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第四届启智杯竞赛试题B卷参考答案与评分标准


( 密 封 线 内 不 答 题 ) …………………………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… ……………………………

第四届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷(初中组)
参考答案及评分标准

座号

说明:本卷共 12 题,每题 10 分,满分 120 分。答题时间 120 分钟。 1. 完成以下算式:将适当的数字填入下述方框内,使除法算式成立。(不要求理由)

姓名

6 2 0

准考证号

3 0

_____________ ________

【参考答案】2013 ? 33 = 61 理由:先确定除数的十位数:因为 20?被该数除上 6 余一位数,说明该除数的十位必为 3; 再定除数的个位数:根据余数是一位数,个位数只能是 2、3、 或 4, 32?6 =192,33?6 =198,34?6 =204;如果除数是 32,则余数是 8 或 9,结合后一位 3,83 或 93 均不是 32 的倍数,结论不成立;同样 可以否定 34;最终确定除数是 33. 后面就比较清楚了。 【评分标准】确定除数的十位数得 3 分;再确定除数的个位数再得 3 分;确定尚的个位数得 2 分;全 部确定再得 2 分。

考场

2. 请完成以下两个问题:
(1)将 999 表示成 9 个连续的奇数之和的形式; (2)将 7
n ?1

表示成 7 个连续的奇数之和的形式时,则其中最小的奇数是多少?(用含有字母 n 的代

考点

数式表示,其中字母 n 正整数) 【参考答案】 (1)由于 999 ? 9 = 111,所取 9 个奇数的中间数应该是 111,这个表示为 999 = 103 +105 +107 +109 + 111 + 113 +115 +117 +119。 (2)类似地:

7 n ?1 = 7 ? 7 n
n n n n n n n

= (7 ? 6) ? (7 ? 4) ? (7 ? 2) ? 7 ? (7 ? 2) ? (7 ? 4) ? (7 ? 6)
n 故最小的奇数是 7 ? 6 。

【评分标准】两个小题各 5 分。 【注】这类问题关键找出其平均数,以平均数为中心,向两端延伸。

报名单位

第四届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷(初学组) 第 1 页 共 8 页

3. 观察下列等式: (1) 32 ? 42 ? 52 , (2) 102 ? 112 ? 122 ? 132 ? 142 , (3) 212 ? 222 ? 232 ? 242 ? 252 ? 262 ? 272 , ……… 请按此规律写出第四个等式。 若按照此规律写的第 n 个等式的等号左边最小数为 2102 , 则该等式的等号右边最大数 是多少? 请说明你发现的规律,不必进行计算验证。
【参考答案】 第四个等式: (4) 36 ? 37 ? 38 ? 39 +40 ? 41 ? 42 ? 43 +44 ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

等号左边最小数为 210 时,等号右边最大数为 2302 。 解答方法 1: 每个等式的左右两边是连续若干个完全平方数,其个数依次为 3、5、7、9 个等等,其特点是左端比右 端多 1 个。观察等式左边最小数发现:从上到下依次为 3 = 1?3 ; 10 = 2?5;21 = 3?7;4?9;5?11;6?13;7?15;8?17;9?19;10?21 =210 等各数的平方。 因此,当等式左边最小数为 2102 时,该式为第 10 个式子,即 n =10,这个式子左右两端共有 21 个数, 左端 11 个,右端 10 个,右端最大的数为 2302. 解答方法 2:
2 2 2 观察已知三个等式可知: 每个等式中, 紧靠等号左边的数分别是 4 ? ? 4 ? 1? ,12 ? [4 ?1 ? 2?] , 2

2

242 ? [4 ?1 ? 2 ? 3?]2 ,………。
由此可知:第 n 个等式中,紧靠等号左边的数是 [4 ?1 ? 2 ? 3 ? 第 n 个等式的左边最小数为 [2n ? n ? 1? ? n] ? 2n ? n
2 2

? n ?]2 ? 4n 2 ? n ? 1? ,
2

?

?

2

,依题意有 2n ? n
2

?

?

2

? 2102 ,

2 因为 n 是正整数, 所以 2n ? n ? 210 , 移项, 分解因式得:? n ?10?? 2n ?11? ? 0 , 解得:n ? 10 ,

或 n ? ?10.5 舍去。
2

故该等式的右边最大数是 [2n ? n ? 1? ? n] ? 2n ? 3n
2

?

?

