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2012届广东省各地月考联考模拟最新分类汇编(理数)3:函数与方程(1)


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2012 广东省各地月考联考模拟最新分类汇编(理) : 函数与方程(1)
【广东省高州市第三中学 2012 届高考模拟一理】1.已知函数 y ? 集合 N ? {x | y ? lg( x ? 1)} ,则 M ? N ? ( (A) [0,2) 【答案】D. 【解析】由题得 M ? (??,2] (B) (0,2)

2 ? x 的定义域为 M ,

)
(D) (1,2]

(C) {1,2)

N ? (1,??)

? M ? N ? (1,2] 所以选择 D.
2 ), 2

【广东省六校 2012 届高三第二次联考试题理】3.如图,正方形 ABCD 的顶点 A(0,

B(

2 , 0) ,顶点 C、D 位于第一象限,直线 l : x ? t (0 ? t ? 2

2) 将正方形 ABCD 分成两


部分,记位于直线 l 左侧阴影部分的面积为

f (t ) ,则函数 s ? f ? t ? 的图象大致是(

【答案】C 【广东省六校 2012 届高三第二次联考试题理】7.设函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且 当 x ? 0 时 , f ? x? 单 调 递 减 , 若 数 列

? an ?


是 等 差 数 列 , 且 a3 ? 0 , 则

f

f 2? a ? ? f ?3 a? ? ? f4 a ?? ? 的值( f5 a ?a ? 1? ?
A.恒为正数 B.恒为负数

C.恒为 0

D.可正可负

【答案】A 【广东省六校 2012 届高三第二次联考试题理】8. 已知函数 f ? x ? ? 2 ? 1 , a ? b ? c 且
x

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) D. 2a ? 2c ? 2

f ? a ? ? f ? c ? ? f ? b ? ,则下列结论中,必成立的是(
A. a ? 0, b ? 0, c ? 0 【答案】D B. a ? 0, b ? 0, c ? 0

C. 2? a ? 2c

【广东省六校 2012 届高三第二次联考试题理】 12. 设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数, 当0 ? x ?1 时, f ( x) ? 2 x(1 ? x) ,则 f (? ) ? 【答案】 ?

5 2

1 2

【结束】 【广东省六校 2012 届高三第二次联考试题理】14、如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿

x 轴滚动。设顶点 P ? x, y ? 的轨迹方程是 y ? f ( x) ,则 y ? f ( x) 在其两个相邻零点间的图
像与 x 轴所围区域的面积为 。

【答案】 ? ? 1 【广东广东省江门市 2012 年普通高中高三第一次模拟(理) 】⒉已知函数 f ( x) ? lg | x | ,

x ? R 且 x ? 0 ,则 f ( x) 是
A.奇函数且在 (0 , ? ?) 上单调递增 C.奇函数且在 (0 , ? ?) 上单调递减 【答案】B 【广东省江门市 2012 届高三调研测试(理) 】⒊函数 f ( x) ? log 2 A.一、三象限 C.一、二象限 B.二、四象限 D.三、四象限 B.偶函数且在 (0 , ? ?) 上单调递增 D.偶函数且在 (0 , ? ?) 上单调递减

1? x ( x ? 0 )的图象在 1? x

【答案】A 【广东省华南师大附中 2012 届高三下学期综合测试理】 2. 已知偶函数 f(x)在区间[0, +∞)

x?1 ) ? f ( ) 的 x 取值范围是: 单调递增,则满足 f (2
A. ( , ) 【答案】A 【广东省华南师大附中 2012 届高三下学期综合测试理】3.设 a=lge,b=(lge) ,c ? 1g e ,
2

