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高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义:第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 Word版含答案_图文

正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 预习课本 P2~3,思考并完成以下问题 (1)直角三角形中的边角之间有什么关系? (2)正弦定理的内容是什么?利用它可以解哪两类三角形? (3)解三角形的含义是什么? [新知初探] 1.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 a b c = = . sin A sin B sin C [点睛] 正弦定理的特点 (1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式. (3)刻画规律:正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系,可以实现三角形中边 角关系的互化. 2.解三角形 一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素,已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形( ) ) ) (2)在△ABC 中,等式 bsin A=asin B 总能成立( (3)在△ABC 中,已知 a,b,A,则此三角形有唯一解( 解析:(1)正确.正弦定理适用于任意三角形. a b (2)正确.由正弦定理知 = ,即 bsin A=asin sin A sin B B. (3)错误.在△ABC 中,已知 a,b,A,此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情 况,具体情况由 a,b,A 的值来定. 答案:(1)√ (2)√ (3)× ) sin A 2.在△ABC 中,下列式子与 a 的值相等的是( b A.c sin C C. c 解析:选 C 由正弦定理得, sin A sin C 所以 a = c . sin B B. sin A c D. sin C a c = , sin A sin C 3.在△ABC 中,已知 A=30°,B=60°,a=10,则 b 等于( A.5 2 10 3 C. 3 asin B 解析:选 B 由正弦定理得,b= = sin A B.10 3 D.5 6 10× 1 2 3 2 ) =10 3. π 4.在△ABC 中,A= ,b=2,以下错误的是( 6 A.若 a=1,则 c 有一解 4 C.若 a= ,则 c 无解 5 解析:选 D ) B.若 a= 3,则 c 有两解 D.若 a=3,则 c 有两解 π a=2 sin =1 时,c 有一解;当 a<1 时,c 无解;当 1<a<2 时,c 有两个 6 解;a>2 时,c 有一解.故选 D. 已知两角及一边解三角形 [典例] 在△ABC 中,已知 a=8,B=60°,C=75°,求 A,b,c. [解] A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°, b a asin B 8×sin 60° 由正弦定理 = ,得 b= = = 4 6, sin B sin A sin A sin 45° a c asin C 8×sin 75° = ,得 c= = = sin A sin C sin A sin 45° 8× 2+ 6 4 =4( 3+1). 2 2 由 已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角. (2)由正弦定理公式的变形,求另外的两条边. [注意] 若已知角不是特殊角时,往往先求出其正弦值 (这时应注意角的拆并,即将非 特殊角转化为特殊角的和或差,如 75°=45°+30°),再根据上述思路求解. [活学活用] 在△ABC 中,若 A=60°,B=45°,BC=3 2,则 AC=( A.4 3 C. 3 B.2 3 D. 3 2 ) BC AC AC 3 2 3 2 2 解析:选 B 由正弦定理得, = ,即 = ,所以 AC= × = sin A sin B sin 60° sin 45° 2 3 2 2 3,故选 B. 已知两边及其中一边的对角解三角形 [典例] 在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45°,求 A,C,c. 3 2 3 [解] 由正弦定理及已知条件,有 = ,得 sin A= . sin A sin 45° 2 ∵a>b,∴A>B=45°.∴A=60°或 120°. 当 A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c= 2sin 75° 6+ 2 bsin C = = ; sin B 2 sin 45° 2sin 15° 6- 2 bsin C = = . sin B 2 sin 45° 当 A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c= 综上可知:A=60°,C=75°,c= 6+ 2 6- 2 或 A=120°,C=15°,c= . 2 2 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判 断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一. (3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦 值可求两个角,要分类讨论. [活学活用] 在△ABC 中,c= 6,C=60°,a=2,求 A,B,b. 解:∵ a c asin C 2 = ,∴sin A= = . c sin A sin C 2 ∴A=45°或 A=135°. 又∵c>a,∴C>A.∴A=45°. ∴B=75°,b= 6· sin 75° csin B = = 3+1. sin C sin 60° 三角形形状的判断 π ? ?π ? [典例] 在△ABC 中,acos? ?2-A?=bcos?2 -B?,判断△ABC 的形状. 解:[法一 化角为边] π π -A?=bcos? -B?, ∵acos? 2 ? ? ?2 ? a b ∴asin A=bsin B.由正弦定理可得:a·

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