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§2.1.2离散型随机变量及其分布列(1)


§2.1.2离散型随机 变量的分布列(1)

问题:抛掷一枚骰子,所得的点数ξ有 哪些值?ξ取每个值的概率是多少? 解:ξ的取值有1, 2, 3, 4, 5, 6
P ( ? ? 1) ? P ( ? ? 4) ? 1 6 1 6 , P ( ? ? 5) ? , P ( ? ? 2) ? 1 6 1 6 , P ( ? ? 6) ? , P ( ? ? 3) ? 1 6 1 6 , ,

列成表的形式
?

1
1 6

2
1 6

3
1 6

4
1 6

5
1 6

6
1 6

P

一、定义:概率分布(分布列) 设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1、x2、x3、…、xi、… ξ取每一个值xi的概率P(ξ=xi)=pi (i=1,2, …)

则表

ξ p

x1 p1

x2 … p2 …

xi pi

… …

称为随机变量ξ的概率分布列,简称ξ 的分布列.

一、定义:概率分布(分布列) 说明:离散型随机变量的分布列具有下述 两个性质:
(1) p i ≥ 0, i ? 1,,, 23?
(2) p1 ? p 2 ? p 3 ? ? ? 1

练习1.随机变量ξ的分布列为 ξ -1 0 1 2 3 p 0.16 a/10 a2 a/5 0.3 (1)求常数a;(2)求P(1<ξ<4)

解:(1)由离散型随机变量的分布 列的性质有
0.16 ? a 10 ?a ?
2

a 5

? 0.3 ? 1

解得a=-0.9(舍)或a=0.6 (2)P(1<ξ<4)=P(ξ=2)+P(ξ=3) =0.12+0.3=0.42

练习2:已知随机变量ξ的分布列如下:
?

-2
1 12

-1
1 4

0
1

1
1

2
1

3
1 12

P

3 12 6

(1)求P(ξ>0); (2)求随机变量η1=ξ/2的分布列; (3)求随机变量η2=ξ2的分布列.

例1.一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5, 在袋中同时取出3只,以ξ表示取出的3个 球中的最小号码,试写出ξ的分布列.
解: 随机变量ξ的可取值为 1,2,3. ξ=1表示最小号码为1,另两个号码从余 下的4个号码中选,有C42种选法,又共有C52 种选法,且等可能.故 P(ξ=1)= C42/ C52 =3/5; 同理可得 P(ξ=2)=3/10;P(ξ=3)=1/10. ξ 1 2 3 因此,ξ的分布 p 3/5 3/10 1/10 列如下表所示

注意:求离散型随机变量ξ分布列 的解题步骤为: (1)判断随机变量ξ的取值; (2)说明ξ取各值的意义(即表示什么 事件)并求出取该值的概率,如果取 各值的意义基本相似,则可只说明 第一个值,后面的值同理即可; (3)列表写出ξ的分布列. ☆求分布列重在过程,必须有文字 说明和详细过程,切忌只有数、式或 表!

练习1.将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的 概率分布. (1)两次掷出的最大点数ξ; (2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点 数之差η. 略解:(1)ξ可取1,2,3,4,5,6. x=k包含两种情况,两次均为k点,或一个 k点,另一个小于k点, 故 P(x=k)=1 ? ( k ? 1) ? 2 ? 2 k ? 1,(k=1,2,3,4,5,6.)
6?6 36

?

1
1 36

2
3 36

3
5 36

4
7 36

5
9

6
11

P

36 36

练习1.将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的 概率分布. (1)两次掷出的最大点数ξ; (2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点 数之差η.

(2)略解:η的取值范围是-5,-4,…,4, 5. 从而可得ζ的分布列是:
η -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2 36 3 4 5 36

1
5 36

2
4 36

3
3

4
2

5
1

6 36

p

36

3 6 36

36 36 36

二、两种特殊的分布
例.抛一枚硬币,记 ξ=0 表示反面向上, ξ=1表示正面向上.求ξ的分布列. ξ p 0 0.5 1 0.5

1.两点分布
如果随机变量?的分布列为:

则?的分布列称为两点分布列,称随机变 量?服从两点分布,而称 p ? P (? ? 1) 为成功 概率.