1 3

1 2 3 3

B. [ , )

1 2 3 3

C. ( ?? , )

2 3

D. [

1 2 , ) 2 3

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则: A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 【答案】B 【广东省华南师大附中 2012 届高三下学期综合测试理】7.定义在 R 上的函数 f(x)满足

log ( 1 ? x ), x ? 0 ? 2 f( x )? ,则 f(2011)的值为: ? f( x ? 1 )? f( x ? 2 ), x ? 0 ?
A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】A 【 广 东 省 华 南 师 大 附 中 2012 届 高 三 下 学 期 综 合 测 试 理 】 12. 对 a , b ∈ R , 记

a , a?b ? 2 ,函数 f 的最小值是___. max( a ,b )?? ( x ) ? max(| x ? 1 |, ? x ? 1 ) b , a ? b ?
【答案】0 x 【广东省华南师大附中 2012 届高三下学期综合测试理】 13.已知函数 f(x)=x+2 , g(x)=x+lnx 的零点分别为 x1,x2,则 x1,x2 的大小关系是_____. 【答案】x1<x2 【广东省广州市金山中学 2012 届高三下学期综合测试理】3、已知函数 y ? f ( x) 的图像关 于 x ? 1对称,且在(1,+∞)上单调递增,设 a ? f (? ) , b ? f (2) , c ? f (3) ,则 a ,

1 2

b , c ,的大小关系为( ) A. c ? b ? a B. b ? a ? c C. b ? c ? a

D. a ? b ? c

【答案】B 【广东省广州市金山中学 2012 届高三下学期综合测试理】12、规定符号“ ? ”表示一种两 个 正 实 数之 间 的 运算 ,即 a * b =

ab ? a ? b , a, b 是 正 实 数 ,已 知 1 ? k =3, 则 函数

f ( x) ? k ? x 的值域是
【答案】(1,+∞) 【广东省广州市金山中学 2012 届高三下学期综合测试理】 14、 已知函数 f ( x ) ?

4 ?1的 x ?2

定义域是[ a, b ] ( a, b 为整数) , 值域是[0,1], 则满足条件的整数对( a, b )共有___________ 个. 1?x-2 【广东省高州市第三中学 2012 届高考模拟一理】 11. 设函数 y=x3 与 y=? ?2? 的图象的交点 为(x0,y0),则 x0 所在的区间是

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【答案】(1,2)

?1?x-2 ?1?x-2 3 3 3 【解析】如图所示,当 x=1 时,x =1,? ? =2,所以? ? >x ;当 x=2 时,x =8, ?2? ?2? ?1?x-2=1,所以 x3>?1?x-2,所以 y=x3 与 y=?1?x-2 的交点横坐标 x0 满足 1<x0<2.故应选 B. ?2? ?2? ?2?
【 广 东 省 高 州 市 第 三 中 学 2012 届 高 考 模 拟 一 理 】 16. 设 R 上 的 偶 函 数 f(x) 满 足 f(x+2)+f(x)=0,且当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7.5)= . 【答案】0.5 【解析】因为 f(x+2)+f(x)=0,所以 f(x+4)+f(x+2)=0, 两式相减得 f(x+4)=f(x),即 f(x)是周期为 T=4 的周期函数. 又 f(x)是偶函数,所以 f(7.5)=f(-0.5)=f(0.5)=0.5. 【广东省佛山一中 2012 届高三上学期期中理】3.已知函数 f ( x ) ? ?

?log 2 x ( x ? 0) ?2
x

( x ? 0)

,若

f (a) ?

1 ,则实数 a 的值为 2 A.-1 B. 2 C.-1 或 2

D.1 或 - 2 )

【答案】C 1 【广东省佛山一中 2012 届高三上学期期中理】5.函数 y=ln 的大致图象为( |2x-3|

【答案】A 【 广 东 省 佛 山 一 中 2012 届 高 三 上 学 期 期 中 理 】 8 . 函 数 y ? 1 ?

x 的图像与函数 x ?1

y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于
A.2 【答案】B 【 广 东 省 六 校 2012 届 高 三 第 四 次 联 考 理 科 】 5. 函 数 y ? l o g 2 ( )
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B. 4

C. 6

D.8

1? x 的图像 1? x

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A. 关于原点对称 C. 关于 y 轴对称 【答案】A

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B. 关于主线 y ? ?x 对称 D. 关于直线 y ? x 对称