2

? 2302 。

【评分标准】写出第四个式子得 4 分;发现等式中数的平方特征及变化规律占 2 分;发现左端最小数 的变化规律占 2 分;确定 2102 在第 10 行占 1 分;写出最大数占 1 分。

4. 在如图所示的三个九宫图中,第 2、3 个分别是由第 1、2 个按照某种规律变化而来。 (1)这三个九宫图有什么相同点和不同点? (2)请指出图 1 到图 2、图 2 到图 3 的共同变化规律,并按照这种规律填写第 4 个图。
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43 26 30

20 33 46

36 40 23

42 27 30

21 33 45

36 39 24

41 28 30

22 33 44

36 38 25

图1 图2 图3 图4 【参考答案】 (1)相同点:三个表的“左下至右上”对角线上各对应数相同;每行、每列、每个对角线三个数之和相 等,都是 99. “左下至右上”对角线上各对应数相同 不同点:除了“左下至右上”对角线之外,其他位置各对应数均不相同。 (2)变化规律:1 到 2、2 到 3 三个图中,从左上角到右下角五条斜线上的数,第 1 条依次减 1,第 2 条依次加 1,第三条不变,第 4 条依次减 1,第 5 条依次加 1. 图 4 的填写如下: 40 29 30 23 33 43 图4 【评分标准】第 1 问 4 分;第 2 问 6 分 其中第一问中相同点、不同点各占 2 分;第二问中规律占 4 分;填对第 4 个图占 2 分。 36 37 26

5. 如下图,在平行四边形 ABCD 中,已知 S?EBF = 1cm2, S?BCF = 3cm2,求阴影部分四边形 EFHG 的面积。

A G H D
【参考答案】

E F C

B

首先,根据等高三角形面积之比等于其底之比,S?EFB:S?CFB= 1 :3,因此 EF:FC = EB:CD =1 : 3 ; 由于△EBF 相似于△CDF,其面积之比等于相似比的平方,得 S?CDF = 9 cm2,由此得 S?ABD = S?BCD =S?CDF+ S?CBF = 9 +3 = 12cm2,平行四边形 ABCD 面积为 24cm2,所以 四边形 EFDA 的面积 = S?ABD --S?EBF = 12 – 1 = 11 cm2. 其次,S?CDA = 12cm2(平行四边形 ABCD 面积的一半) ,所以 S?AHD = (1/2) S?CDA = 6 cm2. (1)

(2)

第三,由于 CD = AB = AE+EB, EB:CD = 1:3, 故 AE:CD =AE:AB = 2:3, AE:EB = 2:1. 根据等高三角形面积之比等于其底之比,以及 S?ABD = 12cm2,知道 S?AED:S?ABD= 2:3,S?AED= 8cm2, 第四届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷(初学组) 第 3 页 共 8 页 (3)

而△CDG 相似于△AEG,相似比为 CD: AE=3:2,故 DG:EG = 3:2,S?DGA : S?EGA= 3:2, S?EGA= S?AED?2/(2+3) = 8?2/(2+3) = 16/5 (4) 最后,由(1)(2)(4)阴影部分四边形 EFHG 的面积为: S = 四边形 EFDA 的面积- S?AHD-S?EGA= 11 – 6 – 16/5 = 1.8 cm2。 答:阴影部分四边形 EFHG 的面积为 1.8 cm2。 【注】也可以由 S?AHB-S?BEF -S?EGA = 6 –1– 16/5 = 1.8 cm2 得到。 【评分标准】五个等式各占 2 分。 (5)

6. 将 2013 个边长完全相同的正方形, 按如图所示摆放, 其中点 A1 、A2 、A3 、 ……、A2012 、

A2013 分别是正方形的中心。若这 2013 个正方形重叠形成的阴影部分之间互不重叠,
其面积之和为 2012 cm2 ,则这些正方形的边长是多少?

【参考答案】 题目没有涉及到旋转角度,所以应该与旋转的角度无关,所以,我们可以让两正方形旋转到如图 特殊情况时,如图 1,2 所示,重叠部分的面积应该不变,若正方形边长为 a,则每个重叠的阴影部分 面积为正方形面积的

1 a2 1 2 ,即 ? a ? 。 (这个结论也可以通过切补来实现) 4 4 4

此时 2013 个正方形重叠形成的 2012 个阴影部分的面积和位 2012 ? a2 / 4 = 2012,从而 a =2.