练习:袋中装有8个红球和2个白球, 现任取两球,记ξ=1表示全是红球, ξ=0表示取到的两球有白球,求ξ的 分布列 注:两点分布是最简单的一种分 布,任何一个只有两种可能结果的随 机现象, 比如新生婴儿是男还是女、 明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都 属于两点分布.

综合练习:
1.设随机变量 ? 的分布列如下: 则p的值 ? 1 2 3 1 . 1 1 1 为 P 4

6
i

6

p

3

6

2.设随机变量ξ的分布列为 则 a的值为
?1? P ( ? ? i ) ? a ? ? , i ? 1, 2, 3 ? 3 ? 27

13



课堂练习:
3.设随机变量ξ只能取5、6、7、·、16这12 · · 个值,且取每一个值的概率均相等,则 P(ξ>8)= 2 / 3 ,若P(ξ<x)=1/12, 则实数x的 取值范围是 ? 5, 6? .

4.一袋中装有6个同样大小的小球,编号为1、 2、3、4、5、6,现从中随机取出3个小球, 以ξ表示取出球的最大号码,求ξ的分布列.
?
P

3
1 20

4
3 20

5
3 10

6
1 2

作业:1.课本 2.将4封不同的信随机地投入 到3个信箱里,记有信的信箱个数为ξ, 求ξ的分布列. 世纪金榜

思考1.某射手有5发子弹,射击一次命中 的概率为0.9.如果命中了就停止射击, 否则一直射击到子弹用完,求耗用子弹 数ξ的分布列.

思考2.某射手有5发子弹,射击一次命中的概率为0.9.

⑵如果命中2次就停止射击,否则一直射击到子弹用完, 求耗用子弹数 ? 的分布列.
解:⑵ ? 的所有取值为:2、3、4、5

“? ?

P 2 ” 表示前二次都射中,它的概率为: (? ? 2 ) ? 0 .9

2

" ? ? 3 " 表示前二次恰有一次射中,第三次射中,∴ 1 2 1 P ( ? ? 3) ? C 2 0.9 ? 0.1 ? 0.9 ? C 2 0.1 ? 0.9
同理P ( ? ? 4) ? C 0.9 ? 0.1 ? 0.9 ? C 3 0.1 ? 0.9
1 3 2
1 2 2

“ ? ? 5 ” 表示前四次中恰有一次射中,或前四次全部没射中
∴ 随机变量 ? 的分布列为: ? 2 3 4
P
0.9
2

5
2

C 2 0.1 ? 0.9
1

2

C 3 0.1 ? 0.9
1 2

C 4 0 .9 ? 0 .1 ? 0 .1
1 3

4

思考3.一盒中放有大小相同的4个红球、1 个绿球、2个黄球,现从该盒中随机取出一 个球,若取出红球得1分,取出黄球得0分, 取出绿球得-1分,试写出从该盒中取出一 球所得分数 ξ 的分布列。

思考4.一袋中装有6个同样大小的小球,编号为1、 2、3、4、5、6,现从中随机取出3个小球,以 ? 表示取出球的最大号码,求 ? 的分布列.
解:
? 的所有取值为:3、4、5、6.

表示其中一个球号码等于“3”, (? ? 3 ) ? ∴ P “? ? 3” 另两个都比“3”小
“? ? 4” 表示其中一个球号码等于“4”,

C1 C 2
3 C6 1 2 C1 C3 3 C6

1

2

?
?

1 20

另两个都比“4”小

∴ P(? ? 4) ?

3 20

1 2 表示其中一个球号码等于“5”, C1 C 4 3 ∴ P (? ? 5 ) ? ? 另两个都比“5”小 3 C6 10 1 2 “? ? 6” 表示其中一个球号码等于“3”, 1 C1 C5 另两个都比“3”小 ∴ P(? ? 6) ? ? 3 C6 2

“? ? 5”

∴ 随机变量? 的分布列为:
?
P

3
1 20

4
3 20

5
3 10

6
1 2


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