( 0,1 ) 【广东省茂名市 2012 年第二次高考模拟理】 3. 下列函数, 其中既是偶函数又在区间 上
单调递减的函数为( A. y ? ) B. y ? lg x C. y ? cos x D. y ? x
2

1 x

【答案】C 【 广 东 省 茂 名 市 2012 年 第 二 次 高 考 模 拟 理 】 7 . 已 知 函 数 f ( x) 满 足 :

f (m ? n) ? f (m) f (n) , f (1) =3, 则

f 2 (1) ? f (2) f 2 ( 2) ? f ( 4) f 2 (3) ? f (6) + + + f (1) f (3) f (5)

f 2 ( 4) ? f (8) 的值等于( f (7 )
A.36 【答案】B B.24

) C.18 D.12

【广东省梅州中学 2012 届高三第二次月考试理】5.函数 f ( x ) ? log 2 x ? 间为 A. ? 0, ? 【答案】C 【广东省韶关市 2012 届高三模拟理】3.设 a ? 2 关系是( )
2 5

1 的零点所在区 x

? ?

1? 2?

B. ?

?1 ? ,1? ?2 ?

C. ?1, 2 ?

D. ? 2, 3 ?

. , b ? 2.50 , c ? ( 1 ) 2.5 ,则 a, b, c 的大小 2

A. a ? c ? b
【答案】C

B. c ? a ? b

C. a ? b ? c

D. b ? a ? c

?1, x ? 0 ? 【 广 东 省 韶 关 市 2012 届 高 三 模 拟 理 】 8. 定 义 符 号 函 数 sgn x ? ?0, x ? 0 , 设 ? ?1, x ? 0 ?

1 1 sgn( ? x) ? 1 sgn( x ? ) ? 1 1 2 2 x? f ( x) ? ? f1 ( x) ? ? f ( x ) f ( x ) x ? [0,1] 2, 2 2 , 2 , ,其中 1 =
1 ? f 2 ( x) = 2(1 ? x) , 若 f [ f (a)] ? [0, ) ,则实数 a 的取值范围是( 2 1 1 1 1 1 3 A. (0, ] B. ( , ) C. ( , ] D. [0, ] 4 4 2 4 2 8
【答案】B 【广东省佛山市 2012 届高三第二次模拟理科二】 8. 已知函数 f M ? x ? 的定义域为实数集 R ,
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满足 f M ? x ? ? ?

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?1, x ? M ( M 是 R 的非空真子集 ),在 R 上有两个非空真子集 A, B ,且 ?0, x ? M
f A ? x? ? fB ? x? ?1
B. ?1?

A ? B ? ? ,则 F ? x ? ?
A. ? 0, ? 3 【答案】B

f A? B ? x ? ? 1

的值域为(



? ?

2? ?

C. ? , ,1?

?1 2 ? ?2 3 ?

D. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

? e x , x ? 0. 【 广 东 省 东 莞 市 2012 届 高 三 数 学 模 拟 试 题 ( 1 ) 理 】 9 . 设 g ( x ) ? ? 则 ?lnx, x ? 0.

1 g ( g ( )) ? _________. 2 1 【答案】 2
【广东省佛山市 2012 届高三第二次模拟理科二】5.函数 y ? 图像可能 是下列图像中的( )

x , x ? ? ?? , 0 ? ? ? 0, ? ? 的 sin x

【答案】C 【2012 届广东韶关市高三第一次调研考试理】8.设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在非零实 数 m 满足 ?x ? M ( M ? D) ,均有 x ? m ? D ,且 f (x ? m ) ? f (x ) ,则称 f ( x) 为 M 上 的 m 高调函数. 如果定义域为 R 的函数 f ( x) 是奇函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? x ? a2 ? a2 , 且 f ( x) 为 R 上的 4 高调函数,那么实数 a 的取值范围是( A. [?1,1] 【答案】A B. ( ?1,1) C. [ ?2,2] ) D. ( ?2,2)

