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高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义:第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 Word版含答案


正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 预习课本 P2~3,思考并完成以下问题 (1)直角三角形中的边角之间有什么关系? (2)正弦定理的内容是什么?利用它可以解哪两类三角形? (3)解三角形的含义是什么? [新知初探] 1.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 a b c = = . sin A sin B sin C [点睛] 正弦定理的特点 (1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式. (3)刻画规律:正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系,可以实现三角形中边 角关系的互化. 2.解三角形 一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素,已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形( ) ) ) (2)在△ABC 中,等式 bsin A=asin B 总能成立( (3)在△ABC 中,已知 a,b,A,则此三角形有唯一解( 解析:(1)正确.正弦定理适用于任意三角形. a b (2)正确.由正弦定理知 = ,即 bsin A=asin sin A sin B B. (3)错误.在△ABC 中,已知 a,b,A,此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情 况,具体情况由 a,b,A 的值来定. 答案:(1)√ (2)√ (3)× ) sin A 2.在△ABC 中,下列式子与 a 的值相等的是( b A.c sin C C. c 解析:选 C 由正弦定理得, sin A sin C 所以 a = c . sin B B. sin A c D. sin C a c = , sin A sin C 3.在△ABC 中,已知 A=30°,B=60°,a=10,则 b 等于( A.5 2 10 3 C. 3 asin B 解析:选 B 由正弦定理得,b= = sin A B.10 3 D.5 6 10× 1 2 3 2 ) =10 3. π 4.在△ABC 中,A= ,b=2,以下错误的是( 6 A.若 a=1,则 c 有一解 4 C.若 a= ,则 c 无解 5 解析:选 D ) B.若 a= 3,则 c 有两解 D.若 a=3,则 c 有两解 π a=2 sin =1 时,c 有一解;当 a<1 时,c 无解;当 1<a<2 时,c 有两个 6 解;a>2 时,c 有一解.故选 D. 已知两角及一边解三角形 [典例] 在△ABC 中,已知 a=8,B=60°,C=75°,求 A,b,c. [解] A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°, b a asin B 8×sin 60° 由正弦定理 = ,得 b= = = 4 6, sin B sin A sin A sin 45° a c asin C 8×sin 75° = ,得 c= = = sin A sin C sin A sin 45° 8× 2+ 6 4 =4( 3+1). 2 2 由 已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角. (2)由正弦定理公式的变形,求另外的两条边. [注意] 若已知角不是特殊角时,往往先求出其正弦值 (这时应注意角的拆并,即将非 特殊角转化为特殊角的和或差,如 75°=45°+30°),再根据上述思路求解.

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