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【高考状元】数学错题本:第7章《数列》易错题(Word版,含解析)

我的高考数学错题本 第 7 章 数列易错题 易错点 1、已知 Sn 求 an 时, 易忽略 n ? 1 致错、 1 1 【例 1】已知数列 {an } 的前项和为 Sn = n2+ n+1、求 {an } 的通项公式、 2 2 1 1 1 1 【错解】an=Sn-Sn-1=2n2+2n+1-2(n-1)2-2(n-1)-1=n、所以 an ? n 、 【错因】 an ? Sn ? Sn?1 成立的条件是 n ? 2 、当 n ? 1 要单独验证、 1 1 【正解】当 n=1 时、a1=S1=2+2+1=2; 1 1 1 1 当 n≥2 时、an=Sn-Sn-1=2n2+2n+1-2(n-1)2-2(n-1)-1=n. ?n, n ? 1 当 n=1 时不符合上式、所以 an ? ? 、 ?n, n ? 2 易错点 2、利用等比数列前 n 项和公式时、忽略公比 q ? 1 致错、 【例 2】求数列 1,3a,5a2 ,7a3 ,......(2n ?1)an?1,.....(a ? 0) 的前 n 项和、 【错解】由于 an ? (2n ?1)a n?1 (n ? N *) 、 Sn ? 1 ? 3a ? 5a2 ? 7a3 ? ...... ? (2n ? 3)an?2 ? (2n ?1)an?1 aSn ? 1 a ? 3a2 ? 5 a 3? 7 a 4 ? . .? .... n ?( 2 a n? ? 3 ) n? a (n2 1) 1 ? an ? (2n ? 1)a n ? 1 1? a 两式相减得 (1 ? a)Sn ? 1 ? 2a ? 2a2 ? 2a3.....2an?1 ? (2n ?1)an = 2? 1 ? a n (2n ? 1)a n ? 1 . ? Sn ? 2? ? (1 ? a)2 1? a 【错因】上述解法只适合 a ? 1 的情形、 事实上、当 a ? 1 时、 Sn ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ...... ? (2n ? 3) ? (2n ?1) ? n(1 ? 2n ? 1) ? n2 2 ? 1 ? a n (2n ? 1) a n ? 1 ? ,a ?1 ? 2? 2 1? a 【正解】 S n ? ? (1 ? a ) 、 ?n 2 , a ? 1 ? 易错点 3、忽略数列与函数的区别致错、 ? a x ?5 , x?6 ? 【例 3】已知函数 f ( x) ? ? 、数列 {an } 满足 an ? f (n) ( n ? N* ) 、且数 a ?(4 ? ) x ? 4, x ? 6 ? 2 列 {an } 是单调递增数列、则的取值范围是_______、 ? ?a ? 1 ? ? a 【错解】由题有 ?4 ? ? 0 、得 7 ? a ? 8 、 2 ? a ? (4 ? ) ? 6 ? 4 ? a 6?5 ? ? 2 【错因】忽略数列与函数的区别致错、实际上、数列是一串离散的点、不能直接将 n ? 6 带入 到分段函数的两个部分进行比较、 ?a ? 1 ? a 48 ? ? a ?8、 【正解】由题有 ?4 ? ? 0 、得 7 2 ? ? ? f (5) ? f (6) 【例 4】 已知数列 an ? n2 ? tn ? 2 在 [2, ??) 是递增数列、则实数的取值范围是_______、 【错解】依题意、 n ? t ? 2 、解得 t ? 4 、所以的取值范围是 (??, 4] 、 2 【错因】数列的定义域是全体的正整数、不是实数、所以不能按照函数的处理办法、 【正解】依题意、 a2 ? a3 、即 4 ? 2t ? 2 ? 9 ? 3t ? 2 、故 t ? 5 、 易错点 4、数列的定义域是全体的正整数、 【例 5】已知数列 an ? 13 ? 3n 、其前项和为 Sn 、则 Sn 的最大值是________、 【错解】由题意、a1 ? 10 、 S n ? 最大、最大值是为 S n ? (10 ? 13 ? 3n)n 3 23 529 23 ? ? (n ? ) 2 ? 、当 n ? 时、Sn 的 2 2 6 24 6 529 、 24 (10 ? 13 ? 3n)n 3 23 529 ? ? (n ? ) 2 ? 、当 n ? 4 时、 2 2 6 24 【错因】数列的自变量是正整数、不能取非正数、 【正解】方法 1:由题意、a1 ? 10 、S n ? 23 ? 4 ? 3 ? 42 ? 22 、 离二次函数对称轴最近、所以 Sn 的最大值是为 S4 ? 2 方法 2:令 an ? 13 ? 3n ? 0 、解得 n ? 13 、即 {an } 前 4 项为正数、后面项均为负数、所 4 以 Sn 的最大值为 S4 ? 23 ? 4 ? 3 ? 42 ? 22 、 2 易错点 5、乱用结论致错、 【例 6】已知等差数列 ?an ? 的前 m 项、前 2m 项、前 3m 项的和分别为 Sm , S2m , S3m 、若 Sm ? 30, S2m ? 90 、求 S3m 、 【错解】因为 Sm ? S3m ? 2S2m 、 Sm ? 30 、 S2 m ? 90 、所以 S3m ? 2S2m ? Sm ? 150 、 【错因】以为 ?an ? 为等差数列、则 Sm , S2m , S3m 也是为等差数列致错、 【正解】设数列的公差为 d 、则 Sm ? a1 ? a2 ? a3 ? ...... ? am 、 S2m ? a1 ? a2 ? a3 ? ...... ? am ? am?1 ? ..... ? a2m S3m ? a1 ? a2 ? a3 ? ...... ? a2m ? a2m?1 ? ..... ? a3m Sm ? (a1 ? m ?1 3m ? 1 5m ? 1 )m 、 S2 m ? Sm ? (a1 ? )m 、 S3m ? S 2 m ? (a1

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