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2 ? x ? 6 x ? 7, x ? 0, 则 f (0)+f ( ? 1) 【2012 广东高三第二学期两校联考理】1.已知函数 f (x)= ? ? x ? ?10 ,

x ? 0,

=(

) B

A 9 【答案】C

71 10

C 3

D

11 10

【广东东莞市 2012 届高三理科数学模拟 二】3. 下列函数中,既是偶函数又在 ? 0, ?? ? 上单 调递增的是( A. y ? x 【答案】D 【广东东莞市 2012 届高三理科数学模拟 二】 7. 方程 log 3 x ? x ? 3 ? 0 的解所在的区间 是( ) B. (1,2) C.(2,3) D. (3,4)
3

) B. y ? cos x C. y ? tan x D. y ? ln x

A. (0,1) 【答案】C

2 m 【2012广州一模理】11.已知幂函数 y ? m ? 5m ? 7 x

?

?

2

?6

在区间 ? 0, ?? ? 上单调递增,

则实数 m 的值为 【答案】3



【2012 年广东罗定市罗定中学高三下学期第二次模拟理】6.函数 f ( x) ? ln
可能是

1? x 的图象只 1? x

A

B

C

D

【答案】A 【2012 届广东省中山市四校 12 月联考理】8.定义方程 f ( x) ? f ?( x) 的实数根 x0 叫做函数

? “新驻点” , 如果函数 g ( x) ? x , h( x) ? ln( x ? 1) , f ( x) 的 ? ( x) ? cos x( x ? ( , ?) ) ?
的“新驻点”分别为 ? , ? , ? ,那么 ? , ? , ? 的大小关系是: A. ? ? ? ? ? 【答案】D
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( D. ? ? ? ? ?



B. ? ? ? ? ?

C. ? ? ? ? ?

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x ?1 ? 1 的定义域 lg(3 ? x)

【2012 届广东省中山市四校 12 月联考理】9. 函数 y ?


【答案】 [1,2) ? (2,3) 【广东省执信中学 2012 届高三 3 月测试理】3、与函数 y ( A. y ? ( 【答案】A 【广东省惠州市 2012 届高三一模(四调)考试(理数) 】8.定义函数 y ? f ( x), x ? D ,若 存在常数 C,对任意的 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D ,使得 )

? 10lg( x ?1) 的图象相同的函数是

x ?1 x ?1

)2

B. y ? x ? 1

C. y ? x ? 1

D. y ?

x2 ? 1 x ?1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? C ,则称函数 2

f ( x) 在 D 上 的 均 值 为 C . 已 知 f ( x) ? lg x, x ?[10, 100 ] , 则 函 数

f ( x) ? lg x 在 x ? [10, 1 0] 上的均值为( 0
A.

) C.

7 10

B.

3 4

3 2

D.10

【答案】C 【解析】

f ( x1 ) ? f ( x2 ) lg( x1 x2 ) ? ? C , 从 而 对 任 意 的 x1 ?[10, 100 ] , 存 在 唯 一 的 2 2

x2 ?[10, 100 ] ,使得 x1 , x2 为常数。充分利用题中给出的常数 10,100.
令 x1 x2 ? 10 ?100 ? 1000 ,当 x1 ? [10, 100 ] 时, x 2 ? 由此得 C ?

1000 ? [10, 100 ] , x1

lg( x1 x2 ) 3 ? . 故选 C. 2 2
x ?1 ? ? 2e , x ? 2, 2 ? ?log 3 ( x ? 1),x ? 2.

【广东省惠州市 2012 届高三一模(四调)考试(理数) 】11. f ( x ) ? ? 则 f ( f (2)) 的值为 【答案】2 【解析】 f ( f (2)) ? f (1) ? 2 ? e
1?1

.

? 2.
5

1 ? ? 2 【广东省惠州市 2012 届高三一模(四调)考试(理数) 】13.已知 ? x ? ? 的展开式 5 x3 ? ?

