个根为 6 和 1,

? 3 3? ?A?? ? 2 4? ? ? ? …………2 分 故 d=4,c=2.

A ?1
所以

1? ? 2 ? ? ? 2? ?? 3 1 1 ?? ? ? ? ? 3 2 ? -…………4 分

? ? 1? ?1? ? 3 ? ? ? 4 ? ? ? ? ? 2? ? ?1? ? ? ? =2 ? ? - ? ? …………5 分 (Ⅱ)法一: ? ? ? 1? ? 3 ? ? 429? ?1? ? ? ? ? 434? ? ? 4 ? ? ? ? 2? ? ? ?1? ? ? …………7 分 ? ? ? ? ? ? A3 =2× 63 -13 =? ? 3 3 ?? 3 3 ? ? 15 21? 3 ? 15 21?? 3 3 ? ? 87 129? A2 ? ? ? 2 4? ?? ? 2 4? ??? ? 14 22? ?; A ? ? ? 14 22? ?? ? 2 4? ??? ? 86 130? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 法二: ? ? 1 ? ? 87 129?? ? 1? ? 429? ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? = ? 86 130?? 4 ? ? 434? …………7 分 A3 ?
(2)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程. 解:(Ⅰ)(曲线 C 的直角坐标方程为 y2=4x, 直线 l 的普通方程 x-y-2=0. ………..4 分

? ? x ? ?2 ? ? ? ? y ? ?4 ? ? (Ⅱ)直线 l 的参数方程为 ?
2

2 t 2 2 t 2 (t 为参数),

代入 y2=4x, 得到 t ? 12 2t ? 48 ? 0 ,设 M,N 对应的参数分别为 t1,t2 则 t1 ? t 2 ? 12 2 , t1t 2 ? 48 ? 0 所以|PM|+|PN|=|t1+t2|= 12 2 …………7 分
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(3) )(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲

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解:(Ⅰ)法 1: f(x)=|x-4|+|x-3|≥|(x-4)-(x-3)|=1, 故函数 f(x)的最小值为 1. m=1. …………4 分

?2 x ? 7, x ? 4 ? f ( x ) ? ? 1,3 ? x ? 4 ?7 ? 2 x , x ? 3 ? 法 2: .------------------1 分
x≥4 时,f(x)≥1;x<3 时,f(x)>1,3≤x<4 时,f(x)=1,----------------3 分 故函数 f(x)的最小值为 1. m=1. …………4 分

(Ⅱ)由柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2=1----------5 分

1 故 a2+b2+c2≥ 14 -…………6 分
a?
当且仅当

1 1 3 ,b ? ,c ? 14 7 14 时取等号…………7 分

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福建省福州市2018届高三5月质检数学(理)试题含答案 - 2018 年 5 月福州市高中毕业班适应性练习 数学 (理科 )试题 本试卷共 4 页,23 题.全卷满分 150 分...
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