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高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值导数与函数的单调性教案1

最新中小学教案、试题、试卷 导数与函数的单调性(一) 一、教学目标:1、知识与技能:⑴理解函数单调性的概念;⑵会判断函数的单调性,会求函 数的单调区间。2、过程与方法:⑴通过具体实例的分析,经历对函数平均变化率和瞬时变化 率的探索过程;⑵通过分析具体实例,经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。3、情感、 态度与价值观:让学生感悟由具体到抽象,由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点:函数单调性的判定 教学难点:函数单调区间的求法 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) .创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减 的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们 可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会 导数在研究函数中的作用. (二) .新课探究 1.问题:图 3.3-1(1) ,它表示跳水运动 中 高 度 h 随 时 间 t 变 化 的 函 数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图像,图 3.3-1 (2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t ) ? h (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图 ' 像. 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入 水这两段时间的运动状态有什么区别? 通过观察图像,我们可以发现: (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度 h 随时间 t 的增加 而增加,即 h(t ) 是增函数.相应地, v(t ) ? h (t ) ? 0 . (2)从最高点到入水,运动员离水面的 ' 高度 h 随时间 t 的增加而减少,即 h(t ) 是减函数.相应地, v(t ) ? h (t ) ? 0 . ' 2.函数的单调性与导数的关系 最新中小学教案、试题、试卷 -1- 最新中小学教案、试题、试卷 观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系. 如图 3.3-3,导数 f ' ( x0 ) 表示函数 f ( x) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率. 在 x ? x0 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“左下右上”式的,这时,函数 f ( x) 在 x0 附近单调递 增; 在 x ? x1 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“左上右下”式的,这时,函数 f ( x) 在 x1 附近单调递 减. 结论:函数的单调性与导数的关系 ' 在某个区间 ( a , b) 内,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增;如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减. ' 说明: (1)特别的,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是常函数. 3.求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: 最新中小学教案、试题、试卷 -2- 最新中小学教案、试题、试卷 (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ' ? f ' ( x) ; (3)解不等式 f ' ( x) ? 0 ,解集 在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式 f ' ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间. (三) .典例探析 例 1、已知导函数 f ' ( x) 的下列信息: 当 1 ? x ? 4 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 试画出函数 y ? f ( x) 图像的大致形状. 解:当 1 ? x ? 4 时, f ' ( x) ? 0 ,可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递增; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ;可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递减; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点” . 综上,函数 y ? f ( x) 图像的大致形状如图 3.3-4 所示. 例 2、判断下列函数的单调性,并求出单调区间. (1) f ( x) ? x ? 3x ; 3 (2) f ( x) ? x ? 2x ? 3 2 3 2 (3) f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ; (4) f ( x) ? 2x ? 3x ? 24 x ? 1 解: (1)因为 f ( x) ? x ? 3x ,所以, f ( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1) ? 0 3 ' 2 2 因此, f ( x) ? x ? 3x 在 R 上单调递增,如图 3.3-5(1)所示. 3 (2)因为 f ( x) ? x ? 2x ? 3 ,所以, f ( x) ? 2x ? 2 ? 2 ? x ?1? 2 ' 当 f ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3 单调递增; ' 2 最新中小学教案、试题、试卷 -3- 最新中小学教案、试题、试卷 当 f ' ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 单调递减; 函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 的图像如图 3.3-5(2)所示. (3)因为 f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ,所以, f ' ( x) ? cos x ?1 ? 0 因此,函数 f ( x) ? sin x ? x 在 (0, ? ) 单调递减,如图 3.3-5(3)所示. (4)因为 f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 24 x ? 1 ,所以 当 f ' ( x) ? 0 ,即 当 f ' ( x) ? 0 ,

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