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中的常数项为 T , f ( x) 是以 T 为周期的 偶函数,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,若在 区间 [?1,3] 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 有 4 个零点,则实数 k 的取值范围 是 【答案】 ? 0, ? 4 .

? ?

1? ?

【解析】按二项式公式展开得 T ? 2 ,函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 有 4 个零点, 等价于函数 y1 ? f ( x) 与 y2 ? k ( x ? 1) ,再利用数形结合可得 k ? ? 0, ? . 4

? ?

1? ?

【 2012 届 广 东 省 中 山 市 高 三 期 末 理 】 12 . 已 知 函 数 f ( x) ? l n x . 若 0 ? a ? b , 且

f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是
【答案】 (2, ??)

.

【广东省中山市桂山中学 2012 届高三年级 9 月质检理】 7. 设定义域为 R 的函数 ?| lg | x ? 1 ||, x ? 1 f ( x) ? ? , 则关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个不同实数解的充要 0 , x ? 1 ? 条件是 (A)b ? 0 且 c ? 0 (B)b ? 0 且 c ? 0 (C)b ? 0 且 c ? 0 (D)b ? 0 且 c ? 0 【答案】C 【广东省中山市桂山中学 2012 届高三年级 9 月质检理】 8. 已知映射 f :A ? B , 其中 若对实数 k ? B ,在集合 A 中不存在原象, A ? B ? R ,对应法则 f :x ? y ? x 2 ? 2 x ? 2, 则 k 的取值范围是 A. k ? 1 B. k ? 1 【答案】B C. k ? 1 D. k ? 1

【广东省中山市桂山中学 2012 届高三年级 9 月质检理】 11.对 a,b ? R,记 max|a,b|= ? 函数 f(x)=max||x+1|,|x-2||(x ? R)的最小值是 【答案】

?a , a ? b , ?b, a<b

3 2
( x ? 1) ( x ? 1)

【 广 东 省 中 山 市 桂 山 中 学 2012 届 高 三 年 级 9 月 质 检 理 】 12 . 已 知

?(2 ? a ) x ? 1 f ( x) ? ? x ?a

满足对任意 x1 ? x2 , 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,那 x1 ? x2

么 a 的取值范围是_______

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【答案】 [ ,2)

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3 2

【广东省中山市桂山中学 2012 届高三年级 9 月质检理】14.若函数 f ( x) 满足:“对于区 间(1,2)上的任意实数 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , | f ( x2 ) ? f ( x1 ) |?| x2 ? x1 | 恒成立”,则称 .给出以下四个函数 f ( x) 为完美函数 ....

1 ① f ( x) ? x

② f ( x) ?| x |

?1? ③ f ( x) ? ? ? ?2?

x

④ f ( x) ? x

2

其中是完美函数的序号是 . 【答案】①③ 【广东省华南师大附中 2012 届高三下学期综合测试理】17.(本小题满分 14 分)某投资公 司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是 P(亿元)和 Q(亿元) ,它们与投资额 t(亿元) 的关系有经验公式 P ?

1 1 2t , Q ? t ,今该公司将 5 亿元投资这两个项目,其中对甲项 4 8

目投资 x(亿元) ,投资这两个项目所获得的总利润为 y(亿元) .求: (1)y 关于 x 的函数表达式: (2)总利润的最大值. 【答案】解:(1)根据题意,得 y?

1 1 2 x? ( 5 ? x ), x∈[0,5]. 4 8 t2 (2)令 t ? 2x , t ?[0, 10 . ] ,则 x ? 2 1 1 5 1 7 y?? t2 ? t ? ?? ( t ?2 )2 ? 16 4 8 16 8

因为 2?[0 , 10 ] ,所以当 2x ? 2 时,即 x=2 时,y 最大值=0.875. 答:总利润的最大值是 0.875 亿元. 【 广 东 省 六 校 2012 届 高 三 第 二 次 联 考 试 题 理 】 16 . ( 本 大 题 12 分 ) 已 知 二 次 函 数. f ? x ? ? x ? (2a ? 1) x ? 1 ? 2a
2

