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高中数学第一章导数及其应用15定积分的概念练习含解析新人教A版选修2 2

1.5 定积分的概念 一、选择题 1.当 n 很大时,函数 f(x)=x 在区间 ? (i=1,2,…,n)上的值可以用 ( , ? n n? ? A. 2 ? i ?1 i ? )近似代替 i n B. f ? ?1? ? ?n? C. f ? ?i? ? ?n? D. 1 n 【答案】C 【解析】f(x)=x 在区间 ? , 上的值可以用区间 ? , 上每一点对应的函数值近似代替,故选 C. ? n n? ? ? n n? ? 2.在求由抛物线 y=x +6 与直线 x=1,x=2,y=0 所围成的平面图形的面积时,把区间[1,2]等分成 n 个 小区间,则第 i 个区间为( A. ? ) C. i ? 1, i 2 2 ? i ?1 i ? ? i ?1 i ? ? i ?1 i ? , ? n n? ? B. ? ? n ? i ?1 n ? i ? , n ? ? n ? ? ? D. ? , ? i i ? 1? ?n n ? ? 【答案】B 【解析】在区间[1,2]上等间隔地插入 n-1 个点,将它等分成 n 个小区间[1, n ?1 n ?1 n ? 2 ],[ , ],…, n n n 2n ? 1 ? n ? i ?1 n ? i ? ? n ? i ?1 n ? i ? ,…, [ , 2] ,所以第 i 个区间为 (i=1,2,…,n). , , ? ? n n ? n ? ? n ? ? n ? 3.已知 A. C. 2 ? f ? x ? dx ? 56 ,则( 3 1 ) B. D. ? f ? x ? dx ? 28 1 ? f ? x ? dx ? 28 3 2 ? 2 1 2 f ? x ? dx ? 56 ? f ? x ? dx ?? f ? x ? dx ? 56 2 3 1 2 【答案】D 【解析】由 y=f(x),x=1,x=3 及 y=0 的图象围成的曲边梯形可分拆成两个:由 y=f(x),x=1,x=2 及 y = 0 的 图 象 围 成 的 曲 边 梯 形 和 由 y = f(x) , x = 2 , x = 3 及 y = 0 的 图 象 围 成 的 曲 边 梯 形.∴ ? f ? x ? dx ?? f ? x ? dx ?? f ? x ? dx ? 56 ,故选 D. 3 2 3 1 1 2 4.定积分 A. ? 1 0 xdx 与 ? 1 0 1 0 xdx 的大小关系是( 1 1 0 0 ) ? 1 0 xdx = ? xdx B. ? xdx > ? xdx 1 C. ? 1 0 xdx < ? 1 0 xdx D.无法确定 【答案】C 【解析】在同一坐标系中画出 y= x 与 y=x 的图象如图,由图可见,当 x∈[0,1]时,y= x 的图象在 y =x 的图象上方,由定积分的几何意义知, ? 1 0 xdx < ? 1 0 xdx . 5.下列等式不成立的是( A. B. C. D. b ) b b ?a ? ?mf ? x ? ? ng ? x ?? ?dx =m ?a f ? x ?dx +n ?a g ? x ?dx ?a ? ? f ? x ? ? 1? ?dx = ?a f ? x ?dx +b-a b b ? f ? x ?g ? x ? dx = ? f ? x ? dx? g ? x ?dx b b b a a a ? 2π ?2 π sin xdx = ? 0 ?2 π sin xdx ? ? sin xdx 0 2π 【答案】C 【解析】利用定积分的性质进行判断,选项 C 不成立. 例如 ? 1 0 xdx ? 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 , ? x dx ? , ? x dx ? , ? x3dx ? ? xdx ? ? x 2 dx .故选 C. 0 0 0 0 0 2 3 4 6.下列命题不正确的是( ) A.若 f(x)是连续的奇函数,则 B.若 f(x)是连续的偶函数,则 ? ? a ?a a f ? x ?dx ? 0 f ? x ?dx ? 2? f ? x ?dx a 0 ?a C.若 f(x)在[a,b]上连续且恒正,则 D.若 f(x)在[a,b)上连续且 【答案】D b ? f ? x ?dx ? 0 b a ? f ? x ?dx ? 0 ,则 f(x)在[a,b)上恒正 a 【解析】对于 A,因为 f(x)是奇函数,所以图象关于原点对称,所以 x 轴上方的面积和 x 轴下方的面积相 等,故积分是 0,所以 A 正确;对于 B,因为 f(x)是偶函数,所以图象关于 y 轴对称,故图象都在 x 轴下方 或上方且面积相等,故 B 正确;C 显然正确;对于 D,f(x)也可以小于 0,但必须有大于 0 的部分,且 f(x)>0 的曲线围成的面积比 f(x)<0 的曲线围成的面积大. 2 二、填空题 7.已知 2 2 1 7 2 x dx ? x 2 dx ? ,则 ? ? x 2 ? 1?dx =________. , ?0 ? 1 0 3 3 1 【答案】 14 3 【解析】∵ ? 2 0 1 2 2 1 7 8 x 2 dx = ? x 2 dx + ? x 2 dx = ? ? , ? 1dx ? 2 , 0 1 0 3 3 3 ∴ ? ?x 2 0 2 2 2 8 14 ? 1?dx = ? x 2 dx + ? 1dx ? ? 2 ? . 0 0 3 3 2 8.由直线 x=0、x=1、y=0 和曲线 y=x +2x 围成的图形的面积为__________. 【答案】 4 3 1 , n 【解析】将区间[0,1]n 等分,每个区间长度为 2 i i 2

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