或 图 1, 【评分标准】发现重叠阴影部分面积不变性(正方形面积的 图2

1 )占 5 分;算出正方形边长占 5 分。 4

第四届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷(初学组) 第 4 页 共 8 页

7. 把一个边长为 9 的正三角形分割成若干正三角形(不要求每个正三角形边长相等) 。 (1)最少能分割成多少个正三角形? (2) 你还能把一个正三角形分割成 5, 6, 7,8,9,10,11 个正三角形吗?能做到的分别画 出分割图,不能做到指出即可(不必说明理由) 。 (3)你能把一个正三角分割成 2013 个正三角形吗? (4)你能得出更一般的结论吗?

图a

图b

图c

图d

图e

图f

注:正三角形是指每条边都相等的三角形
【参考答案】 (1)最少能分割成 4 个正三角形,如图 a. (2)经过尝试发现,无法分成 5 个等边三角形; 当 AD=6 时,可以得到 6 个正三角形,如图 b; 在图 a 的基础上再分割一个正三角形,可以得到 7 个正三角形;将 BC 四等分,以每一份为边长在 底部可以做出 7 个全等的正三角形(4 个底朝下、3 个底朝上) ,而上方余下一个正三角形,共分割 为 8 个正三角形,图略;在 6、7、8 个分割的基础上再分割一个正三角形,可以得到 9、10、11 个 正三角形,如图 d、如图 e 或图 f.
A D B A E C B D C B A

D

E

E C

图a
A

图b
A D C B E C B

图c
A E D E G C

D B

E

图d

图e

图f

(3)可以把一个正三角分割成 2013 个正三角形。 因为每次把一个正三角形分割成 4 个小的正三角形后,总数就增加三个正三角形,由于可以分 割为 6 正三角形,因此可以分割为除 3 之外的所有 3 的倍数多个正三角形,而 2013 = 3?671, 第四届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷(初学组) 第 5 页 共 8 页

故可以分割为 2013 个正三角形。 (4)事实上,由于可以分割为6、7、8个正三角形,它们被3除分别整除、余1、余2,故对任意自然数 n ,当n≥9时,总能将正三角形分割成 n 个正三角形。 【评分标准】 (1)占1分; (2)占5分,其中不能做的5占1分,能做的6、7、8各占1分,9、10、11合计 占1分; (3)占2分; (4)占2分。

8.将1、2、3、…、10、11、12这12个数填入如图所示6?6的某些方格中,要求同时满足 (1)每一行、每一列都只有一个奇数、一个偶数; (2)每一行、每一列和两条对角线上都恰好各有2个数,而且两数之和均不小于9。 请给出两种填法(不必说明理由)。

【参考答案】答案不唯一。关键有两点: 一是位置的确定,依赖于图形的对称性; 二是数目的分组,把这12个数分为3组,每组里面两个奇数两个偶数。其中一组放入四个角(或中心四 个位置,或对角线上其它四个中心对称的位置),保证这四个数中任何两个之和均不小于9;两外两组 中任何一个奇数与另外两个偶数之和都不小于9(或任何一个偶数与另外两个奇数之和都不小于9). 以下两种填法使用了两种不同的位置和不同的分组 (1)1、9、8、12;3、5、6、10;7、11、2、4. (2)1、3、8、10;5、7、4、6;9、11、2、12.

1 5 7 4 6 8 3 10 2 11

12 3

7

6 10 9 12 2 11 1

8 9 4 5

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【评分标准】填对一种得 5 分,填对两种得满分。 (两种填法位置可以相同)

9. 如图,在斜边长为 20cm 的直角三角形 ABC 中去掉一个正方形 EDFB,留下两个阴影 部分直角三角形 AED 和 DFC。 (1)若 AD = 8cm,CD = 12cm,则阴影部分面积为多少?说明你的计算依据。 (2)这样的直角三角形有无穷多种,在所有这样的图形中,留下的最大面积是多少? 说 明你的理由。

A D E
A D

B

F

C

E

【参考答案】 (1)面积为 48 cm2; (2)最大面积 50 cm2。 【分析】 (1)将三角形 ADE 拼补到正方形 DEBF 内,使 DE 与 DF 重合(或将三角形 ADE 绕顶点 D 逆时针旋转 90 度,E 点和 F 点重合) ,阴影部分合并为一个直角三角形 CDG,其底为 DG = DA,高为 CD,面积为 AD× CD ÷2 = 8× 12 ÷2 = 48. (2) 由于 AD+CD = 20cm,把 20 分成两部分,只有等分时它们的乘积最大,即 AD = CD =10,此时 阴影部分面积最大,值为 10×10÷2=50. 【评分标准】两问各占 5 分;每问的答案占 2 分,理由占 3 分。