(1)判断命题: “对于任意的 a ?R(R 为实数集) ,方程 f(x ) ? 1 必有实数根”的真假, 并写出判断过程

0)及(0, )内各有一个零点.求实数 a 的范围 (2)若 y ? f ( x) 在区间(?1,
【答案】 解: (1) “对于任意的 a ?R (R 为实数集) , 方程 f(x ) ? 1 必有实数根” 是真命题; ? (3 分) 依题意: f(x ) ? 1 有实根,即 x ? (2a ? 1) x ? 2a=0 有实根
2

1 2

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?? ? (2a ? 1)2 ? 8a ? (2a ? 1) 2 ? 0 对于任意的 a ?R(R 为实数集)恒成立
即 x ? (2a ? 1) x ? 2a=0 必有实根,从而 f(x ) ? 1 必有实根??????(6 分)
2

(2)依题意:要使 y ? f ( x) 在区间(?1, 0)及(0, )内各有一个零点

1 2

? ? f ( ?1) ? 0 ? 只须 ? f (0) ? 0 ????(9 分) ? 1 ?f( )?0 ? 2
解得:

? ?3 ? 4 a ? 0 ? 即 ?1 ? 2a ? 0 ?????(10 分) ?3 ? ?a ?0 ?4

1 3 ? a ? (多带一个等号扣 1 分)??(12 分) 2 4

【广东省广州市金山中学 2012 届高三下学期综合测试理】19、 (本小题满分 14 分) 某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后, 发现一天中环境综合污染 指数 f ? x ? 与时间 x(小时)的关系为 f ? x ? ?

x 1 其中 a 是与气 ? ? a ? 2a, x ? ? 0, 24? , x ?1 3
2

象有关的参数,且 a ? ?0, ? ,若用每天 f ? x ? 的最大值为当天的综合污染指数,并记作 4

? 3? ? ?

M ?a? .
(1)令 t ?

x , x ? ? 0, 24? ,求 t 的取值范围; x ?1
2

(2)求函数 M ? a ? ; (3)市政府规定,每天的综合污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合污染是否超标? 请说明理由。 【答案】解(1)∵ t ?

x , x ? ? 0, 24? , x ? 0 时, t ? 0 . x ?1 1 x 1 ? 1? 0 ? x ? 24 时, t ? , x ? ? 2 ,∴ 0 ? t ? .∴ t ? ?0, ? 。---------3 分 1 2 x ? 2? x? x
2

(2)令 g (t ) ? t ?

1 ? 1? ? a ? 2a, t ? ?0, ? --------------------4 分 3 ? 2?

当a?

5 1 1 7 ?1? 5 g ? x ?? ? g ? ? ? ? a ? 2a ? a ? .--7 分 ? ,即 0 ? a ? 时, ? ? ? max 6 3 4 12 ?2? 6

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当a?

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1 1 1 1 7 3 g ? x ?? ? g ? 0 ? ? ? a ? 2a ? 3a ? .-10 分 ? ,即 ? a ? 时, ? ? ? max 3 3 3 4 12 4

5 7 ? a ? ,0 ? a ? , ? ? 6 12 所以 M ? a ? ? ? ?3a ? 1 , 7 ? a ? 3 . ? 3 12 4 ?
(3)当 a ? ? 0,

--------------------11 分

? 7 ? ?7? 7 ? 时, M ? a ? 是增函数, M ? a ? ? M ? ? ? ? 2 .------12 分 ? 12 ? ? 12 ? 12

当a??

? 7 3? ? 3 ? 23 , ? 时, M ? a ? 是增函数, M ? a ? ? M ? ? ? ? 2 . ----------13 分 ?12 4 ? ? 4 ? 12

综上所述,市中心污染没有超标. --------------------14 分 【广东省中山市桂山中学 2012 届高三年级 9 月质检理】 19 . ( 14 分)设二次函数

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 在 区 间 ? ?2 , 2 ? 上的最大值、最小值分别是 M、m,集合

A ? ? x | f ( x) ? x? .
(1)若 A ? {1, 2} ,且 f (0) ? 2 ,求 M 和 m 的值; (2)若 A ? {1} ,且 a ? 1 ,记 g (a) ? M ? m ,求 g ( a ) 的最小值. 【 答 案 】

(2)由题意知,方程ax2 ? (b ? 1) x ? c ? 0有两相等实根x=2, x=1

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1? b ? 1?1 ? ? ?b ? 1 ? 2a ? a ∴? , 即? ?c ? a ?2 ? c ? a ?
∴f(x)=ax +(1-2a)x+a, x∈[-2,2]
2

???????????8 分

其对称轴方程为 x=

4a ? 1 1 ? 1 ? 2a 2a

又 a≥1,故 1-

1 ?1 ? ? ,1? ???????????9 分 2a ? ?2 ?
??????????10 分 ???????11 分 g(a)=M+m=9a-

∴M=f(-2)=9a-2 m= f (

2a ? 1 1 ) ? 1? 2a 4a

1 -1 4a

又g (a)在区间?1, ?? ? 上为单调递增的, ?当a ? 1时,g (a)min = ?

31 63 . ???12 分 44

【广东东莞市 2012 届高三理科数学模拟 二】21.(本小题满分 14 分) 设 f ( x) 是定义在 [a, b] 上的函数, 用分点 T : a ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b 将 区 间 [ a, b] 任 意 划 分 成 n 个 小 区 间 , 如 果 存 在 一 个 常 数 M ? 0 , 使 得 和 式

? f (x ) ? f (x
i ?1 i

n

i ?1

) ? M ( i ? 1, 2, ?, n )恒成立,则称 f ( x) 为 [a, b] 上的有界变差函

数. (1)函数 f ( x) ? x 在 [0,1] 上是否为有界变差函数?请说明理由;
2

(2) 设函数 f ( x) 是 [a, b] 上的单调递减函数, 证明: f ( x) 为 [a, b] 上的有界变差函数; (3) 若定义在 [a, b] 上的函数 f ( x) 满足: 存在常数 k , 使得对于任意的 x1 、x2 ? [a, b] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? k ? x1 ? x2 .证明: f ( x) 为 [a, b] 上的有界变差函数. 【答案】21. (本小题满分 14 分) 解: (1)?函数 f ( x) ? x 在 [0,1] 上是增函数, ?对任意划分 T , f ( xn ) ? f ( xn ?1 )
2

? f (x ) ? f (x
i ?1 i

n

i ?1

) ? f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ? f ( xn ) ? f ( xn?1 ) ? f (1) ? f (0) ? 1 ,

取常数 M ? 1 ,则和式
2

? f (x ) ? f (x
i ?1 i

n

i ?1

) ? M ( i ? 1, 2, ?, n )恒成立,
????4 分

所以函数 f ( x) ? x 在 [0,1] 上是有界变差函数.
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(2)?函数 f ( x) 是 [a, b] 上的单调递减函数, 且对任意划分 T , T : a ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b
? f (a) ? f ( x 0 ) ? f ( x1 ) ? ? ? f ( x n ?1 ) ? f ( x n ) ? f (b)
? ? f ( xi ) ? f ( x i ?1 ) ? f ( x 0 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n ?1 ) ? f ( x n ) ? f (a) ? f (b)
i ?1 n



?一定存在一个常数 M ? 0 ,使 f (a) ? f (b) ? M ,故 f ( x) 为 [a, b] 上的有界变
差函数.?9 分 (3)? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? k ? x1 ? x2

?对任意划分 T , T : a ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b

?
i ?1

n

f ( x i ) ? f ( x i ?1 ) ? ? k x i ? x i ?1 ? k ? x i ? x i ?1 ? k (b ? a) ,
i ?1 i ?1

n

n

取常数 M ? k (b ? a) ,? 由有界变差函数定义知 f ( x) 为 [a, b] 上的有界变差函 数.?14 分

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