B G

F

C

10. 张老师住在幸福花园 8 号楼,他的两个学生聪聪和明明想去家里拜访他,但是不知道 家庭具体住址。 张老师告诉他们家在以下房号之一: 9 楼 A (简称 9A) , 9B, 9C; 10A, 10D; 11B,11E; 12C, 12E, 12F,并把楼层号单独告诉了聪聪, 把房间号单独告诉了明 明。然后张老师请他们判断他家住在哪个房屋。他们的对话如下: ? 聪聪:我不知道,但明明肯定也不知道。 ? 明明:本来我也不知道,但是现在我知道了。 ? 聪聪:哦,那我也知道了。 他们二人说法都符合逻辑,请根据以上对话推断出张老师家住在哪个房屋。
【参考答案】 11E 解答:根据聪聪和明明的第一句话,聪聪得到的楼层数只能是 9 楼或 11 楼,这因为 10 楼有一个 房号(D) 、12 楼有一个房号(F)都是只出现一次,如果明明得到的房号是这两个中的一个,明明就 自然可以判断出唯一的房屋地址。 根据明明的话:“本来我也不知道,但是现在我知道了。”这说明他所获取的房号信息涉及到 9 楼 或 11 楼之外的其它楼层,因此他事先无法判断,当他听了聪聪的回答确定了楼层之后,他就可以确定 第四届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷(初学组) 第 7 页 共 8 页

了,这样的房号有 A、C、E,那就是只可能是 9A,9C,11E。 最后聪聪的恍然大悟“哦,那我也知道了。”是基于他知道楼层,从这三个房号 9A,9C,11E 中能 够通过楼层判断出来的只有 11E。 因此,答案是 11E。 【评分标准】判断出两种可能的楼层得 4 分;判断出三种可能的房号得 4 分;最后确定房号得 2 分。仅给出正确答案得 5 分。

11.请设计一个游戏:地面上摆放着若干颗石子,甲乙两人轮流从中提取石子,每人每轮 最少提取 3 颗,最多提取 6 颗,取到最后一颗石子者为输。请设定这堆石子的颗数为 10 的倍数颗(至少 60 颗) ,使先手有必胜的策略,并说明你的策略。
【参考答案】答案不唯一。设定的石子数为 9 的倍数 加 6 或 7 或 8 或 9 颗,对应地,先手分别先取 3 或 4 或 5 或 6 颗,给后手留下 9 的倍数加 3 颗。比如设定 80 颗,先手取 5 颗,留下 75 = 72+3 颗,然 后,后手取 3 或 4 或 5 或 6 颗,先手就取 6 或 5 或 4 或 3 颗,保证每轮下来双方合计取 9 颗,先手取 后,始终剩下 9 的倍数加 3 颗,最后剩下 3 颗,给后手,后手必输。 【评分标准】选对数目给 3 分(一定要是 10 的倍数) ;写出策略给 7 分。

12. 希望杯深圳赛区报名费标准为小学每人 27 元,中学每人 22 元;启智杯报名费标准为 每人 50 元。某单位通过银行转款上交报名费 500 元,备注栏注明报名启智杯及希望 杯中学与小学。假如该单位希望杯报名总人数不足 15 人,问共报希望杯小学、中学 及启智杯各多少名?说明你的理由。
【参考答案】小学希望杯 6 人,中学希望杯 4 人,启智杯 5 人。 【分析】假设小学希望杯为 x 人,中学希望杯 y 人,启智杯 z 人, x + y < 15, 则 27x + 22y + 50z = 500 (1) 由此知道 27(x +y)= 5(100 + y – 10z) (2) 从而 x+y 是 5 的倍数,而且不足 15. 故 x+y = 5 或 10。 (1)若 x+y = 5,则由(2)式得 100 + y – 10z =27,10(10 – z )= 27- y ,得 y =7,z = 8,与 x+y = 5 矛盾,舍去。 (2)若 x+y = 10,则由(2)式得 100 + y – 10z = 54,10(10 – z )= 54- y ,得 y = 4,z = 5, x = 6。 所以只有一种可能:y = 4,z = 5, x = 6。 【评分标准】列出关系式(1)给 2 分,列出关系式(2)再给 2 分;后面两种情况分析各给 3 分。

第四届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷(初学组) 第 8 页 共 8 页


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